2024-2025学年山西省长治二中高二（下）期中数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.运用复合函数求导方法求函数 = ( > 0)的导函数为( )
A. 1 B. C. ( + 1) D. +1
2.在等差数列{ }中，若 2 + 8 = 10， 4 = 4，则公差 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
3.某市科技馆在国庆假期期间需派遣 5 名志愿者到 3 个不同主题展区协助讲解，每个展区至少安排 1 人.
则不同的安排方法种数为( )
A. 120 B. 210 C. 150 D. 180
4.若随机变量 ～ (3,1)，且 ( ≤ 5) = ( ≥ )，则( 2 )2( )
6的展开式中 2项的系数是( )
A. 40 B. 40 C. 270 D. 270
5 8.某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为9，当输入的问
1 1
题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为3 .已知输入的问题表达不清晰的概率为4，则智能客服的
回答被采纳的概率为( )
A. 2 B. 33 4 C.
4 5
5 D. 6
6.已知数列{ }是等比数列，且公比 不为 1， 为数列{ }的前 项和，则下列结论中一定正确的为( )
A. 8 = 12 4 B.
2 8 ≠ 4 + 12
8
C. 8 4 = 12 8 2 4 8
D. ( 2 ) = ( 3 2 )( ∈ )
4
7.已知函数 ( ) = + 2 2 在(0, + ∞)上单调递增，则 的取值范围是( )
A. > 12 B. ≥
1
2 C. > 1 D. ≥ 1
8 .已知函数 ( ) = , ( ) = ln( + 1)
2，若 1 ∈ [1, ]， 2 ∈ (0,1]使得 ( 1) > ( 2)成立，则实数
的取值范围是( )
A. > 2 B. ≥ 2 C. > 1 D. ≥ 1 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是某企业 2018 年至 2024 年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则( )
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A.这组数据的中位数等于平均数
B.这组数据的第 60 百分位数是 55
C.污水净化量逐年递增
D.去掉 2018 年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小
10.在平面直角坐标系 中，过抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点，直线 ，
分别交抛物线准线于 ， 两点，则下列说法正确的有( )
A. / / 轴 B. ⊥
C.以 为直径的圆与抛物线准线恒相交 D. △ 1面积的最小值为2
2
11.公比为 的等比数列{ }的前 项和为 ，若 1 + 2 = 20， 1 3 = 60，则( )
A. 1 = 4 B. = 4 C. 4 = 350 D. 5 = 1024
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
212 .双曲线 ： 2 2 = 1 的两条渐近线的夹角是3，则该双曲线的焦距长是______．
13.我校田径队有十名队员，分别记为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，为完成某训练任务，现将十名队
员分成甲、乙两队.其中将 ， ， ， ， 五人排成一行形成甲队，要求 与 相邻， 在 的左边，剩下的
五位同学排成一行形成乙队，要求 与 不相邻，则不同的排列方法种数为______．
14.已知 是函数 = 2 图象上任意一点.若点 的坐标( , )满足： 2 1 ln(2 ) ≤ 1，则| |的最小
值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
设数列{ 9 }的前 项和 = 2 ．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的最小的项．
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16.(本小题 15 分)
有一大批产品等待验收，验收方案如下：方案一：从中任取 6 件产品检验，次品件数大于 1 拒收；方案二：
