广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024八上·南山开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·南山开学考）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·南山开学考）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流
4．（2024八上·南山开学考）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB=5，BC=6，∠A=70°
B．AB=5，BC=6，AC=13
C．∠A=50°，∠B=80°，AB=8
D．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
5．（2024八上·南山开学考）如图，OC平分∠AOB，CM⊥OB于点M，CM=3，则点C到射线OA的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2024八上·南山开学考）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·南山开学考）如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点B落在处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·南山开学考）将一副直角三角板按如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·南山开学考）如图，的中线、相交于点O，，且，，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
10．（2024八上·南山开学考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）．
A．8 B．12 C．16 D．20
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（2024八上·南山开学考）已知，则 ．
12．（2024八上·南山开学考）如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是 ．
13．（2024八上·南山开学考）长方形的周长为，其中一边为（其中），面积为，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为 ．
14．（2024八上·南山开学考）如图，直线，，分别过正方形 的三个顶点，，，且相互平行，若， 的距离为，， 的距离为2， 则正方形的边长为 ．
15．（2024八上·南山开学考）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知 ，求代数式 的值.”可以这样解： .根据阅读材料，解决问题：若 是关于x的一元一次方程 的解，则代数式 的值是 .
三、解答题（共7小题，满分55分）
16．（2024八上·南山开学考）（1）；
（2）；
（3）；
（4）（简便运算）．
17．（2024八上·南山开学考）先化简，再求值：，其中a，b满足：．
18．（2024八上·南山开学考）如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．
（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．
19．（2024八上·南山开学考）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
20．（2024八上·南山开学考）小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系图．请根据图回答下列问题：
(1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km．
(2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为___________km/h，图中点A表示 ．
(3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是___________km．
21．（2024八上·南山开学考）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线．
（1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线．
（2）如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
（3）在中，为的等腰分割线，且，，请直接写出的度数．
22．（2024八上·南山开学考）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A、D、E，在同一直线上，连接，易证，则①线段之间的数量关系是______；②______；
（2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E，在同一直线上，若，求的长度；
（3）探究发现：如图3，点为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D错误，
故答案为：A.
【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍；
幂的乘方，底数不变，指数相乘；
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：已知1纳米米，700纳米米
根据科学记数法原则，700=7100，米米
故选：B．
【分析】本题围绕科学记数法的表示方法展开.首先依据已知的纳米与米的换算关系，将700纳米转化为以米为单位的数.接着，按照科学记数法，其中，n为整数的要求，确定a和n的值.确定n时，通过观察原数转化为a时小数点移动的位数来确定，移动的位数即为n的绝对值，同时根据原数绝对值与1的大小关系确定n的正负．
3．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、是随机事件，故A不符合题意
B、是随机事件，故B不符合题意
C、是不可能事件，故C不符合题意
D．是必然事件，故D符合题意
故答案为：D．
【分析】必然事件是在一定条件下一定会发生的事件.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A.∠A不是AB、BC的夹角，画出的△ABC不唯一；
B.5+6＜13，不能构成三角形；
C.AB为∠A、∠B的夹边，能画出唯一的△ABC；
D.△ABC的边长不一定，不能画出唯一的△ABC.
故答案为：C.
【分析】能够画出唯一△ABC，那么所画的三角形一定是可以重复的，即所有的三角形都是全等的，而证明一般三角形全等的方法有：SAS，ASA，SSS，AAS.
