2024-2025 学年湖北省十堰市郧阳区第一中学高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量 ～ ( , , )，若 的取值集合为{0,1,2, …, }，则( )．
A. ≥ ， ≥ + B. ≤ ， ≥ +
C. ≥ ， ≤ + D. ≤ ， ≤ +
2.设 为数列 的前 项和，则“数列 为等比数列”是“ 2, 4 2 成等比数列”的( )．
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设 ( ) = + ln( ) ( > 0) > 0, lim (1+2 ) (1) ，对于 →0 =( )
A. +22 B. 2 + 4 C. 2 + 1 D. 4 + 2
4 3.已知 ∣ = 4 , ( ∣ ) =
5
9 ,若 ( ) ( ) =
1
5 ,则( )．
A. ( ) = 13 B. ( ) =
3
5 C. ( ) =
1 3
6 D. = 10
5.2025 年这个寒假，国产 助手 在全球掀起一场科技风暴． 在训练模型时会用到对数
似然函数来优化参数.假设某模型的对数似然函数为 ( ) = =1 ln + 1 ，其中 是模型参数， 是输入
特征，为了最大化 ( )，我们需要求解以下哪个方程( )
A. 1 =1 +1 = B.
1 = 0 C.
=1 +1 =1 +1
= 0 D. =1 +1 =
6.已知数列 为等差数列， 为公比为 | | ≠ 1 的等比数列，则集合 ∈ N | = 中至多有( )个
元素．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.关于 的函数 ( ) = 2 + + ln 有两个极值点 1, 2，且 1 = 0.则 1的取值范围是( )．
A. (e, + ∞) B. (e2, + ∞)
3 3 3
C. (e, e2) ∪ e2, + ∞ D. (e, e2) ∪ e2, + ∞
8.数列 各项均为非负实数，且满足 +1 = 1 + ( ≥ 2, ∈ N ), 2 2025 = 1 若则 1的最大可能
值为( )．
A. 4045 B. 4047 4049 40512022 2023 C. 2024 D. 2025
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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ln 29 ( ) = 1.已知 +1 , ( ) = ( ) + ( ),则( )．
A. ( )有两个零点 B. ( )有两个极小值点
C. ( ) ( ) ≤ 0 D. 2 > 2 时， ( ) < 0
10.设随机变量 服正态分布 3, 22 ， = + ， 为正实数.且 服从标准正态分布 (0,1).可供查阅的(部
分)标准正态分布表如下：
1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1
( ≤ ) 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821
若实数 满足 ( < < 3) = 0.025，则( )．
A. ( ≤ 5) = (1 ≤ < 3) + 12 B. + = 1
C. 1.8 < < 1.9 D. 1.9 < < 2.0
11.已知 ∈ ，记集合 1,2, , 中所有不包含相邻正整数的非空子集的个数为 ，例如 1 = 1， 3 = 4，
对于数列 ，下列说法正确的是( )．
A. 2 +1 + 1 = +2 +
B. 1 + 3 + + 2 1 = 2
C. 4 2 + 1 一定为 3 的倍数
D. 2 =1 + 1 = +1 + +1 + 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在数列 中， 1 = 5, = 2 1 + 2 1 ≥ 2, ∈ N ，则 的通项公式为 ．
13.某工厂 6 件产品中有 3 件次品，现在从中随机每次抽取 1 件且不放回，设 为抽到第 2 件次品时的抽取
次数，则 的期望为 ．
14.已知函数 ( ) = + sin π，其在点 0, 0 (0 < 0 < 2 )处的切线与曲线 = ( )的图像恰有三个交点，
则 0 tan 0 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ( ) = 3 6 2 + 12 4,函数 ( )图像上一点 处的切线为 1．
(1)当 1经过坐标原点时，求点 的横坐标；
(2)若 1与曲线交于另一点 ， ( )在点 处的切线为 2，记 11， 2的斜率分别为 1， 2，求 的值．2
16.(本小题 15 分)
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西北某地响应国家号召，在一片荒漠实行“种树防沙”政策，每天由志愿者队伍种树.某志愿者小队记录了
他们第一周七天内累计种树量 (单位：株)与天数 (单位：天)的对应数据如下表(初始树数量视为 0)．
1 2 3 4 5 6 7
58 110 166 219 273 322 378
参考数据： = 218
(1)计算日平均种树量 0；
(2)从这 7 天的数据中任选三天，记这三天中当日种树量超过： 0的天数为 ，求 的分布列和期望；
(3)通过表中的数据得到了 关于 的线性回归方程为 = + .现仅删去第四天的数据，根据剩余数据得到
新的回归直线方程，证明：新的回归直线方程的斜率仍为 .
附：对于一组数据 1, 1 , 2, 2 , , , ,其回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
= =1
, = . =1 2
17.(本小题 15 分)
1
已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ,满足 2 = .
(1)求 的通项公式；
(2) 1 1证明： =1 ( +1) < 2 1 . +1
18.(本小题 17 分)
为判断一位疑似患病者是否患某传染病，可采用核酸检测的方法.若要为多人进行核酸检测，我们有个检和
混检两种方法.个检就是一人一管检测，混检是 ≥ 2, ∈ N 人一管检测(若这一管中的检测者无一患病，
则这一管检测为“正常”；反之，检测为“患病”，此时要对这一管中的所有检测者重新进行个检)
(1)现有 3 位疑似患病者待检测，请从总管数(即总检测次数)方面考虑，是个检还是混检的方式更好 已知每
位疑似患者患病概率 = 0.2，且每人是否患病相互独立；
(2)现由于病情严重，需要进行全城普查.假设无误检的情况，采用 人一管混检的方式，每人患病概率为
且每人是否患病相互独立，全城总人数为 ，由于 足够大，可认为 整除 .记平均每人检测的管数为 ( =
总
, 总表示检测总数)．
( )设混检时有 管检测有问题，求此时 的表达式及该情况发生的概率 ；
( )证明：当 ≥ 2 时， 的数学期望 ( )与 无关．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( 1) 1 22 + + 2 ( > 0)有两个极值点 1, 2( 1 < 2).
