2024-2025学年吉林省长春市希望中学高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 9小题，每小题 5分，共 45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量 = ( , 1), = ( , 2)，若 // ，则 =( )
A. 12 B. 2 C. 2 D.
1
2
2.学校准备举办王者荣耀比赛，从 24 名最强王者，16 名无双王者，8 名荣耀王者中，用分层抽样的方法
抽取一个容量为 6 的样本，则抽取最强王者的人数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3 1+ .已知复数 满足1 = 1 + ，则 =( )
A. 2 1 2 1 1 2 1 25+ 5 B. 5 5 C. 5 + 5 D. 5 5
4.立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是( )
A.过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面
B.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.垂直于同一条直线的两条直线平行
5.有一组样本数据 1， 2， ， ，其平均数为 ，方差为 21 1，若样本数据 1 + 1， 2 + 1， ， + 1
的平均数为 2，方差为 22，则( )
A. 2 = 1 1 B. 2 = C. 2 = 2 21 1 2 D. 1 > 22
6.在正方体 1 1 1 1中，连接 ， 1，则直线 ， 1位置关系是( )
A.异面且垂直 B.异面但不垂直 C.相交且垂直 D.平行
7 .已知圆锥底面半径为 2，其母线与下底面所成角为4，则该圆锥的侧面积为( )
A. 2 2 B. 4 2 C. 2 3 D. 4 3
8.如图，在四面体 中， 是 的中点.设 = ， = ， = ，用 ，
， 表示 ，则( )
A. = + 1 2
+ 1 12 B. = 2 +
+
C. = + 1 1 12 + D. = + 2 + 2
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9.如图，△ ′ ′ ′为水平放置的△ 的直观图，其中 ′ ′ = ′ ′ = 2， ′ ′ ⊥ ′ ′，则
原平面图形△ 的面积为( )
A. 4
B. 2 2
C. 4 2
D. 8
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.给定一组数据 5，2，1，2，3，3，2，3，5，4，则这组数据的( )
A. 8极差为 4 B.标准差为5 C.平均数为 3 D.中位数为 3
11.已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 > ，则 >
B. 若 = 2 6， = 4， = 4，则三角形有两个解
C.若 = 0，则△ 为等腰三角形或直角三角形
D.若△ 1的面积 = ( 24 +
2 2) = ，则 4
12.已知向量 = (1, 3)， = ( , )，则下列结论正确的是( )
A.若 ⊥ ，则 = 33
B. 若 // ，则 = 3
C.若 1在 上的投影向量为 ，则向量 与4
2 的夹角为 3
D. | |的最大值为 3
三、填空题：本题共 2小题，每小题 5分，共 10分。
13.已知 ∈ ，复平面内表示复数( 2 5 6) + ( 2 + + 1) 的点在虚轴上，则 =______．
14 .已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， ⊥平面 ， = 2 3， = 1， = 2，∠ = 3，
则球 的表面积为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 = ( , 3 )， = (2 , 2 )， ( ) = 1．
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(1)求函数 ( )在[0, ]上的单调区间．
(2)当 ∈ [0, 2 ]时，求函数 = ( )的最小值及此时 的值．
16.(本小题 15 分)
2025 年吉林市马拉松赛将于 5 月 18 日 7：30 正式开赛.为积极参与马拉松比赛，吉林市某中学决定从 3000
名学生随机抽取 100 名学生进行体能检测，这 100 名学生进行了 15 公里的马拉松比赛，比赛成绩(分钟)
的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生比赛成绩的平均数；
(3)根据频率分布直方图，估计这 100 名学生比赛成绩的第 80 百分位数；
(4)根据样本频率分布直方图，估计该校 3000 名学生中约有多少名学生能在 80 分钟内完成 15 公里马拉松
比赛？
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的正方形， ⊥底面 ， = 2， 为 的中点，
为 的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
(1)证明：直线 //平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的大小；
(3)求直线 与平面 所成角的余弦值．
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18.(本小题 17 分)
在长方体 1 1 1 1中，侧面 1 1为正方形， = 2 = 2， 为线段 (不包含端点)上一动点，
请利用空间向量法解决下列两个问题．
(1)若 1 ⊥ ，求 的长度；
(2)求点 到平面 1 距离的取值范围．
19.(本小题 17 分)
定义向量 = ( , )的“相关函数”为 ( ) = + ；函数 ( ) = + 的“相关向量”
为 = ( , )．
