2024-2025 学年黑龙江省大庆市林甸县高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 是复数 的共轭复数， = 1( 为虚数单位)，则 的虚部是( )
A. B. C. 1 D. 1
2.已知 ， ， 是三条不重合的直线， ， ， 是三个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
B.若 ， ， // ， // ，则 //
C.若 // ， // ，则 //
D.若 // ， ， ，则 //
3.已知一个圆锥的底面半径为 3，侧面积为 6 ，则该圆锥的外接球体积为( )
A. 32 3 B. 6 C. 8 D.
16
3
4.图 1 是某长方体建筑，图 2 长方体 1 1 1 1是该建筑的直观图，点 在 的延长线上， 是垂
直于地面的测量标杆，高为 .现测得 长为 ，在 处测得 1点的仰角为 ， 1点的仰角为 ，则建筑物
的高 1为( )(单位： )
A. + sin( + ) B. +
sin( + )sin( )
C. + sin( + ) sin( ) D. + sin( + )sin( )
5.已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 cos( ) cos( + ) = 34，且 =
3
2，则△
的外接圆的面积为( )
A. 2 B. C. 2 D. 4
6.在直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 2，∠ = 120°， 是棱 1 1的中点，则异面直线
与 1 所成角的余弦值为( )
A. 10 3 10 5 2 510 B. 10 C. 5 D. 5
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7.如图，在梯形 中， = 3， = 2 ， // ，∠ = 3，点 满足 2 =
，点 满足 = 2 ，且 = 3 3，则 =( )2
A. 3 B. 4 C. 9 D. 12
8 .在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 , ∈ (0, 2 )， = ，则 的取值范围是( )
A. [ 43 , 1) B. [
4
3 , 1] C. (1,
4
3 ] D. [1,
4
3 ]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于非零复数 1 = + ， 2 = + ， ， ∈ 及其共轭复数 1， 2，下列说法正确的是( )
A. 1 2 + 1 2= 0 B. 1 1 = 2 2 C.
2 = 2 D. | 1 2| = | 2
1|
1 1
10.已知△ 三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若( 3 2 ) = 3( )，则
下列选项正确的是( )
A. = 6
B.若点 在边 上， 为角平分线且长度为 1，则 + = 3
C.若 是 3 3边上的一点，且 = 2 ， = 2，则△ 的面积的最大值为 2
D.若 是△ 的外心， = + ，则 + ∈ [ 2,1)
11.如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 、 分别为棱 1 1、 1
的中点， 为面对角线 1 上一个动点，则( )
A.三棱锥 1
1
的体积为定值3
B.存在点 ，使平面 //平面 1
C.存在点 ，使直线 1 ⊥平面
D.平面 截正方体所得截面的最大面积为 3 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 为虚数单位，如果复数 满足| + 2 | + | 2 | = 4，那么| 1|的最小值是______．
13.已知点 在线段 上(不含端点)， 是直线 外一点，且 2 = 0 1 1 ，则 + 的最小值是
______．
14.已知正四棱锥 的底面边长为 1，侧棱长为 2， 的中点为 ，过点 作与 垂直的平面 ，则
平面 截正四棱锥 所得的截面面积为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，已知 是平面 外一点， ⊥平面 ， ⊥ ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)过 点作 垂直 于 ，证明： ⊥ ；
(3)若 = 1， = 3，求点 到平面 的距离．
16.(本小题 15 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 + = ，其中 ， ∈ ．
(1) = 2 = 2025 当 ， 时，求 的值；
(2) 4当 = 1， = 2 时，若 = 5 , = 5 且 > ，求 及△ 的周长．
17.(本小题 15 分)
已知复数 ， ， 2在复平面内对应的点分别为 ， ， ，其中 在第一象限，且原点 是△ 的外心．
(1)求| |；
(2)记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且( + )2 = 2 + 4 2 2．
①判断△ 的形状，并说明理由；
②求△ 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， ⊥平面 ， = 2，动点 在棱 上
移动，连接 ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若点 为棱 的中点， ∈平面 ， ∈平面 ．
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( ) 与 所成的最小角为 ，求 ；
( )设平面 ∩平面 = ， ⊥ ， 与 所成角的最小值为 ，当 最小时，求 的值．
19.(本小题 17 分)
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 1 1 1 1，下部是正四棱柱 1 1 1 1(如
图所示)， 1 = 6， 1 = 2 且正四棱柱的高 1 是正四棱锥的高 1的 4 倍．
(1)求该几何体的表面积；
(2)若 ， ， 分别为棱 1， 1 1， 的中点，求四面体 1 的体积；
(3)若 ， 分别是线段 1 1， 1上的动点，求 + + 1的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.2 + 2 2
14. 33
15.(1)证明：因为 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ；
(3)在平面 内过点 作 ⊥ 交 于点 ，
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因为 = 1， = 3 = 3， ⊥ ，所以 = 2，
所以 = 3， = 2