依次从中取 4 件产品检验；若取到次品，则停止抽取，拒收；直到第 4 次抽取后仍无次品，通过验收．
(1)若本批产品次品率为 20%，选择“方案二”，求需要抽取次数 的均值；
(2)若本批产品次品率为 (0 < < 1)，比较选择哪种方案容易通过验收？
17.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln( + )．
(1)设 = ( )的图象与 轴的交点为 ，在 点处的切线经过点(1,1)，求此切线的方程；
(2)在(1)的条件下， ( ) ≤ 在定义域内恒成立，求 的取值范围；
(3)若 ≥ ( ) + 1，求 的取值范围．
18.(本小题 12 分)
在三棱柱 1 1 1中， 1 1与 1 1都是棱长为 1 的正方形，∠ = 90°， ， ， 分别是棱 ，
， 1上的动点，且 =
1
= ．1
(1)求证： 1 ⊥ 1 ；
(2)若平面 1与平面 1 1
1
的夹角的余弦值为3，求 ．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)左焦点为( 2 2, 0)，点(2 3, 2 2)在 上．
(1)求 的方程；
(2)已知 的右顶点为 ，圆 1：( + 2)2 + ( + 2)2 = 2( > 0)与直线 ： = 2 交于 ， 两点，直线 ，
分别与 交于 ， 两点.当点 到直线 的距离最大时，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4 4 3或 3
13.1728
14.3 55
2
15.(1)数列{ }的前 项和
9
= 2 ，
2 2
所以 ( 1) 9( 1) 9 2 +10 1 = 2 = 2 ， ≥ 2；
所以 = 1 = 5， = 1 时， 1 = 1 = 4，满足 = 5；
2 5所以 2 25 = 5；(2)因为 = ( 5) = 5 = ( 2 ) 4，
所以当 = 2 或 3 时，数列{ }取得最小项为 2 × (2 5) = 6．
16.解：(1)随机变量需要抽取次数 ∈ {1,2,3,4}．
( = 1) = 0.2， ( = 2) = 0.8 × 0.2 = 0.16，
( = 3) = 0.82 × 0.2 = 0.128， ( = 4) = 0.83 = 0.512；
( ) = 1 × 0.2 + 2 × 0.16 + 3 × 0.128 + 4 × 0.512 = 2.952．
需要抽取次数 的均值为 2.952．
(2)按照方案一：通过验收的概率为：
1 = 0 6 1 56(1 ) + 6(1 ) × = (1 + 5 )(1 )5．
按照方案二：通过验收的概率为： 2 = (1 )4．
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当 1 > 2时，即(1 + 5 )(1 ) > 1，解得 0 < < 0.8，
此时选择方案一更容易通过验收；
当 1 = 2时， = 0.8，此时选择方案一、方案二结果相同；
当 1 < 2时，即(1 + 5 )(1 ) < 1，解得 0.8 < < 1，
此时选择方案二更容易通过验收．
17.(1)根据题意可得 (1 ,0)，又导函数 ′( ) = 1 + ，
因此 = ′(1 ) = 1，
因此切线为 = (1 ) = + 1，又因为 1 = 1 + 1，可得 = 1，
因此切线为 = ．
(2)根据函数 ( ) ≤ ，即 ln( + 1) ≤ 在定义域内恒成立，
因此 ≤ ln( + 1)在( 1, + ∞)上恒成立，
令函数 ( ) = ln( + 1)，
1
因此导函数 ′( ) = +1，令函数 ( ) =
1 +1，
因此导函数 ′( ) = + 1( +1)2 > 0
1
恒成立，因此函数 ( ) = +1在( 1, + ∞)上单调递增，
1
即导函数 ′( ) = +1在( 1, + ∞)上单调递增，又因为 ′(0) = 0，
因此当 ∈ (0, + ∞)时，导函数 ′( ) > 0，函数 ( )在区间(0, + ∞)上单调递增，
当 ∈ ( 1,0)时，导函数 ′( ) < 0，函数 ( )在区间( 1,0)上单调递减，
因此 ( ) = (0) = 1，所以 ∈ ( ∞,1]．
(3)令函数 ( ) = ln( + ) 1， ∈ ( , + ∞) 1，那么导函数 ′( ) = + ，
易知导函数 ′( )在( , + ∞)为增函数，又 →+∞时， ′( ) →+∞， → 时， ′( ) → ∞，即 ′( )
的值域为( ∞, + ∞)，
因此方程 ′( ) = 0 在( , + ∞)上有唯一的实数根 0，
1
