北京市第十八中学2025-2026学年新高一入学检测
数学试卷
一、单选题（每题2分，共16分）
1．如图所示，点到直线的距离是（ ）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
2．内角和为的多边形是（ ）
A． B．
C． D．
3．实数在数轴上的对应点的位置如图所示.则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．目前，中国国产GPU的运算性能在国际上已经具备较强的竞争力.某型号国产GPU的运算能力高达320TFlops，TFlops是衡量计算机性能的一个重要单位，.将这种型号国产GPU的运算能力表示为Flops.则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点在的平分线上，则（ ）
A．与一定相等
B．与一定不相等
C．与一定相等
D．与一定不相等
8．反比例函数和（为大于1的定值）在第一象限的图象如图所示，点在上.过点作轴于点，与交于点：过点作轴于点，与交于点，连接、、、和.四边形的面积记为的面积记为.下列结论不正确的是（ ）
A．为定值 B．
C．不为定值 D．AB//CD
二、填空题（每题2分，共16分）
9．如果二次根式有意义，那么的取值范围是 .
10．分解因式 .
11．方程的解为 .
12．垃圾分类是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类.某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为 吨.
13．说明命题“若，则”是假命题的一个例子，则实数的取值可以是 .
14．如图，在正方形中，点在上，连接交对角线于点若，则 .
15．如图，在矩形中，，为中点，，则扇形的面积为 .
16．为了进行艺术宣传，20名画师合作完成100幅户外宣传板的绘画工作，每幅宣传板上的4个绘画内容和每个内容的绘画时长如下表：
内容 一个花瓶 一张桌子 一位人物 一把椅子
时长/分 3 7 15 7
20名画师同时开始工作，每位画师只负责一个内容的绘画工作.每幅作品的同一个内容只能由一名画师完成，绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画.（1）若2名画师负责绘画花瓶，则绘画人物的画师最多为 人；（2）在（1）的条件下，绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数相同，完成这两项内容的画师总人数小于绘画人物的画师人数.完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要 分钟.
三、解答题（第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，共68分。）
17．计算：
18．解不等式组：.
19．已知，求代数式的值.
20．如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，连接，求的长.
21．某科技公司正在研发两款神经形态计算机，一款是基于传统半导体工艺的型计算机，另一款是基于新兴材料的型计算机.在一次图像识别测试任务中，型计算机处理1000张图像需要的时间比型计算机处理同样数量的图像多5分钟.已知两款计算机处理图像的速度恒定，型计算机处理图像的速度是型计算机的8倍.现有20000张图像要紧急处理，若使用型计算机，判断能否在15分钟内处理完，并说明理由.
22．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点
(1)求的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围.
23．某社区举办“家园好声音”歌唱比赛，分为初赛和复赛两个阶段.
(1)初赛由12名专业评委和50名群众评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.专业评委打分：；b.群众评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组88，第4组，第5组，第6组）：
c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
专业评委 91 m
群众评委 90.2 91
根据以上信息，回答下列问题：
①写出表中的值；
②比赛规定初赛专业评委打分的平均分达到90分及以上的选手可直接获得复赛资格，则该选手________（能/不能）直接进入复赛；
③比赛同时依据群众评委打“来评估选手的受欢迎等级.当有一半及以上的评委打分超过95评为一级：当没有达到一级，且有一半及以上的评委打分超过90评为二级：当没有达到二级，且有一半及以上的评委打分超过85评为三级.那么该选手的受欢迎等级为_______（一级/二级/三级）；
(2)复赛由5位专家评委打分（百分制）.如果某选手得分的5个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致.5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91.前4名评委给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委对乙选手的评价更一致，则第五名评委给乙选手的打分是_______（打分为整数）.
24．如图，是的直径，弦于点，点在上，与交于点，点在的延长线上，且，延长交的延长线于点.
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长.
25．如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法.如图2，点处有一个喷水头，距离喷水头的处有一棵高度是的树，距离这棵树的处有一面高的围墙.建立如图所示的平面直角坐标系.已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系.
(1)某次喷水浇灌时，测得与的几组数据如下：
0 2 6 10 12 14 16
y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56
①根据上述数据.求这些数据满足的函数关系；
②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由.
(2)某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度与水平距离近似满足函数关系.假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于的不等式：A． ；B． ；C．；D．.其中正确的不等式是___________.（填上所有正确的选项）
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点
(1)直接写出该抛物线的顶点坐标；
(2)过抛物线与轴的交点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形是图形上的点，设.
①当时，直接写出的值；
②若，求的取值范围.
27．已知正方形，将线段绕点旋转，得到线段，连接.
(1)如图1，当点在正方形的内部时，若平分，则______，四边形的面积为_______；
(2)当点在正方形的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求的度数；
②作的平分线交于点，交的延长线于点，连接.用等式表示线段之间的数量关系，并证明.
28．对于平面内的和外一点，给出如下定义：若过点的直线与存在公共点，记为点，，设，则称点（或点）是的“相关依附点”.特别地，当点和点重合时，规定，（或）.已知在平面直角坐标系中，，，的半径为.
