第二章《有理数及其运算》单元提优验收卷
（满分：120分 时间：120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在有理数﹣（﹣3），0，，﹣12，（﹣2）3中，负数的个数是（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（3分）下列各组数互为相反数的是（ ）
A．和﹣3 B．2和﹣（﹣2）
C．+（﹣2）和﹣|﹣2| D．5和﹣（+5）
3．（3分）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46×1012km．则“9.46×1012km”一数中“0”的个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（3分）古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（ ）
A．10 B．20 C．﹣25 D．﹣5
5．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣9+2＝﹣7 B．0﹣（﹣16）＝﹣16
C．20+（﹣15）＝5 D．﹣3﹣8＝﹣11
6．（3分）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝…”大意：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝…文中的树枝共有（ ）
A．93根 B．103根 C．94根 D．104根
7．（3分）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在了数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（3分）定义新运算“ ”如下：当a≥b时，a b＝ab﹣a；当a＜b时，a b＝ab+a．其算符号意义不变，按上述规定计算（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．﹣4
9．（3分）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上﹣50这个数的次数是（ ）
A．99 B．100 C．101 D．102
10．（3分）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：
①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是3；
②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2；
③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；
④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）中国人最先使用负数，数学家刘徽在“正负数”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图①表示算式（+1）+（﹣1）＝0，则图②表示算式 ．
12．（4分）有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：﹣5，3，2，7，请你列出一个“24点”算式： ．
13．（4分）近日，某社区针对老年人举办了“老年智能手机课堂”，该社区的王奶奶学会了使用智能手机，并参与了手机支付的消费体验．下表是王奶奶连续五笔交易的账单，则这五笔交易中支出最多的是4月 日．
支付账单
日期 交易明细
4.10 买菜 ﹣36.00
4.11 转账收入 +300.00
4.12 乘坐公交车 ﹣2.00
4.13 日常用品 ﹣75.00
4.14 衣物 ﹣99.00
14．（4分）如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣a）2＝0，则
的值为： ．
15．（4分）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么|x+1|﹣|x﹣2|的最大值是 ．
16．（4分）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a最小值为 ．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）计算：
（1）5﹣（﹣12）﹣15+（﹣8）；
（2）．
18．（10分）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b．
（1）把a，b，﹣a，|b|这四个数用“＜”连接起来： ；
（2）用“＞”或“＜”填空：a+b 0，a﹣b 0；
（3）若，|b|＝4，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值．
19．（10分）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定标准送餐量为50单，送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12
（1）①该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了 单；最少的一天送了 单；
②求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？
（2）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单的部分，每单补贴5元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？
20．（12分）二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，它是用0和1两个数码来表示数，“满二进一”，再将二进制数转化为十进制数供人们阅读，例：二进制数10100转化为十进制数：1×24+0×23+1×22+0×2+0＝20，其它进制也有类似的算法．
