2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高二（下）期末
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | < 8}， = { | = 2 , ∈ }，则 ∩ =( )
A. {0,2,4,6,8} B. {2,4,6,8} C. {2,4,6} D. {0,2,4,6}
2.已知等比数列 12，6，3，…，则该等比数列的第 6 项是( )
A. 3 B. 1 C. 3 D. 18 16 16 32
3.若抛物线 2 = 2 的准线为直线 ，且 交圆 ： 2 + 2 = 1 于 ， 两点， 为坐标原点，则∠ =( )
A. 5 2 6 B. 3 C. 3 D. 6
4 1 1.若(2 2 ) 的展开式中二项式系数之和为 32，则该展开式中 的系数为( )
A. 48 B. 48 C. 80 D. 80
5 2.若命题 ： ( ) = 2 +1为奇函数， ： ( ) =
2 + ( 2 ) + 1 为偶函数，则 是 成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.为考察药物 对预防疾病 的效果，在两个不同规模的动物种群中分别进行了试验.根据种群一的试验结果
得到如下列联表：
疾病
药物 合计
未患病患病
未服用 28 22 50
服用 34 16 50
合计 62 38 100
计算得到 2 ≈ 1.528，假设种群二试验结果对应的列联表中，每个单元格的数据都为表格对应单元格数据的
5 倍，则根据小概率值 的独立性检验，( )
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
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A.当 = 0.05 时，种群一中药物 对预防疾病 有效，该推断犯错误的概率不超过 5%
B.当 = 0.05 时，种群一中药物 对预防疾病 有效，该推断犯错误的概率不超过 10%
C.当 = 0.01 时，种群二中药物 对预防疾病 有效，该推断犯错误的概率不超过 1%
D.当 = 0.005 时，种群二中药物 对预防疾病 有效，该推断犯错误的概率不超过 0.5%
7.已知数列{ 2 }的前 项和为 ，若 = + 8 ，则{| |}的前 10 项和为( )
A. 32 B. 41 C. 52 D. 65
8.已知定义在 上的函数 = ( )，其导函数为 ′( )，当 < 0 时， ′( ) + ( ) > 0，若 2 ( ) +
2 ′( ) + ( ) + ′( ) = 0，且 (1) = 0，则不等式 ( ) < 0 的解集为( )
A. ( 1,1) B. ( ∞, 1) ∪ (0,1)
C. ( 1,0) ∪ (1, + ∞) D. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(2 + 1)18 = 2 180 + 1( + 1) + 2( + 1) + + 18( + 1) ，则( )
A. 0 = 1 B. 1 + 2 + + 18 = 0
18
C. 0 + 2 +
3 1 18
4 + + 18 = 2 D. 18 = 2
10.已知函数 ( )的定义域为[ 2,5]，其导函数 ′( )的图象如图所示，则( )
A. ( )在区间(0,2)上单调递增 B. ( )的极小值点为 2
C. ( )恰有 2 个极值点 D. ( )的图象与 轴至多有 2 个公共点
11.已知直线 ： + + 1 = 0( , 不同时为 0)，圆 ： 2 + 2 2 = 0，则( )
A.当 + = 2 时，直线 与圆 不可能有交点
B.当 2 = 2 1 时，直线 与圆 相切
C. = 1 = 1 △ 1 2当 ， 时，直线 与坐标轴相交于 ， 两点，则圆 上存在点 ，使得 的面积为 2
D.当 = 1， = 1 时，与圆 外切且与直线 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知随机变量 服从两点分布， ( = 1) = 0.56.若 = 4 3，则 ( = 3) = ______．
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13
2 2
.已知椭圆 ： 2 + 3 = 1( > 3)的左、右焦点分别为 1， 2，过右焦点的直线 交 于 ， 两点，且
2 +
3 2 = 0， 1 = 0，则椭圆 的标准方程为______．
14 ( ) = 10 10 .已知函数 +1 .若方程 ( ) + (3
2) = 10 有 3 个实数根，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知函数 ( )满足 2 ( ) ( ) = 2 6 + 1，函数 ( ) = ( ) ．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若存在 ∈ [2,8]，使得不等式 (log2 ) 2 ≥ 0 成立，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为 20000 件，乙生产线每天产
