2024-2025 学年新疆哈密十五中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 (1 + ) = 4 + 3 ，则| | =( )
A. 5 22 B.
5
2 C.
2
2 D.
1
2
2.已知 (3,1)， (4,3)， ( , 7)三点共线，则 =( )
A. 10 B. 8 C. 7 D. 6
3.已知 ， 是两个不重合的平面， ， 是两条不重合的直线，且 ， ，则下列结论正确的是( )
A.若 ⊥ ，则 ⊥ B.若 // ，则 //
C.若 // ， // ，则 // D.若 ⊥ ，则 ⊥
4.在△ 中，若 = 6， = 45°， = 2，则 等于( )
A. 5 2 6 B. 3 C. 6或 6 D. 3或 3
5.将周长为 8 的矩形 绕边 所在直线旋转一周得到圆柱.当该圆柱体积最大时，边 的长为( )
A. 43 B.
2
3 C.
1
3 D. 1
6.如图，在正方体 1 1 1 1中，直线 1 与 1 所成角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
7.已知向量 = (2, 1), = ( 3, ), (2 + ) ⊥ ，则 =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
8.等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为 12，则用长方体其中
的四个顶点构成的等腰四面体的体积为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 满足 = 2 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. | | = 5 B. = 2
C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 2 + 4 11 = 0
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10.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，则下列四个结论正确的是( )
A. 1 1 ⊥ 1
B. 1 1/ /平面 1
C.正方体的外接球的表面积为 12
D.三棱锥 1
8
的体积为3
11 .△ 的内角 ， ， 的对边分别为 , , , = 7, = 2, = 3，则( )
A. = 3 B. = 217
C. = 27 D. △ 中
19
边中线长为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( 2, ), = (1,1)，且 ⊥ ，则 = ______， 在 方向上的投影向量的坐标为______．
13.已知等边△ 边长为 2， ⊥平面 ，且 = 3，则点 到平面 的距离为______．
14.已知三棱锥 中， ⊥ ， ⊥ ， = 2 = 2，三棱锥 2的体积为3，则当 取最
小值时，三棱锥 外接球的体积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = (1,2), | | = 5．
(1)若 // ，求 的坐标；
(2)若(2 ) ( + ) = 4，求 与 的夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 2 + = 0．
(1)求角 ；
(2)若△ 15 3的面积为 4 ，周长为 15，求 的值．
17.(本小题 15 分)
已知正方体 1 1 1 1图，
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(1)求证：平面 1 1//平面 1D.
(2)求二面角 1 1 的大小的余弦值．
18.(本小题 12 分)
在△ 中，已知 = 2， = 4，∠ = 60°， ， 边上的两条中线 ， 相交于点 ．
(1)求 的长度；
(2)求∠ 的余弦值．
19.(本小题 12 分)
如图，在四棱锥 中， // ⊥ = = 1， ， 2 = 2， 为棱 的中点， ⊥平面 ．
(1)证明： / /平面 ；
(2)求证：平面 ⊥平面 ；
(3)若二面角 的大小为 45°，求直线 与平面 所成角的正切值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 ( 1, 1)
13. 62
14.9 2
15.(1)已知 = (1,2), | | = 5，
又 // ，
设 = ( , )，
= 2
由题意有 ，
2 + 2 = 5
= 1 = 1
解得 = 2或 = 2，
故 的坐标为(1,2)或( 1, 2)；
2
(2)由(2 ) ( + ) = 4 2化简整理得 2 + = 4，
则 2 × (1 + 4) + 5 = 4，
解得 = 1，
1
即 cos < , >= = ．
| || | 5
16.解：(1)根据正弦定理可得 = 2 ， = 2 ，
因为 2 + = 0，所以 2 2 + 2 = 0，
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所以 = 12，
2
又 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2) 15 3因为 = 3，△ 的面积为 4 ，
1 3
所以 △ = 2 = 4 =
15 3
4 ， = 15，
由余弦定理可得， 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 ，
∴ 2 = ( + )2 = (15 )2 15，
解得 = 7，
所以 的值为 7．
17.解：(1)证明：在正方体 1 1 1 1中， 1// 1// 1， 1 = 1 = 1，
则四边形 1 1 是平行四边形，
所以 1 1// ，又因为 1 1 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 1 1//平面 1 ，
同理 1//平面 1 ，而 1 ∩ 1 1 = 1， 1， 1 1 平面 1 1，
所以平面 1 1//平面 1D.
(2)取 1 1中点 ，连接 1 ， ，则 ⊥ 1 1， 1 ⊥ 1 1，
所以∠ 1是二面角 1 1 1 的平面角，
令正方体的棱长为 2，
则 21 = 2, = 1 + 1 2 = 22 + ( 2)2 = 6，cos∠ =
1 = 2 = 11 ， 6 3
由平面 1 1 1//平面 ，得二面角 1 1 的大小等于∠ 1，
所以二面角 1 1 的大小的余弦值为
3．
3
18.(1)连接 ，则 是△ 的中位线，
故 // 1，且 = 2 ，
△ 1在 中， = 2 = 2，又 = 2，∠ = 60°，
故△ 是等边三角形，
所以 = 2，
1
因为△ ∽△ ，所以 = = 2，
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所以 = 23 =
4
3；
(2)在△ 中，由余弦定理得：
2 = 2 + 2 2 ∠ = 16 + 4 16 60° = 12，
解得 = 2 3，则 = 12 = 3，
因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
在△ 中，由勾股定理得 = 2 + 2 = 4+ 3 = 7，
△ △ = = 1 = 2 7因为 ∽ ，所以 2，解得 3 ，
2 2 2 28+16 4
在△ 中，由余弦定理得 cos∠ = + = 9 92 2 7 4 =
7
14，2× 3 ×3
因为∠ = ∠ 7，所以∠ 的余弦值为14．
19.证明：(1) ∵ // 且 = ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ // ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(2) ∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
连接 ，∵ // 且 = ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ⊥ ， = = 2，
∴平行四边形 为正方形，
∴ ⊥ ，
又∵ // ，∴ ⊥ ，
又∵ = ， 面 ， 面 ，
∴ ⊥面 ，
∵ 面 ，
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∴平面 ⊥平面 ；
解：(3) ∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
又∵ ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∴ ∠ 为二面角 的平面角，从而∠ = 45°，
∴在 △ 中， = = 4，
作 ⊥ 于 ，连接 ，
由(2)知，平面 ⊥平面 且 平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ ⊥面 ，∴ 即为直线 在平面 上的投影，
∴ ∠ 为直线 与平面 所成角，
在直角△ 中， = = 2 2， = 4， = 2 6，
∴ = 4×2 2 4 3 = 2 6 = 3 ，
∵ ⊥面 ， 面 ，∴ ⊥ ，
在直角△ 中， = 4, = 4 3， = 2 2 = 16 16 4 63 3 = 3 ，
4 3
∴ tan∠ = =
3 = 24 6 2 ，
3
则直线 与平面 2所成角的正切值为 2 ．
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