（1）将二进制数“10010”转化为十进制数是 ；
（2）类似的“进制问题”在我国远古时期就有出现，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一．如图1所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数．
①根据图示，求孩子已经出生的天数．
②按我国传统习俗孩子出生100天将会为他举办“百日宴”，请你通过计算并在图2中画出此时母亲所打的绳结情况．
21．（12分）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”．
（1）关于除方，下列说法错误的是 ．
①任何非零数的2次商都等于1；
②对于任何正整数n，（﹣1）n＝﹣1；
③34＝43；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
（2）我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例：．
仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式（﹣3）4＝ ； ．
（3）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于 ．
（4）算一算：．
22．（14分）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定奶茶订购方案？
素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任邱老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式店铺优惠活动配送费电话订购每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．免费某外卖APP下单订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包．2.5元/单
注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费．
素材2 邱老师是该外卖APP的会员，平台赠送她以下6个红包：
问题解决
问题1 若邱老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？
问题2 ①某顾客通过某外卖APP买一单3杯奶茶，使用不同的红包则花费不同，使用“无门槛红包”需花费 元；使用“吃货红包”满25可用需花费 元；使用“吃货红包”满45可用需花费 元． ②若邱老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？
问题3 请帮助邱老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． 确定订购方式与数量： 电话订购 杯，送 杯；外卖APP订购 杯．该方案订购总费用为 元．
第二章《有理数及其运算》单元提优验收卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B． D A D B A C A A B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在有理数﹣（﹣3），0，，﹣12，（﹣2）3中，负数的个数是（ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
【思路点拔】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【解答】解：﹣（﹣3）＝3＞0，是正数；
0既不是正数，也不是负数；
0，是正数；
﹣12＝﹣1＜0，是负数；
（﹣2）3＝﹣8＜0，是负数；
∴负数有﹣12，（﹣2）3，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
2．（3分）下列各组数互为相反数的是（ ）
A．和﹣3 B．2和﹣（﹣2）
C．+（﹣2）和﹣|﹣2| D．5和﹣（+5）
【思路点拔】根据相反数的概念及绝对值的意义进行解题即可．
【解答】解：A． 和﹣3不互为相反数，选项不符合题意；
B，﹣（﹣2）＝2，2+2＝4≠0，2和﹣（﹣2）不互为相反数，选项不符合题意；
C．+（﹣2）＝﹣2，﹣|﹣2|＝﹣2，﹣2﹣2＝﹣4≠0，+（﹣2）和﹣|﹣2|不互为相反数，选项不符合题意；
D．﹣（+5）＝﹣5，5﹣5＝0，5和﹣（+5）互为相反数，选项不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数，绝对值，掌握相反数的概念及绝对值的意义是关键．
3．（3分）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46×1012km．则“9.46×1012km”一数中“0”的个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【思路点拔】将科学记数法的数据变为原数即可得出结果．
【解答】解：9.46×1012＝9460000000000，
∴此数中“0”的个数为10，
故选：A．
【点评】吧net考查科学记数法﹣表示较大的数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
4．（3分）古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（ ）
A．10 B．20 C．﹣25 D．﹣5
【思路点拔】根据正负数以及绝对值表示的含义解题即可．
【解答】解：由题意可知，指针指向负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，
∴选C或D，
又∵指针越接近0就越接近标准音，|﹣25|＝25，|﹣5|＝5，25＞5，
∴﹣5更接近0，