量为 10000 件.其中甲生产线的一等品率为 0.2，二等品率为 0.8；乙生产线的一等品率为 0.6，二等品率为
0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱．
(1)质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率；
(2)已知每箱中有 3 件产品，其中二等品的定价为 100 元/件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于 400
元，一等品应该如何定价．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是等腰梯形， // ，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， = 2 =
2，∠ = 60°．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)若三棱锥 3的体积为 4 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
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18.(本小题 15 分)
6, 为奇数
已知{ }为等差数列， = ，记 ， 分别为数列{ }，{ }的前 项和， 4 = 16， 4 = 14．
2 , 为偶数
(1)求{ }的通项公式；
(2)对任意 ∈ ，将数列{ }中落入区间(2 , 22 )内项的个数记为 ，求数列{ }的前 项和 ．
19.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系中，定义 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点的“ 距离”为 ( , )，其中 ( , ) = | 1 2| + | 1
2|，已知定点 ( , 0)， ( , 0)( > 0)，动点 满足 ( , ) + ( , ) = 2 ，其中 > .记 的轨迹为“
椭圆”， ， 为“ 焦点”．
(1)当 = 2 = 2 时，写出“ 椭圆”的轨迹方程并直接画出相应曲线；
2 2(2)已知数列{ }，{ }，{ }均为正项数列， > ，椭圆
： 2 + 2 = 1，记以 ( , 0)， ( , 0)
为“ 焦点”的“ 椭圆”为 ， 的边均与 相切，且 0的顶点均在 +1上.
( )设 的面积为 ，证明： = 2(2 +1 ) ；
( )若{ }是等比数列，求 2025的离心率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.44
2 2
13. 6 + 3 = 1
14.(0, 6 3 )
15.(1)根据题意，函数 ( )满足 2 ( ) ( ) = 2 6 + 1，①，
用 换 ，可得 2 ( ) ( ) = 2 + 6 + 1，②
① × 2 +②得 ( ) = 2 2 + 1，
2
所以 ( ) = ( ) =
2 +1
= +
1
2．
(2)根据题意，若存在 ∈ [2,8]，使得不等式 (log2 ) 2 ≥ 0 成立，
设 = log2 ，
若 ∈ [2,8]，则 ∈ [1,3]，
则存在 ∈ [1,3]，使 ( ) ≥ 0，即 + 1 2 ≥ 0，变形可得 ≤ 1 +
1 2
2 = (
1
1)
2，
1
因为 ∈ [1,3]，所以 ∈ [
1
3 , 1]，
1 1 1 4
当 2 = 3时，( 1) 取得最大值9，
4 4
所以 ≤ 9，即 的取值范围是( ∞, 9 ]．
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16.(1)由题意可知甲生产线每天的一等品件数为：20000 × 0.2 = 4000，
乙生产线每天的一等品件数为：10000 × 0.6 = 6000，
4000+6000 1
所以抽取到的产品为一等品的概率为20000+10000 = 3；
(2)由(1) 1 2知二等品的概率为 1 3 = 3，
设 表示每箱中一等品的件数，易知 的所有取值为：0，1，2，3，
2 8
则 ( = 0) = ( )3 = ， ( = 1) = 1 × 1 × ( 2 )2 = 4， ( = 2) = 2 × ( 1 )2 × 2 = 2， ( = 3) = ( 1 )33 27 3 3 3 9 3 3 3 9 3 =
1
27，
所以 ( ) = 0 × 8 4 2 127 + 1 × 9+ 2 × 9 + 3 × 27 = 1，
设一等品定价 元，
