2024-2025 学年甘肃省临夏州高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 = 2 + 5 ，则复平面内复数 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知△ 2的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 2 , = 3，则 =( )
A. 1 1 3 23 B. 2 C. 4 D. 5
3.已知 ， ， 为随机事件， 与 互斥， 与 互为对立，且 ( ) = 0.2， ( ) = 0.6，则 ( ∪ ) =( )
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
4.已知角 3 的终边过点 ( 3, 1)，则 sin( 2 + 2 )的值为( )
A. 1 B. 1 C. 22 2 5 D.
2
5
5.已知 = 16 且| | = 2，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
6.已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为 4 3，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半
径为 3的小圆锥，则所得圆台的体积为( )
A. 21 B. 42 C. 63 D. 84
7.在直角梯形 中，已知 / / ，∠ = 90°， = 2 = 2 = 4，点
是 边的中点，点 是 边上一个动点.则 的取值范围是( )
A. [ 12 , 0] B. [0,1] C. [
1
4 , 0] D. [
1
4 , 2]
8.设函数 ( ) = cos2 32 + 2
1
2 , ( > 0)
，若函数 ( )在区间(0, 2 )上恰有 4
个零点，则实数 的取值范围为( )
A. ( 173 ,
23 17 23 23 29 23 29
3 ] B. [ 3 , 3 ) C. ( 3 , 3 ] D. [ 3 , 3 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.我市某中学高一三班有 50 人，其中男生、女生的人数及其团员人数如表所示．
项目 团员 非团员 合计
男生 10 20 30
女生 5 15 20
合计 15 35 50
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记事件 为“在班级里随机选一人，选到男生”，事件 为“在班级里随机选一人，选到团员”.下列说法正
确的是( )
A.事件 的对立事件为“在班级里随机选一人，选到女生”
B.事件 与事件 互斥
C. ( ) = 35 , ( ) =
3
10
D.事件 与事件 相互独立
10.对于平面向量 , ，下列说法正确的是( )
A.若 // ，则 = 0
B.若 < 0，则 与 的夹角为钝角
C. = ( 2, ), = (1, 2 2 )，则 与 可能垂直
2
D.若( + ) ( ) = 2，则| | = | |
11.正八面体是一种正多面体，由 8 个正三角形面组成，对角面为正方形.
如图，正八面体 的棱长为 5， 为棱 上一点，且 = 1，则( )
A.平面 //平面
B.该正八面体外接球的表面积为 50
C.二面角 的余弦值为 13
D. 21异面直线 与 所成角的余弦值为 42
三、填空题：本题共 3 小题，共 20 分。
12.已知复数 满足(1 + 2 ) = 4 + 3 ，则| | =______．
13.甲、乙二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得 800 元奖金.已知
甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终
止比赛.现将 800 元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得______元.
14.直三棱柱 1 1 1的各顶点都在同一球面上，若 = = 2， 1 = 4，∠ = 120°，则此球的
表面积为______，体积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量 = ( , ), = ( + , + )，且 ⊥ ．
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(1)求 ；
(2)若 = 2 3，求△ 面积的最大值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 2 4 3cos2 + 2 3．
(1)求函数 ( )的图象的对称轴方程；
(2)求函数 ( )的单调递增区间；
(3)当 ∈ [0, 3 ]时，求函数 ( )的值域．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， = 4, = 4 2，△ 为等边三角形，平面 ⊥
平面 ， ⊥ ．
(1)设 ， 分别为 ， 的中点，求证： / /平面 ；
(2)求证： ⊥平面 ；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的 .小明、小华两位同学报名参加某公司拟开
展的 培训，培训前需要面试，面试时共有 3 道题目，答对 2 道题则通过面试(前 2 道题都答对或
3
都答错，第 3 道题均不需要回答).已知小明答对每道题目的概率均为4，小华答对每道题目的概率依次为
2
3 ,
2
3 ,
1
2，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立.记“小明只回答 2 道题就结束面试”为事件 ，记“小
华 3 道题都回答且通过面试”为事件 ．
(1)求事件 发生的概率 ( )；
(2)求事件 和事件 同时发生的概率 ( )；
(3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
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19.(本小题 17 分)
已知甲箱中有 4 个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母 、 和小写英文字母 、 ；乙
箱中有 个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字 1，2，…， ( ∈ +).
