1.5《等腰三角形》同步测试
【题型1：等腰三角形的定义】
1.如果等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（ ）
A．12或16 B．16 C．20 D．20或16
2.等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（ ）
A．25 B．33 C．42 D．33或42
3.等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A．3cm B． C．3cm或4cm D．或
4.已知一个等腰三角形的两条边长分别为和，则它的底边长是 ．
【题型2：三线合一】
1.如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
2.如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．平分
C． D．
3.在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在等腰三角形中，，点是边的中点，则的度数为 度．
【题型3：格点图中画等腰三角形】
1.如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，在平面直角坐标系中，点，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4.小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使是格点等腰三角形．
小聪的作法是：以点A为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置．
(1)按照小聪的作法，能确定_______个点C，此时等腰三角形的底边是_______．（填线段）
(2)小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以作为的底边，那么小明的作法应该是：以点_______为圆心，以_______长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置．
(3)你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹）
(4)小聪、小明和你一共作出了_______个符合要求的点C．
【题型4：等腰三角形的判定】
1.如图，在和中，，交于点，且．求证：是等腰三角形．
2.如图，在等腰三角形中，，为边上的高线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由．
3.如图，在，点是上一点，，，，，连接交于点．
(1)求证：；
(2)求证：是等腰三角形
4.已知：如图，为的外角平分线上的一点，，，求证：
(1)是等腰三角形；
(2)．
【题型5：等腰三角形的性质和判定】
1.如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的度数．
2.如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的长．
3.在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．
（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；
（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E．
（1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE．
（2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
参考答案
【题型1：等腰三角形的定义】
1.C
【分析】本题考查等腰三角形的定义，涉及三角形三边关系等知识，根据题意，分两种情况，结合构成三角形的条件求解即可得到答案，熟记等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，分两种情况：
当等腰三角形的边长分别为，
，
由构成三角形的三边关系可知，无法构成三角形，
即此情况不符合题意；
当等腰三角形的边长分别为，
改等腰三角形的周长为，
故选：C．
2.C
【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义．分①腰长为8和②腰长为17两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①当腰长为8时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、8、17，
此时，不满足三角形的三边关系，舍去；
②当腰长为17时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、17、17，
此时，满足三角形的三边关系，
所以它的周长为；
综上，这个等腰三角形的周长为42，
故选：C．
3.C
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系的应用，分两种情况讨论：当为腰长或底边长，分别计算另一边的长度并验证是否满足三角形三边关系.
【详解】解：当为腰长时：
另一腰长也为，底边长为周长减去两腰之和，即：
此时三边为、、，验证三边关系：符合题意；
满足条件，故腰长为；
当为底边长时：
两腰之和为周长减去底边，即：
每边腰长为：，
此时三边为、、，验证三边关系：符合题意；
满足条件，故腰长为；
综上，腰长可能为或，对应选项C；
故选：C
4.
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；本题应分为两种情况：①为底，为腰，②为底，为腰，根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：等腰三角形的两边分别是和
应分为两种情况：①为底，为腰，则；
②为底，为腰，则构不成三角形；
它的底边长是
故答案为：．
【题型2：三线合一】
1.（1）证明：∵，是边上的中线，
∴，，
，
，，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）知，，那么，
在和中，
，
∴，
∴，
是边上的中线
，
∴．
2.D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确．
【详解】解：∵中，，D是中点
∴，即平分，
故A、B、C三项正确， D不正确．
故选：D．
3.D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解：在中，，，
，，，
故选项A.B.C正确，不符合题意；
不能证明，
故选项D不正确，符合题意；
故：D．
4.
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，根据三线合一可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【详解】解：∵在等腰三角形中，点是边的中点，
∴，则，
∵，
∴
故答案为：．
【题型3：格点图中画等腰三角形】
1.C
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论．
【详解】解：如图，
由图得满足条件的格点P有5个，
故选：C．
2.C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．
【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个，
当为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
3.C
【分析】本题考查了点的坐标，等腰三角形的性质，垂直平分线，根据以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，进行分类讨论，借助尺规作图进行快速得出满足条件的点P的个数，即可作答．
【详解】解：依题意，当时，如图所示：
此时满足条件的点P有一个；
当时，如图所示：
此时满足条件的点P有两个；
当时，如图所示：
此时满足条件的点P有一个；
综上满足在坐标轴上的点一共有个，
故选：C
4.（1）解：如图所示，一共有3个点符合题意，
由作图方法可得，故底边为；
（2）解：∵作为的底边，
∴，
∴以点B为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置．
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）解：如图所示，一共有8个点符合题意；
【题型4：等腰三角形的判定】
1.证明：在和中，
，
，
，
，
是等腰三角形．
2.（1）解：下图即为所求作．
（2）解：为等腰三角形．
理由：在中，，
∴．
∵分别为边上的高线，
∴．
∴．
∴．
∴为等腰三角形．
3.（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
4.（1）证明：∵，
，，
为的外角平分线上的一点，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴．
【题型5：等腰三角形的性质和判定】
1.（1）证明：∵是的平分线，
，
，
，
，
，
∴是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，
．
2.（1）证明：是等腰三角形的底边上的高，
．
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：是等腰三角形，，
，
．
，
，
．
由（1）知，
．
．
3.解：（1）△AEF是等腰三角形，
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）∵△ABC的周长为18，BC＝6，
∴AB+AC＝18﹣6＝12，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝12．
4.（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，即∠FBE＝∠CBE，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴FB＝FE．
（2）解：∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，∠ABD＝∠C＝36°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°，
∴∠BAD的度数是54°．