（1）如图1，当时，
①若是的“相关依附点”，则的值为______；
②是否为的“2相关依附点”？答：是______（选“是”或“否”）；
（2）若上存在“相关依附点”点，
①当，直线与相切时，求的值；
②当时，求的取值范围；
（3）若存在的值使得直线与有公共点，且公共点是的“相关依附点”，直接写出的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
2．C
3．C
4．B
5．D
6．B
7．A
8．C
9．
10．
11．
12．
13．（答案不唯一）
14．/
15．
16．，.
17．
18．，即，即，解得.
所以不等式的解集为.
19．.
20．（1）∵点为边中点，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，
∵，∴四边形是菱形.
（2）如图，
连接，过点作于点，得矩形，
∵，∴，∴，
∵四边形是菱形，∴，∴，
∴，
∵，点为边中点，∴，故的长为.
21．使用型计算机，能在15分钟内处理完，理由如下：
设A型计算机处理图像的速度是张/分钟，则型计算机处理图像的速度是张/分钟，
因为A型计算机1000张图像需要的时间比型计算机处理同样数量的图像多5分钟，
所以，即，解得，经检验是原方程的解，
则，因为，所以使用型计算机，能在15分钟内处理完20000张图像.
22．（1）因为的图象过点，所以，解得，
将代入得，解得．
（2）时，，把代入求得，
又时，，把代入求得，
又当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，
且小于函数的值，画图
由图可知，且，故的取值范围为且.
23．（1）①由题目中的数据已经按照从小到大的顺序排列好，共的个数，
所以中位数为第位的平均数，所以中位数；
由题意专业评委打分中90出现的次数最多，所以众数；
②专业评委打分的平均分为，
因为，所以该选手能直接进入复赛；
③总的群众评委数为50人，一级：超过95分，需第6组（），
因为第5,6组的频数和为13，占比，不满足；二级：超过90分，需第4、5、6组，
因为第4、5、6组频数为，占比，满足；所以等级为二级.
（2）甲选手的平均分为：，甲选手的方差为：，
设乙选手第五名得分为，且乙选手平均分更高，则，
解得，所以，当时，
乙选手的平均分为：，乙选手的方差为：，
当及以上时方差增大，由5名评委对乙选手的评价更一致，故，
即第五名评委给乙选手的打分是.
24．（1）连接，
∵，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，即，∴是的切线．
（2）连接，
由（1）得，，∴，∵是的直径，
∴，∴，∵，∴，
∴，∵，∴，∴，∵，
∴，∵，，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∵，∴，解得.
25．（1）①根据抛物线过原点，则抛物线解析式为，
把和代入得，
解得，所以抛物线解析式为；
②当时，，
因为，所以喷水头喷出的水柱能越过这棵树；
（2）因为喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，
所以当时，即，故A正确；
又喷水头喷出的水柱不会浇到墙外，所以当时，
即，故B错误，C正确；
抛物线的对称轴为，
由题意，喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，
所以，又由A可知，所以，
故D不正确；所以正确的不等式是A、C.
26．（1）把代入，
得：，化简得：，
，
所以该抛物线的顶点坐标为.
（2）①当时，，与轴交点为，故，
又，
原抛物线中，时，；时，；
恰在上，
.
②，与轴交点，直线
（I）当，即时，
，，
，
，
，解得：（与不符），
此时，无解；
（II）当，即时，，
是翻折后的函数值，翻折后，
，
，
，，解得：（与相符）
此时，；
综上所述，的取值范围是.
27．（1）因为四边形是正方形，平分，
所以，，
于是有，即.
显然，过作，垂足为，
，
因此四边形的面积为；
（2）①当点在正方形的外部时，，
因为四边形是正方形，所以，
于是有，
，
因此；
②，证明如下：
过作，垂足为，即，
而，所以，
因为，的平分线交于点，交的延长线于点，
所以，，
又因为，所以，于是有，
由①，，故，而，
所以，即是等腰直角三角形，
因此有，
即.
28．解：（1）①如图1中，连接、
由题意：，
是直角三角形，即，
是的切线，
；
②在上，
是的“2相关依附点”，
故答案为：（1）①；②是；
（2）①如图2，当时，不妨设直线与相切的切点在轴上方（切点在轴下方时同理），连接，则.
∵，，，
∴，.
∴.
此时；
②如图3中，
若直线与不相切，
设直线与的另一个交点为（不妨设，点，在轴下方时同理）.
作于点，则.
∴.
∵，∴.
∴当时，.
此时.
又∵点在外，则
∴的取值范围是.
（3）如图4中
由（2）可知，的“相关依附点”， 在直线QM：或上，且r的取值范围是1≤r＜2，
当r＝2时，易知直线与（大圆）的交点，
当r＝1时，易知直线与（小圆）的交点，
当直线与线段QE，线段QF有交点时（线段端点除外），满足条件．
当直线经过点时，可得，
当直线经过点时，可得，
观察图像可知满足条件的的取值范围.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