(1)现从甲箱中任意抽取 2 个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文
字母的概率；
(2)现从乙箱中任意抽取 1 个小球，设 =“所抽小球上面标注的数字”，记事件 =“| 2| ≤ 1”，事件
= 4“ 2 ≤ 0”，若事件 与事件 独立，求 的值；
(3)在(2)的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取 3 次，每次取 1 个
小球，求这 3 个小球中至少有 2 个小球上面标有英文字母的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 5
13.700
14.32 64 23
15.(1)因为 ⊥ ，向量 = ( , ), = ( + , + )，
所以 = ( )( + ) ( + ) = 0，
即 2 + 2 2 = ，
2 2 2
由余弦定理得 = + 1 2 2 = 2，因为 ∈ (0, )，所以 = 3．
(2)由(1)得 = 2 + 2 12 ≥ 2 12，即 ≤ 4，
当且仅当 = = 2 时，等号成立，
1 3
则 △ = 2 = 4 ≤ 3，
所以当 = = 2 时，△ 面积的最大值为 3．
16.(1)因为 ( ) = 2 2 4 3cos2 + 2 3 = 2 2 2 3 2 = 4 (2 3 )，
由 2 = 3 2 + , ∈ ，可得 =
5
12 + 2 , ∈ ，
( ) = 5 即函数 的图象的对称轴方程为 12 + 2 , ∈ ；
(2) 由 2 + 2 ≤ 2
3 ≤
2 + 2 , ∈
5
，可得 12 + ≤ ≤ 12 + , ∈ ，
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即函数 ( ) 5 的单调递增区间为[ 12 + , 12 + ], ∈ ；
(3)当 ∈ [0, ] 3 时，则 2 3 ∈ [ 3 , 3 ]，
3 3
所以 sin(2 3 ) ∈ [ 2 , 2 ]，则 4 (2 3 ) ∈ [ 2 3, 2 3]，
故 ( )的值域为[ 2 3, 2 3]．
17.解：(1)证明：如图，连接 ，
因为底面 为平行四边形，则 ∩ = ， = ，
因为 = ，
所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)证明：取 中点 ，连接 ，
因为△ 为等边三角形，则 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， 面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(3)由(2)已得 ⊥平面 ，连接 ，
则由线面所成角的定义可得∠ 即直线 与平面 所成角，
因为△ 为等边三角形， = 4，则 = 32 = 2 3，
又 = 4 2，
在 △ 中，sin∠ = =
2 3 6
，
4 2 = 4
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 6．
4
18.(1)根据题意，若事件 发生，即小明只回答 2 道题就结束面试，则小明前两题都答对或都答错，
所以 ( ) = ( 3 2 1 2 54 ) + ( 4 ) = 8；
(2)根据题意，若事件 发生，即小华 3 道题都回答且通过面试，则小华前两题答对一题，答错一题，第三
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题答对，
则 ( ) = 2 1 1 1 2 1 23 × 3 × 2+ 3 × 3 × 2 = 9，
又由事件 ， 相互独立，则 ( ) = ( ) ( ) = 5 28 × 9 =
5
36．
(3)记小明没有通过面试为事件 ，
即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况，
3 1 1 1 3 1 1 1 5
则小明没有通过面试的概率为 ( ) = 4 × 4 × 4 + 4 × 4 × 4 + 4 × 4 = 32，
5 27
可得小明通过面试的概率为 ( ) = 1 32 = 32．
2 2 2 2
记小华通过面试的事件为 ，由(2)得 ( ) = 9+ 3 × 3 = 3，
由题意可知，事件 ， 相互独立，
记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为 ，
则 ( ) = ( ) + ( ) = 23 ×
5 + 1 × 27 3732 3 32 = 96．
19.解：(1)依题意，样本空间 = {( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )}，共包含 6 个样本点，
记事件 =“恰好一个小球上面标注大写英文字母、另一个小球上面标注小写英文字母”，
则 = {( , )，( , )，( , )，( , )}，共包含 4 个样本点，
所以事件 4 2的概率为 ( ) = 6 = 3；
(2)依题意，事件 = {1,2,3}，事件 = {3,4}，
( ) = 3 2 1 ， ( ) = ， ( ) = ，
由事件 与事件 独立，得 ( ) ( ) = ( ) 3 2 = 1，即 ，解得 = 6，所以 的值为 6．
(3) 4 2由(2)知，丙箱中有 10 个小球，所抽小球上面标注英文字母的事件为 ，则 ( ) = 10 = 5，
记事件 =“这 3 个小球中至少有 2 个标注英文字母”，
所以 ( ) = 3 × ( 2 )2 × 35 5 + (
2
5 )
3 = 44125．
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