(1)求函数 ( ) = 2 2( 2 + 3 ) 1 的“相关向量”
的模长；
(2)在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若函数 ( )的“相关向量”为 = (0,1)，且已知 =
4, ( ) = 35．
①求△ 周长的最大值；
②求| + | 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.6 或 1
14.16
15.(1) = ( , 3 )， = (2 , 2 )，
则 ( ) = 1 = 2 2 + 2 3 1 = 2 + 3 2 = 2 (2 + 6 )，
∵ ∈ [0, ]，∴ 2 + 13 6 ∈ [ 6 , 6 ]，
令6 ≤ 2 +
≤ 6 2得 0 ≤ ≤
6；
令2 < 2 +
6 ≤
3 2
2得6 < ≤ 3；
3
2 < 2 +
6 ≤
13 2
6 得 3 < ≤ ．
∴ ( )的单调递增区间为[0, 6 ] (
2 , ] 2 和 3 ，单调递减区间为( 6 , 3 ]．
(2) ∈ [0, 7 当 2 ]时，2 + 6 ∈ [ 6 , 6 ]，此时 sin(2 + 6 ) ∈ [
1
2 , 1]，
则 1 ≤ ( ) ≤ 2，
∴ = ( )的最小值为 1，
7
此时 2 + 6 = 6，即 = 2．
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16.(1)根据题意可得 2 × 10 + (0.04 + 0.03 + 0.02) × 10 = 1，解得 = 0.005；
(2)平均分估计为(55 × 0.005 + 65 × 0.04 + 75 × 0.03 + 85 × 0.02 + 95 × 0.005) × 10 = 73．
(3)成绩落在[50,80)内的频率为(0.005 + 0.04 + 0.03) × 10 = 0.75，
落在[50,90)内的频率为(0.005 + 0.04 + 0.03 + 0.02) × 10 = 0.95，
故第 80 百分位数落在[80,90) 0.8 0.75，且为 80 + 0.02 = 82.5；
(4)样本中 80 分钟之前频率为(0.005 + 0.04 + 0.03) × 10 = 0.75，
因此估计该校 3000 名学生中能在 80 分钟内完成 15 公里马拉松比赛的学生人数为 3000 × 0.75 = 2250．
17.证明：(1)如图，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立坐标系，
(0,0,0) ( , 0,0) ( , , 0) (0,1,0) (0,0,1) (1, 1则 2 , 0)， (0,0,2)
= (1, 12 , 1)， = (1,1, 2)， = (0,1, 2)
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
则
，取 = 1，解得 = (0,2,1)，
= 2 = 0
= 0，又 平面 ，
∴直线 / /平面 ．
解：(2)设 与 所成的角为 ，
∵ = (1,1,0)， = (0,1, 1)，
| ∴ =
| = 1，
| | | | 2
∴ = 3，
∴ 与 所成角为3．
(3)设直线 与平面 所成角为 ，
则 = |
| = 2，∴ = 1 2 = 15，
| | | | 5 5 5
∴直线 与平面 所成角的余弦值为 15．
5
18.解：(1)以 为坐标原点，分别以 、 、 1所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,2,0)， 1(0,0,1)，设 (1, , 0)且 0 < < 2，
则 1 = (1, , 1)， = (1, 2,0)，
由 1 ⊥ ，得 1 = 1 + ( 2) = 0，得 = 1，
即 的长度为 1；
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(2)设 = ( , , )平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，
1 = + = 0由 ，取 = 1，得 = (2 ,1,2)，
= + ( 2) = 0
而 (1,0,0)，故 1 = (1,0, 1)，
则点 到平面 距离 = |
1
| | | =
1 (2 )2+5
= 1 = 1
9 4+1 1 2 2 5，
2 9( 9) +9
∵ 0 < < 2 ∴ 1， >
1 2 5
2，得 ∈ (0, )．5
19.(1) ( ) = 2 2( + 2 3 ) 1 = cos( +
2 ) = 33 2 +
1
2 ，
因此由“相关向量”定义可知：
函数 ( ) 3 1的“相关向量”为 = ( 2 , 2 )，
则“相关向量” 的模长为 1；
(2)①由函数 ( )的“相关向量”为 = (0,1)，得 ( ) = ，
由 ( ) = 35，得 =
3
5，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，
2
则 16 = 2 + 2 6 2 16 2 16 + 2 ( + )5 = ( + ) 5 ≥ ( + ) 5 ( 2 ) = 5 ，
解得 + ≤ 4 5，当且仅当 = = 2 5时取等号，
所以 + + ≤ 4 5 + 4，
即△ 周长的最大值为 4 5 + 4；
②由①知： 2 + 2 = 16 + 65 ，
则| + | = 2 + 2 + 65
3
5 = 2 4 +
3
5
3
5 ，
而 16 = 2 + 2 65 ≥
4
5 ，则 ≤ 20，
当且仅当 = = 2 5时取等号，于是 0 < ≤ 20，
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令 = 4 + 35 ∈ (2,4],
则| + | = 2 + 2 + 4 = ( 1)2 + 5 ∈ [ 4,4)，
所以| + | 的取值范围为[ 4,4)．
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