即 ′( ) = 0，得 0 + = 0，则 ln( 0 + ) = 0，0
则当 < < 0时，所以 ′( ) < 0，则 ( )在( , 0)单调递减；
当 > 0时，所以 ′( ) > 0，则 ( )在( 0, + ∞)单调递增；
当 = 时， ( )取得最小值， ( ) = ( ) = ln( 0+ )0 0 ln(
1
0 + ) 1 = + + 0 1，0
令 ( 0) ≥ 0
1
，即 + 0 1 ≥ 0 在( , + ∞)上恒成立，0+
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1
令 ( ) = + + 1, ∈ ( , + ∞)，
1 ( + )
2 1
则 ′( ) = ( + )2 + 1 = ( + )2 ，
则当 < < 1 时， ′( ) < 0，则 ( )在( ,1 )单调递减；
当 > 1 时， ′( ) > 0，则 ( )在(1 , + ∞)单调递增；
所以 ( ) 1 = (1 ) = 1+ 1 1 = 1 , ∈ ( , + ∞)，
所以只需 1 ≥ 0，即 ∈ ( ∞,1]．
18.(1)证明：因为 1 1与 1 1都是棱长为 1 的正方形，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
又∠ = 90°，所以 ， 1， 两两垂直，
故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 = = 1 = 1，且 = =
1
1
，
所以 = = 1 ，
设 = = 1 = ，0 ≤ ≤ 1，
则 1(1,1,0)， (0,0, )， 1(0,1,1)， (0,1 ,0)，
所以 1 = ( 1, 1, )， 1 = (0, , 1)，
所以 1 1 = ( 1, 1, ) (0, , 1) = = 0，
故 A 1 ⊥ 1G.
(2)解：由(1)知， (1 ,0,0)，
所以 = ( 1,1 ,0)，
所以 1 = ( 1, 1, ) ( 1,1 ,0) = 1 + 1 = 0，即 1 ⊥ ，
又 1 ∩ = 1， 1 ， 平面 1，
所以 1 ⊥平面 1，
所以平面 1的一个法向量为 1 = ( 1, 1, )，
又平面 1 1 的一个法向量为 = (0,0,1)，
1
因为平面 1与平面 1 1 的夹角的余弦值3，
||cos < > | =
1 | | | 1 1所以 1 ， | 1
= = ，解得 = ，
| | | 2+ 2×1 3 2
1
故 = 2．
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19.解：(1)因为双曲线的左焦点为( 2 2, 0)，点(2 3, 2 2)在双曲线上，
2 + 2 = 8
所以 12 8 ， 2 2 = 1
解得 2 = 2 = 4，
2 2
则双曲线 的方程为 4 4 = 1；
(2)由(1)知， (2,0)，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
易知直线 的斜率存在，
设直线 方程为 = + ，
= +
联立 2 2 2 2 = 4，消去 并整理得(1 ) 2 (
2 + 4) = 0，
此时 = 4( 2 + 4 4 2) > 0，
2 2+4
由韦达定理得 1 + 2 = 1 2， 1 2 = 1 2，
因为 的方程为 = 1 1 2
( 2)，
令 = 2，
解得 =
4 1
1 2
，
4
同理得 = 2 ，2 2
易知 + = 4，
4 1 + 4 即 2 = 4，1 2 2 2
1+ + 所以 2 1 2
+ 2 = 1，2
整理得(2 1) 1 2 + ( 2 + 2)( 1 + 2) 4 4 = 0，
2
即(2 1) × ( +4 2 1 2 ) + ( 2 + 2) × 1 2 4 4 = 0，
整理得(2 + )(2 + 4) = 0，
解得 = 2 或 = 4 2 ，
若 = 2 ，
此时直线 的方程为 = ( 2)，
则直线 过点 ，不符合题意；
若 = 4 2 ，
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此时直线 的方程为 = ( 2) + 4，
则直线 恒过点 (2,4)，
所以点 到直线 的距离 = | | = 4，
当且仅当 ⊥ ，即 = 0 时，取得，
此时 方程为 = 4，
= 4
联立 2 2 = 4，
解得 (2 5, 4)，
4×( 4)
所以 = 2 5 2 = 2 2 5，
解得 = 2 = 2 5．
则所以 的值为 2 5．
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