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过C作CF⊥AO．
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF．
∵CM=3，∴CF=3．
故答案为：C。
【分析】过C作CF⊥AO，然后再根据角平分线的性质，即可求解。
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，
∴△ABP的面积S随着时间t的增大而增大，故A不符合题意；
②当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高也不变，
∴△ABP的面积S不变，故C不符合题意；
③当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，
∴△ABP的面积S随着时间t的减小而减小；
④当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高也不变，
∴△ABP的面积S不变，故D不符合题意；
⑤当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，
∴△ABP的面积S随着时间t的减小而减小，故B符合题意；
故答案为：B．
【分析】分五种情况讨论：当点P分别在AD、DE、EF、FG、GB上时，观察图形可知这五种情况△ABP的底AB都不变，只需注意相应情况下高的情况，即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，，
由翻折的性质可知：
故答案为：A．
【分析】先根据题意求出∠BCB'的度数，再根据折叠的性质可得：∠DCB的度数，最后再根据∠ACD与∠BCD互余求出即可．
8．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长交于点，
A、由题意知：∠EGP=∠P=90°
∴
故A不符合题意
B、∵
是的一个外角
故B不符合题意
C、由题意知：∠PMN=30°，∠P=90°
是的一个外角
，
故C不符合题意
D、，
故故答案为：D．
【分析】A、根据内错角相等，两直线平行，可得：
B、延长交于点，根据两直线平行内错角相等，可得：，再根据三角形的外角的性质，可以求出，可得
C、根据三角形的外角和性质得出：
D、根据平角的定义得出：，而∠PNM=60°即可解决问题.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的中线、相交于点O，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：B。
【分析】根据，然后再根据三角形面积公式求出，根据“的中线、相交于点O”，可知，O点是三角形ABC的重心，然后再根据三角形重心性质，可得，，，进而求出，，从而得出，最后再由四边形的面积，代入数据即可求解。
10．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意：，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴设，
∴
∴FG∶CG=2∶1
∴
∵正方形的面积为
∴
∴，解得
∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF的面积
∴阴影部分的面积之和为
=2×8
=16
∴阴影部分的面积之和为16．
故答案为：C．
【分析】先证明，得到，，再设
，，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：，解得，再根据割补法可得：阴影部分的面积之和为梯形的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积.
11．【答案】3
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵
∴8×8=4 n
∴
∴
∴
故答案为：3．
【分析】通过计算，把原式变形为，即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；几何概率；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设每个正方形的面积都为1，总面积为，其中阴影部分面积为，
石子落在阴影部分的概率是．
故答案为：。
【分析】设每个正方形的面积都为1，根据图形所示，先求出大长方形的总面积，然后再根据图形所示，求出阴影部分的面积，最后再用阴影部分面积除以总面积，即可求解。
13．【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为，其中一边为（其中），
∴另一边长为，
∴，
故答案为：。
【分析】根据长方形的周长公式：C=2（长+宽），代入数据求出另一条边（10-x），然后再根据长方形的面积公式：S=长×宽，代入数据，即可求解。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解∶如图，过点D作交于点E，交于点F，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
，
即正方形的边长为．
故答案为：。
【分析】过点D作交于点E，交于点F，易得，根据直角三角形互余性质，易得 ，然后再根据正方形的性质，可得 ，易证，可得，然后再根据勾股定理：，代入数据即可求解。
15．【答案】14
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的一元一次方程 的解，
∴ ，
∴
.
故答案为：14.
【分析】将x=2代入方程中可得2a+b=3，待求式可变形为(2a+b)2+2(2a+b)-1，然后代入计算即可.
16．【答案】解：（1）
=-1-8-1+（-8）
=-18；
（2）
=-6；
（3）
；
（4）
=（900-1）×（900+1）+1
=810000。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据乘方、绝对值、零次幂和负整数幂的运算法则，然后对各个式子进行运算，最后再将各个结果进行相加减即可求解。
（2）根据乘方的运算法则，分别对各个式子进行运算，最后再将各个结果进行约分运算即可。
（3）根据平方差公式，对式子进行展开即可求解。
（4）先将899拆解成（900-1），901拆解成（900+1），然后再根据平方差公式展开后，再进行合并同类项，即可求解。
17．【答案】解：
因为
所以，
解得：，
则原式.
【知识点】整式的混合运算；偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题主要考查整式的混合运算和非负数的性质.先利用完全平方公式和平方差公式化简式子，再根据绝对值和平方数的非负性求出a、b的值，最后代入求值.完全平方公式和平方差公式是整式运算的重要工具，非负数的性质在求解未知数的值时经常用到.在解决本题时，准确运用这些知识，通过化简和代入求值，能够有效解决问题.本题充分体现了代数运算的基本方法和技巧，是对基础知识的考查．
18．【答案】解：（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；
（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．
理由：左图中，在四边形PMON中，
∵∠PMO=∠PNO=90°，
∴∠MPN+∠AOB=180°．
右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠AMJ=∠JNO=90°，
∴∠MPN=∠AOB。
【知识点】尺规作图-垂直平分线；8字模型；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）根据作垂线的操作步骤：以给定点P为圆心，任意半径画弧交直线于A、B；分别以A、B为圆心，大于AB为半径画弧连接两弧交点C与点M，CM和CN即所求垂线。
（2）当P点在∠AOB内部时，可根据四边形内角和定理，确定∠MPN与∠AOB之间的关系；当点P在∠AOB外部时，根据“8”字型，即可确定∠MPN与∠AOB之间的关系。
19．【答案】（1）解：如图，过作，
，，，
是直角三角形
∴
解得：
答：山地C距离公路的垂直距离为
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，
由（1）可知，
有危险需要暂时封锁
由作图可知：
=
在中
即需要封锁的公路长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据等积法，求出CD即可.