又 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
所以点 到平面 的距离为 = 3．2
2 2
16.(1) sin 由正弦定理可得 = = ，
由余弦定理知 = 1 2 22 ( +
2)，由题意知 2 + 2 = 2025 2，故 = 1012 2 1，故 = 1012；
(2)当 = 1， = 2 时，即 + = 2 ，由正弦定理可得 + = 2 ，
因为 = sin( + )，即 + sin( + ) = 2 ，
因为 + = 2 且 > ，故 < < ，因此 为锐角，故 = 1 sin2 = 35，
故 + 45 +
3
5 =
8
5，即 2 + = 2，
因此 = 2 2 ，因此sin2 + (2 2 )2 = 1，即 5 2 8 + 3 = 0，解得 = 35 ( = 1
舍去)，
即 = 1 = ，故 2，因为 = 5，故 = 4， = 3，因此△ 的周长为 12．
17. (1) ∵ 是△ 的外心，即| | = | | = | |，∴ | | = | | = | 2|，
只需考虑| | = | 2|，即| | = | |2，又∵ 在第一象限，∴ | | ≠ 0，
∴ | | = 1；
(2) ∵ ( + )2 = 2 + 4 2 ① ，∴ 22 +
2 + 2 = 2 + 2 (1 )，
∴ 2 = 2 + 2 + 2 ，
由余弦定理知 2 = 2 + 2 2 ，两式相加可得 2 = 2 + 2，∴ = 2，
∴△ 是直角三角形；
②设 = + ， ， ∈ ，则 = , 2 = 2 2 + 2 ，
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可知 ( , )， ( , )， ( 2 2, 2 )，
易知 与复平面的实轴垂直，又 = 2，∴ 与复平面的虚轴垂直，
∴ = 2 1 3，∴ = 2，又| | =
2 + 2 = 1，点 在第一象限，∴ = 2 ，
∴ ( 12 ,
3
2 ), (
1 3 1 3
2 , 2 )， ( 2 , 2 )，∴ | | = 3，| | = 1，
∴△ 1的面积为2 | || | =
1
2 × 3 × 1 =
3
2 ．
18.(1)证明：连接 ， ，
由题意知，平面 即为平面 ，
由正方形的性质知 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)解：( )由题意知， 为平面 内过点 的任意一条直线，
所以直线 与 所成的最小角等价于 与平面 内的直线所成的最小角，
由线面角的定义知， 为直线 与平面 所成的线面角，
设 ∩ = ，连接 ，则点 是 的中点，
1因为 是 的中点，所以 // ， = 2 = 1，
又 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ，所以∠ 为直线 与平面 所成的角，
所以 = sin∠ =
=
1 = 3
12+( 2)2 3
．
( )由题意知， 为平面 内过点 的任意一条直线，
故同( )的推导可知，直线 与 所成的最小角等价于 与平面 所成的线面角，
作 ⊥平面 于点 ，则 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ，所以 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，
所以 = ∠ ，
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (2,0,0)， (1,1,1)， (0,0,2)， (0,2,0)，
设 = ，则 (0,2 , 2 2 )，0 ≤ ≤ 1，
所以 = ( 1,1,1)， = ( 2,2 , 2 2 )，
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易知平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
+ + = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 = 0 ，
= 0 2 + 2 + (2 2 ) = 0
取 = ，则 = 2 1， = 1，所以 = (2 1, , 1)，
> | = | | = | 1| = ( 1)
2
所以 = |cos < ， | | | | 2 ，(2 1)2+ 2+( 1)2 6 6 +2
令 = 1 ，则 ∈ [0,1]，
所以 =
2
，
6 2 6 +2
若 = 0，则 = 0，即 = 90°；
1 1
若 ≠ 0，则 = 2(1)2 6(1
= 1 3 2 3，
)+6 2( 2) +2
= 2 = 1当 3，即 3时， 取得最大值
6，此时 最小，且 < 90°，
3
1
故 = 3．
19.解：(1)连接 1 1，则 1 ⊥ 1 1，因为 1 = 6， 1 = 2，所以 1 1 =
62 22 = 4 2，
所以正方形 1 1 1 1中， 1 1 = 4 2 × 2 = 8，
而 1 = 4 1 = 8，在 1 1 1中 1 = 6 = 1 = 6， 1 1 = 8，
1
所以四棱锥的侧面积为 1 = 4 × 2 × 8 × 6
2 42 = 32 5，
下面正方体 5 个面的面积为 22 = 5 × 8 = 320，
所以多面体的表面积为 = 1 + 2 = 320 + 32 5．
(2)由题意，计算
1 = 42 + 82 = 4 5 = 1 = 1 ，
= 21 + 1 2 = 42 + (4 5)2 = 4 6，
同理可得： = = 4 6 = ，
所以三棱锥 1 为底面边长为 4 6，侧棱长为 4 5正三棱锥，
过 1作底面的高，垂足为 ，因为底面是正三角形 故 H 是正三角形 的重心，
所以
1 = 21 2 = 80 32 = 4 3，
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1 1 3
所以 2 1 = 3 1 △ = 3 × 4 3 × 4 × (4 6) = 96；
(3)将长方形 1 1，△ 1 1和△ 1 1展开在一个平面，
1 = 1 = 1 = 6 1 1 = 1 1 = 8，
设∠ = ，则 ∠ 1 1 = cos∠ 1 1 = =
4 2
6 = 3， 1 1 = 1 = 8， 1 = 8 2，
∠ 1 1 =
5
4，所以 = 3 ，
所以 2 = 2 = 2 × 5 × 23 3 =
4 5
9 ，
2 = 1 2 2 = 1 2 × ( 53 )
2 = 19，
cos∠ 1 1 = cos( 4 + 2 ) = cos 4 2 sin 4 2
= 2+4 1018 ，
当 ， ， ， 1四点共线时， + + 1最短，
所以 1 = 21 + 1 21 2 1
8
1 1 cos∠ 1 = 3 29 + 8 5，
即 + + 81的最小值为3 29 + 8 5．
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