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，理解正负数表示的含义是解题的关键．
5．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣9+2＝﹣7 B．0﹣（﹣16）＝﹣16
C．20+（﹣15）＝5 D．﹣3﹣8＝﹣11
【思路点拔】根据有理数的加减运算法则，对各个选项中的式子进行计算，从而可以得出答案．
【解答】解：A．﹣9+2＝﹣7，计算正确，故选项A不符合题意；
B.0﹣（﹣16）＝16≠﹣16，计算错误，故选项B符合题意；
C.20+（﹣15）＝5，计算正确，故选项C不符合题意；
D．﹣3﹣8＝﹣11，计算正确，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．
6．（3分）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝…”大意：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝…文中的树枝共有（ ）
A．93根 B．103根 C．94根 D．104根
【思路点拔】由题意得出算式9×9×9，再根据有理数的乘方意义求解即可．
【解答】解：由题意，得树枝共有：9×9×9＝93（根），
答：文中的鸟巢共有93根．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意，正确列出式子是解题的关键．
7．（3分）小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在了数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【思路点拔】设覆盖区域的数为x，由数轴可知，﹣3.1＜x＜0，0＜x＜2.9求出该范围内的整数即可求解．
【解答】解：设覆盖区域的数为x，
由数轴可知，﹣3.1＜x＜0，含整数有﹣3，﹣2，﹣1，
0＜x＜2.9，含整数有1，2．
∴x的值为﹣3，﹣2，﹣1，1，2，
∴墨迹盖住的整数共有5个，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上的点的特征是解题的关键．
8．（3分）定义新运算“ ”如下：当a≥b时，a b＝ab﹣a；当a＜b时，a b＝ab+a．其算符号意义不变，按上述规定计算（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．﹣4
【思路点拔】根据新定义，列式计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，理解新运算的计算规则，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
9．（3分）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上﹣50这个数的次数是（ ）
A．99 B．100 C．101 D．102
【思路点拔】先根据题意求出点A所表示的数，再求出小虫第一次经过﹣50时的爬行次数，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
令点A所表示的数为a，
则第1次爬行后的点所表示的数为a+1，
第2次爬行后的点所表示的数为a+1﹣2＝a﹣1，
第3次爬行后的点所表示的数为a﹣1+3＝a+2，
第4次爬行后的点所表示的数为a+2﹣4＝a﹣2，
…，
所以第2n次爬行后的点所表示的数为a﹣n，
故第2022次爬行后的点所表示的数为a﹣1011，
则第2023次爬行后的点所表示的数为a﹣1011+2023＝a+1012．
又因为第2023次刚好爬到数轴上的原点处，
所以a+1012＝0，
则a＝﹣1012，
即点A所表示的数为﹣1012．
又因为﹣50﹣（﹣1012）＝962，
所以表示﹣50的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度．
又因为第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处，
第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处，
第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处，
…，
所以第（2n﹣1）次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，
且2×962﹣1＝1923，
即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为﹣50，
所以从第1925次开始（包括第1925次），后面的每次爬行都经过﹣50这个数．
又因为2023﹣1925+1＝99，
所以小虫爬行过程中经过数轴上﹣50这个数的次数是99．
故选：A．
【点评】本题考查数字变化的规律，能根据题意求出点A所表示的数及小虫第一次经过﹣50时的次数第1925次是解题的关键．
10．（3分）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：
①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是3；
②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2；
③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；
④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据输入数据与输出结果的规则进行计算，判断①②③；只有三个数字时，当最后输入最大数时得到的结果取最大值，当最先输入最大数时得到的结果取最小值，由此通过计算判断④．
【解答】解：①根据题意，依次输入1，2，3，4时，
|1﹣2|＝|﹣1|＝1，
|1﹣3|＝|﹣2|＝2，
|2﹣4|＝|﹣2|＝2，
最后输出的结果是2，故①错误；
②按照1，3，2，4的顺序输入时，