因为二等品的定价为 100 元/件，并且每箱产品销售额的期望不低于 400 元，
所以 100 × (3 1) + × 1 ≥ 400，
解得 ≥ 200，
所以一等品价格应该大于等于 200 元．
17.(1)证明：底面 是等腰梯形， // ， = 2 = 2，∠ = 60°，
所以 = 1 + 4 2 × 1 × 2 × 12 = 3，
所以 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
且 ⊥ ，且 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
且 ⊥ ，且 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
底面 是等腰梯形， = 2 = 2，∠ = 60°，
所以∠ = 120°，
所以 2 = 3 = 1 + 2 2 × × 1 × ( 12 )，
所以 = 1，
又因为三棱锥 的体积为 3，
4
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所以 3
4 =
1 1 1
3 △ × = 3 × 2 × 1 × 1 ×
3 ，
2 ×
所以 = 3，
如图建系，
(0, 3, 0)， ( 12 ,
3 , 0)， (0,0,3)，2
设平面 的法向量为 = (1,0,0)，
设平面 的法向量 = ( , , )， = ( 12 ,
3 , 0)， 2 = (0, 3, 3)，
= 1 3 = 0
所以 2 2 ，
= 3 3 = 0
令 = 3，则 = 1， = 3，
所以 = ( 3, 3, 1)，
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 = | | 3 3 13| ．| | | = 9+3+1 = 13
18.(1)设等差数列{ }的公差为 ，
由题意可得 1 = 1 6， 2 = 2 2 = 2 1 + 2 ， 3 = 3 6 = 1 + 2 6， 4 = 2 4 = 2 1 + 6 ，
因为 4 = 16， 4 = 14，
4 + 6 = 16
所以 1( 1 6) + (2 1 + 2 ) + ( + 2 6) + (2 + 6 ) = 14
，
1 1
2 1 + 3 = 8 1 = 1整理得 3 + 5 = 13，解得1 = 2
，
所以 = 2 1．
(2)对 ∈ ，若2 < < 22 ，则2 < 2 1 < 22 ，
因此2 1 + 1 < < 22 12 +
1
2，2
1 + 1 ≤ ≤ 22 1，
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故得 = 22 1 2 1 =
1 (22 2 2
)，
于是 = 1 + 2 + +
1
= 2 [(4 + 4
2 + + 4 ) (2 + 22 + + 2 )]
= 1 [ 4(1 4
) 2(1 2 ) 1 4(4 1) 2 1
2 1 4 1 2 ] = 2 [ 3 2(2 1)] = 3 × 4 2 + 3．
19.(1)由题意，当 = 2 = 2 时，“ 椭圆”的轨迹方程为| 1| + | + 1| + 2| | = 4，其对应图象为：
(2)由题意及(1)得，
( )证明：设 ：| | + | + | + 2| | = 2 ，将 替换为 ，或将 替换为 ， 的方程不变，
故“ 椭圆”关于 轴、 轴对称，
只需考虑第一象限(含 轴非负半轴)的情况，
在第一象限中， 由 = (0 ≤ ≤ )和 = ( < ≤ )两条线段组成，
由于 = ( < ≤ )与 相切，
2 2
则由 2
+ 2 = 1，得( 2 + 2 2 ) 2 2 2 2 2 + ( ) = 0，
=
由 = 0，可得 2 = 2 2 + ，
∵ 的一个顶点( , 0)在 +1上，
∴ 2 2 +1 = = + ，
= (0 ≤ ≤ )与 相切，
= ，即 = 2 2 + ，
∴ + 在第一象限的直角梯形面积为 +12 × ，
的面积为 4 × + +1 2 × = 2(2 +1 ) ；
( )由( )可知， 2 2 +1 = + ，
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2 2 2 2
由{ } 是等比数列可知 +1 = +2 + ，即
+1+ +1
+1 2
=
2
，
+1
1 +
2 2
即 2 = 1 +
+1，
2 +1
∴ = +1 ， 的离心率为定值， +1
的顶点( , )在 +1上，
2 2
2 +
2 = 1， +1 +1
2
∵ = 2 + 2 =
2 2 2 2 2
，
2 2
+1 2 2 + =
+ = 2
+1 +1 +1 +1 +1 +1
+ + 2+ 2 = 1，
= 2 2
3 6
+ = ，解得 = 的离心率为 1 ( 3 )
2 =
3
，
62025的离心率为 3 ．
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