（2）由（1）可知，<260，可以得出有危险需要暂时封锁，再根据作图可得，根据等腰三角形三线合一和勾股定理，求出DE的长即可.
20．【答案】（1）t，s，60；
(2) 1，60，小南出发2.5小时后，离家的距离为50km ；
(3)30或45．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）自变量是时间或t，因变量是距离或s；小亮家到该度假村的距离是：60；
（2）小亮出发1小时后爸爸驾车出发：爸爸驾车的平均速度为60÷1=km/h； 图中点A表示：小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km；
（3）当20t=60(t-1)，解得：t=1.5
则离家20×1.5=30（千米）
当20t=120-60(t-1)，解得：t=2.25
则离家20×2.25=45（千米）
小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时．离家的距离约是30或45。
故答案为：t，s，60；1，60，小南出发2.5小时后，离家的距离为50km；30或45。
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义，即可求解；根据题干信息和结合图像信息，可直接读出小南家到该度假村的距离。
（2）根据函数图象，可知，爸爸晚出发1小时，然后再根据速度=路程÷时间求解即可；A点落在小南和妈妈出发的直线上，可知，当小南和妈妈出发后离家的距离，根据函数图象的横纵坐标的意义，即可求解。
（3）根据相遇的特点以及结合函数图象，求出交点的位置。
21．【答案】（1）证明：是的垂直平分线，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条等腰分割线.
（2）第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；第二种：等腰的顶角，等腰的顶角；等腰分割见解析
（3）或或
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（2）解：如图1，
第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；
第二种：等腰的顶角，等腰的顶角．
（3）解：如图2，
当，时，，
如图3，
当，时，，
如图4，
当，时，，
综上所述：或或。
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可得AE=CE，然后再根据是等腰三角形，易证，，进而即可求解。
（2）根据题意，可分为两种情况：当AC是腰时，然后再根据等腰三角形的性质和等腰分割的定义，可得AD=AC，AD=BD；当AC是底时，然后再根据等腰三角形的性质和等腰分割的定义，可得，AD=CD，AB=BD，据此即可画出图形；
（3）根据等腰分割的定义，可将情况分为：AD=AC，AD=CD及AC=CD三种情形，然后再根据等腰三角形的性质，即可求解。
（1）证明：是的垂直平分线，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条等腰分割线；
（2）解：如图1，
第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；
第二种：等腰的顶角，等腰的顶角．
（3）解：如图2，
当，时，，
如图3，
当，时，，
如图4，
当，时，，
综上所述：或或．
22．【答案】（1）①；②；
（2）解：和均为等腰三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
点A，D，E在同一直线上，
，
，
，
；
（3）解：把绕点C逆时针旋转得，连接，如图所示：
则
，，，
是等边三角形，
，
，
，
又
即D、P、E在同一条直线上，
，
在中，
，
即的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：(1)①和均为等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
②：由①得，
，
为等边三角形，
，
点A，D，E在同一直线上，
，
，
故答案为：；
【分析】(1)本题聚焦于等边三角形的性质与全等三角形判定及性质的综合运用。等边三角形三边相等、三角均为，这是证明三角形全等的关键条件。通过SAS判定定理证明，再依据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，结合点共线时角度的关系，得出线段关系与角度大小；
(2)本题围绕等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质以及勾股定理展开。等腰直角三角形两腰相等、直角为，利用SAS证明，得到对应边与角的关系。再结合等腰直角三角形底角为的性质，求出相关角度，最后运用勾股定理计算线段长度；
(3)本题综合运用图形旋转、等边三角形判定与性质以及勾股定理。旋转可将分散的线段集中，构造全等三角形与等边三角形。通过旋转得到，利用等边三角形性质确定角度关系，再结合已知角度证明三点共线，最后用勾股定理计算线段长度．
广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024八上·南山开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D错误，
故答案为：A.