|1﹣3|＝|﹣2|＝2，
|2﹣2|＝|0|＝0，
|0﹣4|＝|﹣4|＝4，
此时输出结果为4，故②错误；
③按照1，3，4，2的顺序输入时，
|1﹣3|＝|﹣2|＝2，
|2﹣4|＝|﹣2|＝2，
|2﹣2|＝|0|＝0，
此时输出结果为0，为最小值，故③正确；
④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，
设b为较大数字，当a＝1时，
||a﹣2|﹣b|＝|1﹣b|＝10，
解得b＝11（负值舍去），
故此时任意输入后得到的最小数是：
||11﹣1|﹣2|＝8，
设b为较大数字，当b＞a＞2时，
||a﹣2|﹣b|＝|a﹣2﹣b|＝10，
则a﹣2﹣b＝﹣10，即b﹣a＝8，
故此时任意输入后得到的最小数是：||b﹣a|﹣2|＝|8﹣2|＝6，
综上可知，k的最小值是6，故④正确；
③④正确，正确的个数是2个，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用、绝对值有关的问题，熟练掌握以上知识点是关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）中国人最先使用负数，数学家刘徽在“正负数”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图①表示算式（+1）+（﹣1）＝0，则图②表示算式 （+3）+（﹣2）＝1 ．
【思路点拔】根据题意列出算式（+3）+（﹣2），利用有理数加法法则计算可得．
【解答】解：根据题意知，图②表示的算式为（+3）+（﹣2）＝1．
故答案为：（+3）+（﹣2）＝1．
【点评】本题主要考查数学常识，正数与负数，解题的关键是理解正负数的表示，列出算式，并熟练掌握有理数的加法法则．
12．（4分）有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：﹣5，3，2，7，请你列出一个“24点”算式： 3×7﹣（﹣5+2）＝24（答案不唯一） ．
【思路点拔】根据题意，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一，符合题意即可．
【解答】解：3×7﹣（﹣5+2）
＝21﹣（﹣3）
＝21+3
＝24，
故答案为：3×7﹣（﹣5+2）＝24（答案不唯一）．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式．
13．（4分）近日，某社区针对老年人举办了“老年智能手机课堂”，该社区的王奶奶学会了使用智能手机，并参与了手机支付的消费体验．下表是王奶奶连续五笔交易的账单，则这五笔交易中支出最多的是4月 14 日．
支付账单
日期 交易明细
4.10 买菜 ﹣36.00
4.11 转账收入 +300.00
4.12 乘坐公交车 ﹣2.00
4.13 日常用品 ﹣75.00
4.14 衣物 ﹣99.00
【思路点拔】根据账单，找出表示支出的数，然后比较支出的绝对值大小，即可得出答案．
【解答】解：∵|﹣99.00|＝99.00，|﹣75.00|＝75.00，|﹣36.00|＝36.00，|﹣2.00|＝2.00，
∴99.00＞75.00＞36.00＞2.00，
∴|﹣99.00|＞|﹣75.00|＞|﹣36.00|＞|﹣2.00|，
∵由于|﹣99.00|是最大的绝对值，
所以4月14日的支出是最多的，
故答案为：14．
【点评】本题考查了有理数正负数的实际应用，有理数大小的比较，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义和有理数大小比较是解题的关键．
14．（4分）如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣a）2＝0，则
的值为： ．
【思路点拔】现根据非负数的性质，可得ab﹣2＝0，1﹣a＝0，解得：a＝1，b＝2，将其代入，可知原式 ，再计算即可．
【解答】解：∵|ab﹣2|+（1﹣a）2＝0，
∴ab﹣2＝0，1﹣a＝0，
解得：a＝1，b＝2，
∴原式
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是数式的变化规律，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
15．（4分）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么|x+1|﹣|x﹣2|的最大值是 3 ．
【思路点拔】以﹣1和2为界点，将数轴分成三部分，对x的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
【解答】解：当x＜﹣1时，x+1＜0，x﹣2＜0，
|x+1|﹣|x﹣2|＝﹣（x+1）+（x﹣2）＝﹣x﹣1+x﹣2＝﹣3；
当x＞2时，x+1＞0，x﹣2＞0，
|x+1|﹣|x﹣2|＝（x+1）﹣（x﹣2）＝x+1﹣x+2＝3；
当﹣1≤x≤2时，x+1≥0，x﹣2≤0，
|x+1|﹣|x﹣2|＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1＝3；
综上所述，|x+1|﹣|x﹣2|的最大值是3．
故答案为：3．
【点评】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以﹣1和2为界点对x的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．
16．（4分）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a最小值为 3 ．
【思路点拔】根据a为奇数和偶数分别进行解答即可．
【解答】解：如图，偶数64＝3×21+1，16＝3×5+1，
（1）得数为64之前输入的数为偶数时，则a＝64×2＝128，
得数为64之前输入的数为奇数时，则3a+1＝64，即a＝21，
（2）当得数为16之前输入的数为奇数时，则第一次计算的结果为10，
于是，a＝10×2＝20，或3a+1＝10，即a＝3，
