2024-2025学年湖南省娄底市第一中学高二下学期期末学情诊断考试数学试卷B
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. B.
C. D.
2.公差不为零的等差数列的首项为，则的公差为( )
A. B. C. D.
3.已知非零向量，则“”是“或”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列曲线中，存在与轴平行的切线的是( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则下列结论公比( )
A. B. C. D.
6.在件产品中，有件合格品，件次品从这件产品中任意抽取件，则抽出的件产品中至少有件是次品的抽法种数是( )
A. B. C. D.
7.已知是函数的导函数，且则下列不等式一定成立的是 ．
A. B.
C. D.
8.某市高二年级有名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取名学生了解教学情况总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算，则名学生的成绩均在分以上的概率为 参考数据：
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.期末考试，某学校的数学成绩服从正态分布，则( )
A. 这次测试的数学平均成绩为
B. 这次测试的数学成绩的方差为
C. 分数在分以上的人数与分数在分以下的人数相同
D. 分数在分以上的人数与分数在分以下的人数大致相同
10.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 存在无数个点，使得平面
B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 三棱锥的体积为定值
D. 三棱锥的外接球表面积为
11.对于函数，下列说法正确的有( )
A. 在处取得极大值
B. 在处的切线方程为
C. 有两个零点
D. 若在上恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比等于 ．
13.设，则的值为 ．
14.点、是双曲线：的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点若、、组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为和，则满足条件的双曲线的离心率有 种情况．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的短轴长为，点在上．
求椭圆的标准方程；
已知直线与椭圆交于，两点，且，求的值．
16.本小题分
已知函数，．
若，求函数的极值；
若，且不等式在上恒成立，求的最小值．
17.本小题分
某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：
有两次游戏机会．
依次参加、游戏．
若一个游戏胜利，则可以参加下一个游戏；若游戏失败，则继续进行该游戏．
参加游戏，则每次胜利可以获得奖金元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金元；不管参加哪一个游戏，失败均无奖金．
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：
甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏？并说明理由；
在的基础上，解答下列两问：
(ⅰ)求该运动员不能参加游戏的概率；
(ⅱ)已知两次游戏结束后有三种不同的奖金额，分别为元、元、元，记为获得元奖金对应的概率定义：最终获得奖金的期望为，求以及该运动员最终获得奖金的期望．
18.本小题分
如图，在正三角形中，分别为中点，将沿折起，使二面角为直二面角，如图，连接，过点作平面与平面平行，分别交于．
证明：平面；
点在线段上运动，当与平面所成角的正弦值为时，求的值．
19.本小题分
物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数，若满足，则称数列为牛顿数列．已知，如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，用代替重复上述过程得到，一直下去，得到数列．
求数列的通项公式；
若数列的前项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．参考数据：，，，
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：因为椭圆的短轴长为，所以短半轴长。
所以椭圆的标准方程为：，又因为点在椭圆上，
所以，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为：；
设直线与椭圆的交点为和的坐标分别为。
由，可得，
整理得，，解得，
所以，
因为，所以，
所以，所以
整理得，解得或舍去，
所以．
16.解：当时，，．
所以，．
由；由．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，函数有极大值，为；无极小值．
因为，且不等式在上恒成立．
所以在上恒成立．
即在上恒成立．
设，．
则．
由；由．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以是函数的最小值，且．
所以在上恒成立所以．
所以在上恒成立．
所以．
又，所以的最小值为．
17.解：由甲的频率分布直方图可得，
，则甲得分的中位数位于；
由乙的频率分布直方图可得，
，则乙得分的中位数位于，
综上可得甲得分的中位数大于乙得分的中位数，所以甲进入第二阶段．
设事件参与游戏胜利，则其对立事件参与游戏失败
由题意可得，则不能参加游戏的概率；
设事件参与游戏胜利，则其对立事件参与游戏失败
由题意可得，则，
，，
所以元．
18.解：作中点，连接，
分别为中点，则，
而二面角为直二面角，且平面平面，
平面，故平面，
平面平面，平面平面，平面平面，
同理，
由分别为中点，，则四边形为平行四边形，
故，为中点，为的中点，
而，，
平面，平面，，
而，平面，平面，
平面，，，
由于，是公共边，≌，
，即，
又平面，平面．
由知平面，以为坐标原点，为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
令，则，，，，，
，，，
设，，，故，
设平面的法向量，，，
则，取，，
，而与平面所成角的正弦值为，
，解得或．
19.解：，
在点处的切线方程为：
令，得，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故
令
法一：错位相减法
，
，
两式相减得：
化简得：
故，
化简得
令，
则，
当时，，即，
当时，，即，
所以
从而整数；
法二：裂项相消法
由，
设且，
则，
于是，得
即
所以
故，化简得
令，
则时，，
当当时，，即，
当时，，即，
所以
从而整数
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