【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍；
幂的乘方，底数不变，指数相乘；
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
2．（2024八上·南山开学考）肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：已知1纳米米，700纳米米
根据科学记数法原则，700=7100，米米
故选：B．
【分析】本题围绕科学记数法的表示方法展开.首先依据已知的纳米与米的换算关系，将700纳米转化为以米为单位的数.接着，按照科学记数法，其中，n为整数的要求，确定a和n的值.确定n时，通过观察原数转化为a时小数点移动的位数来确定，移动的位数即为n的绝对值，同时根据原数绝对值与1的大小关系确定n的正负．
3．（2024八上·南山开学考）下列事件中是必然事件的是（ ）
A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．黄河入海流
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、是随机事件，故A不符合题意
B、是随机事件，故B不符合题意
C、是不可能事件，故C不符合题意
D．是必然事件，故D符合题意
故答案为：D．
【分析】必然事件是在一定条件下一定会发生的事件.
4．（2024八上·南山开学考）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB=5，BC=6，∠A=70°
B．AB=5，BC=6，AC=13
C．∠A=50°，∠B=80°，AB=8
D．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A.∠A不是AB、BC的夹角，画出的△ABC不唯一；
B.5+6＜13，不能构成三角形；
C.AB为∠A、∠B的夹边，能画出唯一的△ABC；
D.△ABC的边长不一定，不能画出唯一的△ABC.
故答案为：C.
【分析】能够画出唯一△ABC，那么所画的三角形一定是可以重复的，即所有的三角形都是全等的，而证明一般三角形全等的方法有：SAS，ASA，SSS，AAS.
5．（2024八上·南山开学考）如图，OC平分∠AOB，CM⊥OB于点M，CM=3，则点C到射线OA的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过C作CF⊥AO．
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF．
∵CM=3，∴CF=3．
故答案为：C。
【分析】过C作CF⊥AO，然后再根据角平分线的性质，即可求解。
6．（2024八上·南山开学考）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，
∴△ABP的面积S随着时间t的增大而增大，故A不符合题意；
②当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高也不变，
∴△ABP的面积S不变，故C不符合题意；
③当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，
∴△ABP的面积S随着时间t的减小而减小；
④当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高也不变，
∴△ABP的面积S不变，故D不符合题意；
⑤当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，
∴△ABP的面积S随着时间t的减小而减小，故B符合题意；
故答案为：B．
【分析】分五种情况讨论：当点P分别在AD、DE、EF、FG、GB上时，观察图形可知这五种情况△ABP的底AB都不变，只需注意相应情况下高的情况，即可得到答案.
7．（2024八上·南山开学考）如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点B落在处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，，
由翻折的性质可知：
故答案为：A．
【分析】先根据题意求出∠BCB'的度数，再根据折叠的性质可得：∠DCB的度数，最后再根据∠ACD与∠BCD互余求出即可．
8．（2024八上·南山开学考）将一副直角三角板按如图所示摆放，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长交于点，
A、由题意知：∠EGP=∠P=90°
∴
故A不符合题意
B、∵
是的一个外角
故B不符合题意
C、由题意知：∠PMN=30°，∠P=90°
是的一个外角
，
故C不符合题意
D、，
故故答案为：D．
【分析】A、根据内错角相等，两直线平行，可得：
B、延长交于点，根据两直线平行内错角相等，可得：，再根据三角形的外角的性质，可以求出，可得
C、根据三角形的外角和性质得出：
D、根据平角的定义得出：，而∠PNM=60°即可解决问题.
9．（2024八上·南山开学考）如图，的中线、相交于点O，，且，，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵的中线、相交于点O，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：B。
【分析】根据，然后再根据三角形面积公式求出，根据“的中线、相交于点O”，可知，O点是三角形ABC的重心，然后再根据三角形重心性质，可得，，，进而求出，，从而得出，最后再由四边形的面积，代入数据即可求解。
10．（2024八上·南山开学考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（ ）．
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意：，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴设，
∴
∴FG∶CG=2∶1
∴
∵正方形的面积为
∴
∴，解得
∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF的面积
∴阴影部分的面积之和为
=2×8
=16
∴阴影部分的面积之和为16．
故答案为：C．
【分析】先证明，得到，，再设
，，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：，解得，再根据割补法可得：阴影部分的面积之和为梯形的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积.