综上所述a的值为128，21，20，3，共4个，最小的a值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查有理数的运算，代数式求值，掌握运算结果的奇偶性以及每次运算结果的规律性是正确解答的关键．
三．解答题（共6小题，满分66分）
17．（8分）计算：
（1）5﹣（﹣12）﹣15+（﹣8）；
（2）．
【思路点拔】（1）根据有理数的加减计算法则求解即可；
（2）先计算乘方，再根据乘法分配律去括号，接着计算乘法，最后计算加减法即可得到答案．
【解答】解：（1）5﹣（﹣12）﹣15+（﹣8）
＝5+12﹣15﹣8
＝17﹣15﹣8
＝2﹣8
＝﹣6；
（2）
＝﹣1﹣48+8﹣36
＝﹣77．
【点评】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算，熟练掌握是解题的关键．
18．（10分）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b．
（1）把a，b，﹣a，|b|这四个数用“＜”连接起来： b＜﹣a＜a＜|b| ；
（2）用“＞”或“＜”填空：a+b ＜ 0，a﹣b ＞ 0；
（3）若，|b|＝4，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求的值．
【思路点拔】（1）数轴上表示出﹣a，|b|，利用数轴比较大小即可解答；
（2）由数轴可得：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，再利用有理数加、减法法则解答；
（3）由数轴可知a＞0，b＜0，从而确定a、b的值，再根据相反数、倒数的性质得出c+d＝0，mn＝1，再代入计算即可．
【解答】解：（1）由图可知b＜0，
则|b|＝﹣b，
利用相反数定义在数轴上表示出﹣a，|b|，如图：
可得：b＜﹣a＜a＜|b|，
故答案为：b＜﹣a＜a＜|b|；
（2）由数轴可得：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
则a+b＜0，a﹣b＞0．
故答案为：＜，＞；
（3）由数轴可知a＞0，b＜0，
由题意可得：，b＝﹣4，c+d＝0，mn＝1，
∴．
【点评】本题主要考查了数轴、绝对值、相反数、倒数，有理数的大小比较，有理数的加法和减法，有理数含乘方的混合运算，熟练掌握这些定义、性质和方法是解题的关键．
19．（10分）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定标准送餐量为50单，送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：
星期 一 二 三 四 五 六 日
送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12
（1）①该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了 64 单；最少的一天送了 42 单；
②求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？
（2）外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单的部分，每单补贴5元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？
【思路点拔】（1）判断出最大值，最小值即可；
（2）求出表中数据的平均数，再加上标准数50即可；
（3）根据工资的计算方法列式计算即可．
【解答】解：（1）①该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了：50+14＝64（单），
最少的一天送了：50﹣8＝42（单），
故答案为：64，42；
②由题意，得：
50+[（﹣3）+（+4）+（﹣5）+（+14）+（﹣8）+（+7）+（+12）]÷7
＝50+3
＝53（单），
答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单；
（3）由题意，得：
（50×7﹣3﹣5﹣8）×2+（4+14+7+12）×5+60×7
＝668+185+420
＝1273（元），
答：该外卖小哥这一周工资收入1273元．
【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．
20．（12分）二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，它是用0和1两个数码来表示数，“满二进一”，再将二进制数转化为十进制数供人们阅读，例：二进制数10100转化为十进制数：1×24+0×23+1×22+0×2+0＝20，其它进制也有类似的算法．
（1）将二进制数“10010”转化为十进制数是 18 ；
（2）类似的“进制问题”在我国远古时期就有出现，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一．如图1所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数．
①根据图示，求孩子已经出生的天数．
②按我国传统习俗孩子出生100天将会为他举办“百日宴”，请你通过计算并在图2中画出此时母亲所打的绳结情况．
【思路点拔】（1）根据二进制转换十进制的计算方法计算即可；
（2）①满七进一，类似于七进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可；②根据七进制数的概念，即得出出生100天可计算为：100＝2×72+0×7+2，最后画出绳结情况即可．
【解答】解：（1）将二进制数“10010”转化为十进制数是1×24+0×23+0×22+1×2+0＝18；
故答案为：198；
（2）①由于满七进一，类似于七进制数，图示表示的七进制数为132，转化为十进制数为1×72+3×7+2＝72，
故孩子已经出生的天数为72天；
②∵100＝2×72+0×7+2，即表示的七进制数为202，
如图：