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(1)当 = 1 时，讨论 ( )的单调性；
(2)若 1 > 0,求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. = ( + 1) 2 + 1
13.3.5/72
14.无
15.(1)设 点的坐标为 1, 1 ，则 3 21 = 1 6 1 + 12 1 4，
因为 ′( ) = 3 2 12 + 12，所以切线 1的方程为 31 6 21 + 12 4 = 3 21 1 12 1 + 12 1 ，
由切线经过原点，把 = = 0 带入切线方程得： 3 21 6 1 + 12 1 4 = 1 3 21 12 1 + 12 ，
即 3 3 21 1 + 2 = 0 21 2 1 2 1 1 = 0 1 = 1 或 1 = 1 ± 2，
所以点 的横坐标为 1 或 1 ± 2．
(2)设 点的坐标为 2, 22 ，由(1)可知 1 = 3 1 12 1 + 12 = 3 1 2 2，
切线 1的方程为 31 6 21 + 12 1 4 = 3 21 12 21 + 12 1 ，整理得： = 3 1 12 1 +
12 2 31 + 6 21 4，与 = 3 6 2 + 12 4 联立得：3 21 12 1 + 12 2 31 + 6 21 4 = 3 6 2 +
12 4，
即 3 6 2 3 2 12 3 2 21 1 + 2 1 6 1 = 0 1 + 2 1 6 = 0 = 1或 = 6 2 1，
所以 22 = 6 2 1，故 2 = 3 2 12 2 + 12 = 3 6 2 21 12 6 2 1 + 12 = 12 1 2 2，
1
因此 1 = ．2 4
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16.(1) 0 =
378
7 = 54(株)．
(2)由表格可知：1 7 天的种树量分别为 58,52,56,53,54,49,56，超过 54 的有 3 天，所以 的取值为 0,1,2,3，
3 2 1 1 2 3
( = 0) = 4 = 4， ( = 1) = 4 3 183 35 3 = 35， ( = 2) =
4 3
3 =
12
， ( = 3) = 3 1
3
=
7 7 7 35 7 35
，
所以 的分布列如下表所示：
0 1 2 3
4 18 12 1
35 35 35 35
所以 = 0 × 4 + 1 × 18 12 1 935 35 + 2 × 35 + 3 × 35 = 7．
(3)由表格可知： = 4，并且删除第四天数据后 的平均数仍为 4，
根据 的表达式可知：删除第四天数据前的 的表达式中比删除第 4 天数据后 的表达式分子多出了
4 4 ，分母多出了 4 2，而 4 = 4，所以 4 4 = 0， 24 = 0，
故新的回归直线方程的斜率表达式中的分子和分母都和原回归直线方程的分子和分母相等，
即新的回归直线方程的斜率仍为 ．
17.(1)由题可知： > 0，2 =
1
，
当 = 1 时，2 1 1 =
1 1
2 1 1 = 1 = 11 1
当 ≥ 2 时，2
1
1 = = + 1, 1
即 2 2 1 + 1 = 1,可得 1 = 1( ≥ 2)
所以数列 2 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
可得 2 = , = ，
当 = 1 时， 1 = 1；
当 ≥ 2 时， = 1 = 1；
当 = 1 时，符合上式； = 1
(2) 1 1由( +1) = ， ( +1)
1 2 +1
下证：( +1) < +1 , ∈ N
，
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1
要证明：( +1) <
2 +1
+1 ，
只需证明：2 + 1 + 1 > 1，
即证明：2 + 1 2 + 1 > 0，
由 2 + 1 2 + 1 = ( + 1) + 2 + 1 ≥ 2 + 1 2 + 1 = 0，又 + 1 ≠ ，
所以 2 + 1 2 + 1 > 0．
1 2 +1 1 1 1
所以 ( +1) < +1 , ∈ N ，即( +1) < 2 +1 , ∈ N
1 < 2 1 1 + 1 1 1 1 1则 =1 ( +1) 2 2 3
+ . . . + +1 = 2 1 +1 ，
1 1 = 1 1又 +1，所以
1
=1 ( +1) < 2 1
1 .
+1 +1
18.(1)3 人个检，总检测数为 3．
若采用 3 人混检，总检测数 可能为 1，可能为 4，
由题， ( = 1) = (1 0.2)3 = 0.512， ( = 4) = 1 ( = 1) = 0.488，则此时总检测数的期望为：1 ×
0.512 + 4 × 0.488 = 2.464．
因 2.464 < 3，则混检更好．
(2)( )当混检时有 管检测有问题时，检测数增加 ，
+ 1
则由题此时 总 = + ，从而 =
= + ．
令 = 1 ，则 人一管混检后不进行复检的概率为 ，进行复检的概率为 1 ．
又令 = ( ) ，则 = C 1 = C 1 (1 ) (1 ) ．
( )当 ≥ 2，由( )分析，
( ) = 1 =0 = =0 +
C 1 ．
= 1 =0C 1
+ C 1 =0 ．
1
注意到 C 1 1 1 =0 = 1 + = ，
C
! ( 1)!
= !( )! = ( 1)!( )! = C
1
1，其中 ≥ 1，
又 = 0 时， C
1 = 0．
则 C 1 1 =0 = 1 =1 C 1 1
1
= 1 1 + 1 = 1 ，
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1 1
从而 ( ) = + 1
= + 1 (1 ) ，则 ( )与 无关
19.无
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