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（2024八上·南山开学考）已知，则 ．
【答案】3
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵
∴8×8=4 n
∴
∴
∴
故答案为：3．
【分析】通过计算，把原式变形为，即可得出答案．
12．（2024八上·南山开学考）如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；几何概率；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设每个正方形的面积都为1，总面积为，其中阴影部分面积为，
石子落在阴影部分的概率是．
故答案为：。
【分析】设每个正方形的面积都为1，根据图形所示，先求出大长方形的总面积，然后再根据图形所示，求出阴影部分的面积，最后再用阴影部分面积除以总面积，即可求解。
13．（2024八上·南山开学考）长方形的周长为，其中一边为（其中），面积为，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为 ．
【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为，其中一边为（其中），
∴另一边长为，
∴，
故答案为：。
【分析】根据长方形的周长公式：C=2（长+宽），代入数据求出另一条边（10-x），然后再根据长方形的面积公式：S=长×宽，代入数据，即可求解。
14．（2024八上·南山开学考）如图，直线，，分别过正方形 的三个顶点，，，且相互平行，若， 的距离为，， 的距离为2， 则正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解∶如图，过点D作交于点E，交于点F，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
，
即正方形的边长为．
故答案为：。
【分析】过点D作交于点E，交于点F，易得，根据直角三角形互余性质，易得 ，然后再根据正方形的性质，可得 ，易证，可得，然后再根据勾股定理：，代入数据即可求解。
15．（2024八上·南山开学考）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知 ，求代数式 的值.”可以这样解： .根据阅读材料，解决问题：若 是关于x的一元一次方程 的解，则代数式 的值是 .
【答案】14
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵ 是关于x的一元一次方程 的解，
∴ ，
∴
.
故答案为：14.
【分析】将x=2代入方程中可得2a+b=3，待求式可变形为(2a+b)2+2(2a+b)-1，然后代入计算即可.
三、解答题（共7小题，满分55分）
16．（2024八上·南山开学考）（1）；
（2）；
（3）；
（4）（简便运算）．
【答案】解：（1）
=-1-8-1+（-8）
=-18；
（2）
=-6；
（3）
；
（4）
=（900-1）×（900+1）+1
=810000。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据乘方、绝对值、零次幂和负整数幂的运算法则，然后对各个式子进行运算，最后再将各个结果进行相加减即可求解。
（2）根据乘方的运算法则，分别对各个式子进行运算，最后再将各个结果进行约分运算即可。
（3）根据平方差公式，对式子进行展开即可求解。
（4）先将899拆解成（900-1），901拆解成（900+1），然后再根据平方差公式展开后，再进行合并同类项，即可求解。
17．（2024八上·南山开学考）先化简，再求值：，其中a，b满足：．
【答案】解：
因为
所以，
解得：，
则原式.
【知识点】整式的混合运算；偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题主要考查整式的混合运算和非负数的性质.先利用完全平方公式和平方差公式化简式子，再根据绝对值和平方数的非负性求出a、b的值，最后代入求值.完全平方公式和平方差公式是整式运算的重要工具，非负数的性质在求解未知数的值时经常用到.在解决本题时，准确运用这些知识，通过化简和代入求值，能够有效解决问题.本题充分体现了代数运算的基本方法和技巧，是对基础知识的考查．
18．（2024八上·南山开学考）如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．
（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．
【答案】解：（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；
（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．
理由：左图中，在四边形PMON中，
∵∠PMO=∠PNO=90°，
∴∠MPN+∠AOB=180°．
右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠AMJ=∠JNO=90°，
∴∠MPN=∠AOB。
【知识点】尺规作图-垂直平分线；8字模型；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）根据作垂线的操作步骤：以给定点P为圆心，任意半径画弧交直线于A、B；分别以A、B为圆心，大于AB为半径画弧连接两弧交点C与点M，CM和CN即所求垂线。
（2）当P点在∠AOB内部时，可根据四边形内角和定理，确定∠MPN与∠AOB之间的关系；当点P在∠AOB外部时，根据“8”字型，即可确定∠MPN与∠AOB之间的关系。
19．（2024八上·南山开学考）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）解：如图，过作，
，，，
是直角三角形
∴
解得：
答：山地C距离公路的垂直距离为
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，
由（1）可知，
有危险需要暂时封锁
由作图可知：
=
在中
即需要封锁的公路长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据等积法，求出CD即可.
