2024-2025 学年湖南省邵阳市海谊中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 7 . 3 =( )
A. 1 2 B. 1 52 2 C. 1 + 2 D.
1
2+
5
2
2.已知 为第一象限角.若 = 35，则 =( )
A. 3 B. 3 4 44 4 C. 5 D. 5
3.已知 ， 为不同的直线， ， 为不同的平面，下列命题为假命题的是( )
A. ⊥ ， ⊥ // B. ⊥ ， ⊥ //
C. ⊥ ， ⊥ D. ⊥ ， ⊥ //
4.为庆祝中国共产党成立 100 周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会
主义路线，某高中有高一、高二、高三分别 600 人、500 人、700 人，欲采用分层抽样法组建一个 18 人的
高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三( )
A. 5 人 B. 6 人 C. 7 人 D. 8 人
5.在正方体 1 1 1 1中，异面直线 与 1所成角的正弦值是( )
A. 3 2 1 32 B. 2 C. 2 D. 3
6.在△ 中，若 = 7， = 8， = 17，则∠ 的大小为( )
A. B. C. 5 D. 2 6 3 6 3或 3
7.若 、 1均是单位向量，且 = 2，则|2 3
| =( )
A. 7 B. 7 C. 6 D. 6
8.在三棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， = = 2， = 2，则三棱锥 的外接球的
表面积等于( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.传承红色文化，宣扬爱国精神，某中学国旗队在高一年级招收新成员 8 人，经培训后进行考核，所得分
数(10 分制)分别为 7，7，8，8，8，8，9，9，则下列说法正确的是( )
A.这组数据的平均数为 8 B.这组数据的众数为 8
C.这组数据的极差为 2 D.这组数据的 75%分位数为 8
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10.如图，四棱锥 的底面 为正方形， ⊥底面 ，则下列结论中正确的有( )
A. ⊥
B. //平面
C. 与平面 所成角是∠
D. 与 所成的角等于 与 所成的角
11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 1 2，在轴截面 中， = = =
2 ，且 = 2 ，则( )
A.该圆台的高为 1
B.该圆台轴截面面积为 3 3 2
C.该圆台的侧面积为 6 2
D. 7 3 该圆台的体积为 3
3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。
12 △ = 4 = 12.已知 内角 ， ， 的对边为 ， ， ，若 5， 13， = 1，
则 = ______．
13.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， ⊥平面
.若 = ，则直线 与平面 所成的角的大小为______．
14.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到 10 个 类样本，30 个 类样本.若 类样本的平均数为 5.5，
总体的平均数为 4，则 类样本的平均数为______．
15.已知向量 = (2, 1)， = (1, )，若( + 2 )//(2 )，则实数 =______．
四、解答题：本题共 3 小题，共 34 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 10 分)
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服
务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．
分组 频数 频率
[10,15) 10 0.25
[15,20) 24
[20,25)
[25,30) 2 0.05
合计 1
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(1)写出表中 、 及图中 的值(不需过程)；
(2)若该校高三年级学生有 240 人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间[10,15)上的人数；
(3)估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数. (结果精确到 0.01)
17.(本小题 12 分)
2+ 2 2
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2．
(1)求 ；
(2) 若 + = 1，求△ 面积．
18.(本小题 12 分)
如图，四棱锥 的底面 为正方形， ⊥底面 ， 、 分别是 、 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证：平面 ⊥平面 ；
(3)若 = ，求二面角 的大小．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1513
13. 4
14.3.5
15. 12
16.解：(1)由分组[10,15)内的频数是 10，频率是 0.25，
10
得 = 0.25，解得 = 40，
∴ 10 + 24 + + 2 = 40，
解得 = 4， = = 0.10，
∵ 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，
∴ = 2440×5 = 0.12．
(2) ∵该校高三学生有 240 人，在[10,15)内的频率是 0.25，
∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为：240 × 0.25 = 60．
(3) 15+20估计这次学生参加社区服务人数的众数是 2 = 17.5，
∵ = 2440 = 0.6，∴
0.5 0.25
样本中位数是 15 + ≈ 17.10，
估计这次学生参加社区服务人数的中位数是 17.10．
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2+ 217. (1) △
2
解： 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2，
根据余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
2+ 2 2 2
所以 = = 2 = 2，解得： = 1；
(2) 由正弦定理 = = = 2 可得 + = +
= sin( ) = sin( ) sin( + ) sin( + ) sin( + ) = 1，
变形可得：sin( ) sin( + ) = ，即 2 = ，
1
而 0 < ≤ 1，所以 = 2，又 0 < < ，所以 =
3
2 ，
1
故△ 的面积为 △ = 2 =
1 × 1 × 3 = 32 2 4 ．
18.(1)证明：如图，连接 ，则 是 的中点，
又因为 是 的中点，所以 // ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)证明：因为 是正方形，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
又 平面 ，
故平面 ⊥平面 ．
(3)因为 ⊥底面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，故 CD⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，
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因为 = ，所以 = ，
故∠ = 45°．
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