【点评】本题考查含乘方的有理数的混合运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法，并推出七进制转换十进制的计算方法是解题的关键．
21．（12分）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”．
（1）关于除方，下列说法错误的是 ②③ ．
①任何非零数的2次商都等于1；
②对于任何正整数n，（﹣1）n＝﹣1；
③34＝43；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
（2）我们知道，有理数的除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例：．
仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式（﹣3）4＝ ； 73 ．
（3）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于 ．
（4）算一算：．
【思路点拔】（1）利用题中的新定义计算逐项分析可得答案；
（2）利用题中的新定义计算即可求出值；
（3）根据题意确定出所求即可；
（4）根据新定义计算即可．
【解答】解：（1）①任何非零数的2次商都等于1，正确；不符合题意；
②当n为奇数时，（﹣1）n＝﹣1，
当n为偶数时，（﹣1）n＝1，故原题错误，符合题意；
③，，34≠43，故原题错误，符合题意；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，正确，不符合题意；
故答案为：②③；
（2）（﹣3）4＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）；73；
故答案为：；73；
（3），
故答案为：；
（4）
．
【点评】本题考查了数字规律，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（14分）根据以下素材，探索完成任务：
如何制定奶茶订购方案？
素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任邱老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式店铺优惠活动配送费电话订购每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶．免费某外卖APP下单订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包．2.5元/单
注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费．
素材2 邱老师是该外卖APP的会员，平台赠送她以下6个红包：
问题解决
问题1 若邱老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？
问题2 ①某顾客通过某外卖APP买一单3杯奶茶，使用不同的红包则花费不同，使用“无门槛红包”需花费 41.5 元；使用“吃货红包”满25可用需花费 43.5 元；使用“吃货红包”满45可用需花费 39.5 元． ②若邱老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？
问题3 请帮助邱老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． 确定订购方式与数量： 电话订购 30 杯，送 3 杯；外卖APP订购 13 杯．该方案订购总费用为 623.5 元．
【思路点拔】（1）根据每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶，且订购46杯奶茶，列式计算，即可作答；
（2）①根据运用红包类型以及配送费进行列式计算，即可作答．②结合邱老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，列式计算，即可作答；
（3）依题意，电话订购30杯，送3杯，再分别运用红包类型进行逐个列式计算，即可作答．
【解答】解：问题1：∵每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶，且订购46杯奶茶，
∴（46﹣4）×15＝630（元），
答：购买这46杯奶茶，则需花费630元；
问题2：①依题意，3×15+2.5﹣6＝41.5（元），
∴某顾客通过某外卖APP买一单3杯奶茶，使用不同的红包则花费不同，使用“无门槛红包”需花费41.5元；
3×15+2.5﹣4＝43.5（元），3×15+2.5﹣8＝39.5（元），
故答案为：41.5，43.5，39.5；
②∵邱老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，
∴（3×15﹣8）×3+（2×15﹣4）×2+（46﹣9﹣4）×15﹣6+2.5×6＝667（元），
答：邱老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费667元；
问题3：要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元，
则电话订购30杯，送3杯，
此时30×15＝450（元），
∴46﹣30﹣3＝13（杯）
则邱老师通过某外卖APP分五次下单这13杯奶茶，
其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，
则（3×15+2.5﹣8）×3＝39.5×3＝118.5（元），
其中一次都是使用“吃货红包”满25减4元，
则2×15+2.5﹣4＝28.5（元），
都是使用“无门槛红包”，
则2×15+2.5﹣6＝26.5（元），
∴450+118.5+28.5+26.5＝623.5＜625，
∴电话订购30杯，送3杯；外卖APP订购13杯．该方案订购总费用为623.5元．
故答案为：30，3，13，623.5．
【点评】本题考查了有理数的乘法的应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