（2）由（1）可知，<260，可以得出有危险需要暂时封锁，再根据作图可得，根据等腰三角形三线合一和勾股定理，求出DE的长即可.
20．（2024八上·南山开学考）小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系图．请根据图回答下列问题：
(1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km．
(2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为___________km/h，图中点A表示 ．
(3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是___________km．
【答案】（1）t，s，60；
(2) 1，60，小南出发2.5小时后，离家的距离为50km ；
(3)30或45．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）自变量是时间或t，因变量是距离或s；小亮家到该度假村的距离是：60；
（2）小亮出发1小时后爸爸驾车出发：爸爸驾车的平均速度为60÷1=km/h； 图中点A表示：小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km；
（3）当20t=60(t-1)，解得：t=1.5
则离家20×1.5=30（千米）
当20t=120-60(t-1)，解得：t=2.25
则离家20×2.25=45（千米）
小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时．离家的距离约是30或45。
故答案为：t，s，60；1，60，小南出发2.5小时后，离家的距离为50km；30或45。
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义，即可求解；根据题干信息和结合图像信息，可直接读出小南家到该度假村的距离。
（2）根据函数图象，可知，爸爸晚出发1小时，然后再根据速度=路程÷时间求解即可；A点落在小南和妈妈出发的直线上，可知，当小南和妈妈出发后离家的距离，根据函数图象的横纵坐标的意义，即可求解。
（3）根据相遇的特点以及结合函数图象，求出交点的位置。
21．（2024八上·南山开学考）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线．
（1）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线．
（2）如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．
（3）在中，为的等腰分割线，且，，请直接写出的度数．
【答案】（1）证明：是的垂直平分线，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条等腰分割线.
（2）第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；第二种：等腰的顶角，等腰的顶角；等腰分割见解析
（3）或或
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（2）解：如图1，
第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；
第二种：等腰的顶角，等腰的顶角．
（3）解：如图2，
当，时，，
如图3，
当，时，，
如图4，
当，时，，
综上所述：或或。
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，可得AE=CE，然后再根据是等腰三角形，易证，，进而即可求解。
（2）根据题意，可分为两种情况：当AC是腰时，然后再根据等腰三角形的性质和等腰分割的定义，可得AD=AC，AD=BD；当AC是底时，然后再根据等腰三角形的性质和等腰分割的定义，可得，AD=CD，AB=BD，据此即可画出图形；
（3）根据等腰分割的定义，可将情况分为：AD=AC，AD=CD及AC=CD三种情形，然后再根据等腰三角形的性质，即可求解。
（1）证明：是的垂直平分线，
，
，是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是的一条等腰分割线；
（2）解：如图1，
第一种：等腰的顶角，等腰的顶角；
第二种：等腰的顶角，等腰的顶角．
（3）解：如图2，
当，时，，
如图3，
当，时，，
如图4，
当，时，，
综上所述：或或．
22．（2024八上·南山开学考）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A、D、E，在同一直线上，连接，易证，则①线段之间的数量关系是______；②______；
（2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点A、D、E，在同一直线上，若，求的长度；
（3）探究发现：如图3，点为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．
【答案】（1）①；②；
（2）解：和均为等腰三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
点A，D，E在同一直线上，
，
，
，
；
（3）解：把绕点C逆时针旋转得，连接，如图所示：
则
，，，
是等边三角形，
，
，
，
又
即D、P、E在同一条直线上，
，
在中，
，
即的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：(1)①和均为等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
②：由①得，
，
为等边三角形，
，
点A，D，E在同一直线上，
，
，
故答案为：；
【分析】(1)本题聚焦于等边三角形的性质与全等三角形判定及性质的综合运用。等边三角形三边相等、三角均为，这是证明三角形全等的关键条件。通过SAS判定定理证明，再依据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，结合点共线时角度的关系，得出线段关系与角度大小；
(2)本题围绕等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质以及勾股定理展开。等腰直角三角形两腰相等、直角为，利用SAS证明，得到对应边与角的关系。再结合等腰直角三角形底角为的性质，求出相关角度，最后运用勾股定理计算线段长度；
(3)本题综合运用图形旋转、等边三角形判定与性质以及勾股定理。旋转可将分散的线段集中，构造全等三角形与等边三角形。通过旋转得到，利用等边三角形性质确定角度关系，再结合已知角度证明三点共线，最后用勾股定理计算线段长度．
