2024-2025学年河北省名校联盟高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
2.复数其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图，在四棱锥中，平面，那与垂直的充分条件是( )
A. 四边形为矩形 B. 四边形为菱形
C. 四边形为平行四边形 D. 四边形为梯形
4.下列说法正确的是( )
A. 一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行
B. 和同一条直线都相交的两条直线一定相交
C. 经过空间中三个点有且只有一个平面
D. 经过两条相交直线有且只有一个平面
5.某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，点为线段的中点设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，若，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，，分别是，的中点，则经过点，，，，的球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 棱柱的侧面都是平行四边形 B. 长方体是正四棱柱
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 圆柱的所有母线长都相等
10.至年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则( )
A. 至年我国快递业务量逐年增长
B. 至年我国快递业务量增长速度逐年增长
C. 至年我国快递业务量每年增长量超过亿件
D. 估计我国年的快递业务量小于亿件
11.如图：正方体的棱长为，是侧面上的一个动点含边界，点在棱上，则下列结论正确的有( )
A. 若，沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B. 若，三棱锥的外接球表面积为
C. 若，，则点的运动轨迹长度为
D. 若，平面被正方体截得截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.如果复数满足，那么的最大值是 ．
14.已知是边长为的等边三角形对于空间中任意一点，设为内部含边界一动点，定义的最小值为点到的距离则空间中到的距离不大于的点形成的几何体的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取名职工作为样本，得到这名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．
求图中的值；
若该单位有职工人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于次的总人数；
试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数．
16.本小题分
在一个文艺比赛中，名观众代表和名专业人士组成一个评委小组，给参赛选手打分．已知这名观众代表对选手的打分分别为，，，，，，这名专业人士对选手的打分的平均分为，方差为．
求这名观众代表对选手的打分的平均分和方差；
求这名观众代表和名专业人士对选手的打分的平均分和方差．
17.本小题分
在直三棱柱中，，，，，点为的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
如图，已知菱形中，，沿对角线将其翻折，使，设此时的中点为，如图．
求证：点是点在平面上的射影；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
数学家阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆心在两定点所在直线上的圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在棱长为的正方体中，点是的中点，点是正方体表面上一动点包括边界，且两直线，与平面所成的角相等．
证明：点的轨迹是一阿波罗尼斯圆的一段弧，并画出大致图象不要求写出画法；
记点的轨迹所在的阿波罗尼斯圆的圆心为，求的取值范围；
当线段最短时，在线段上是否存在点，使得平面，若有，请求出平面截正方体的截面周长，若无，说明理由．
参考答案
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15.解：由频率分布直方图可知，解得．
由图可知该单位参加志愿服务次数不低于次的频率为，
则该单位参加志愿服务次数不低于次的人数为．
因为，
所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内．
设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则，
解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为．
16.解：这名观众代表对选手的打分的平均分，
这名观众代表对选手的打分的平均分的方差为：
；
这名观众代表和名专业人士对选手的打分的平均分，
这名观众代表和名专业人士对选手的打分的方差为：
．
17.连接交于点，连接，
因为为平行四边形，则为的中点，
且点为的中点，则，
又因为平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，所以，
又因为，
且，平面，所以平面，
且点为的中点，故三棱锥的高为，
所以三棱锥的体积．
18.在菱形中，，
所以，均为等边三角形，
因为，为的中点，所以，
又，所以，
连接，则，
又因为，
所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又，且，平面，
所以平面，所以点是点在平面上的射影；
设点到面的距离为，又菱形边长为，
则的面积，所以；
由的面积，由知平面，，
所以，所以，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值．
19.解：证明：
由于是正方体，
两直线，与面所成的角相等，
即，由于，
，即，
即，
依题意平面内点到两定点距离之比为，故点的轨迹是圆，
而点是正方体表面上一动点包括边界，
即点的轨迹是一段阿波罗尼斯圆的圆弧如图所示
解：
依题意可知：圆心在所在的直线上，
作圆与交于点，与的延长线上交于点，显然恰为圆的直径，
故，恰好为线段的三分之一分点，，
，所以是的中点，所以，，
所以圆的半径为，从而，，所以，
设与所成的角为，可知，
，
，
；
解：
由可知，当线段的长最短时，即点在直线上，
故延长交于点，过点做，交于点，交于点，
交于点，连接交于点，所求的截面即为五边形．
以下证明此时即平面，
由于，平面，平面，
所以平面，
故有，，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
所以所求的截面五边形的周长
．
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