2025年内蒙古赤峰市翁牛特旗中考数学压轴试卷（二）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A. B. -2025 C. D.
2.如图，已知a∥b,直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1=29°46′，则∠2等于（ ）
A. 59°54′
B. 59°14′
C. 60°54′
D. 60°14′
3.一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.下列计算正确的是（ ）
A. 3a2+4a2=7a4 B. =1
C. -18+12÷（-）=4 D. -a-1=
5.学生食品安全引起各级政府的关注，师生在同一地点吃同样食物的政策在美安学校实行，学校食堂中午开设了四个取餐窗口，在校就餐时小明和小红被随机分到同一窗口的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，点B在y轴正半轴上，点A（-1，1），将△AOB沿x轴正方向平移得到△DCE，若点E恰好落在直线y=x上，则此时点D的坐标为（ ）
A. （2，1） B. （3，1） C. （4，1） D. （5，1）
7.小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（i为入射角，r为折射角）.如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出.若i=30°，AB=20cm,BC=5cm,则该玻璃透镜的折射率n为（ ）
A. 2 B. 1.6 C. 1.5 D. 1.4
8.如图，在菱形ABCD中，分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E、F，连接EF，若直线EF恰好经过点A，与边CD交于点M，连接BM.有以下四个结论：①∠ABC=60°，②如果AB=2，那么，③，④；其中正确结论的个数是（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9.因式分解：9m2+6m+1= ______.
10.已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x= ______.
11.已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为______．
12.如图，反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，tan∠CBA=3，则k= ______.
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题10分)
（1）解方程；
（2）解不等式组.
14.(本小题10分)
2025年春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评.演出结束后，节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分）.并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图：
两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
现场 7.6 8 8
线上 a b 7
（1）直接写出m,a,b的值；
（2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数；
（3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由.
15.(本小题8分)
某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，即在烤箱内温度匀速升至240℃时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，如图所示的是该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度y（℃）随时间x（分钟）变化的函数图象.
（1）求该图象的函数表达式；
（2）若食物在130℃及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请问该模式下烤制的食物能否健康食用？请说明理由.
16.(本小题11分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD.
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=，求CD和DE的长.
17.(本小题12分)
如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．
（1）求证：AE⊥BF；
（2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；
（3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．
18.(本小题13分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD=kS△ABD，求k的取值范围；
（3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标.
1.解：A：是分数，可表示为有限小数或无限循环小数，属于有理数；
B：-2025是整数，属于有理数；
C：表示8的三次方根，因23=8，结果为整数2，属于有理数；
D：中，11不是完全平方数，其平方根无法表示为分数，是无限不循环小数，属于无理数；
故选：D．
2.解：∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∠1=29°46′，
∴∠3=90°-29°46′=60°14′，
∵a∥b,
∴∠2=∠3=60°14′；
故选：D．
3.解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最多分布的情况如图所示：
即组成该几何体所需小正方体的个数最多是7．
故选：D．
4.解：3a2+4a2=7a2，故选项A错误；
当a＞0时，=a=1，当a＜0时，=-a=-1，故选项B错误；
-18+12÷（-）=-18-8=-26，故选项C错误；
-a-1=-（a+1）===，故选项D正确；
故选：D．
5.解：设学校食堂开设的四个窗口分别为1、2、3、4，由题意可得表格如下：
小红小明 1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
由列表可知：在校就餐时小明和小红被随机分到同一窗口的概率是；
故选：C．
6.解：∵点A的坐标为（-1，1），
∴OA==，
∵△OAB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，
∴点B的坐标为（0，2）．
∵点E是点B向右平移得到的点，
∴点E的纵坐标为2．
当y=2时，x=2，
解得：x=4，
∴点E的坐标为（4，2），
∴点E是点B向右平移4个单位长度得到的点，
∴点D是点A向右平移4个单位长度得到的点，
∴点D的坐标为（3，1）．
故选：B．
7.解：如图，
∵折射光线沿垂直AC边的方向射出β+∠A=90°，
∵法线垂直于AB，
∴r+β=90°，
∴r=∠A，
∴，
∵折射率，
故选：A．
8.解：连接AC，如图，
由作法得AM垂直平分CD，
∴AC=AD，CM=DM，AM⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=BC=CD，AB∥CD，
∴AB=AC=BC=CD=AD，
∴△ABC和△ADC都为等边三角形，
∴∠ABC=60°，所以①正确；
∵AB=2，
∴AD=CD=2，DM=1，
在Rt△ADM中，AM===，
∵AM⊥CD，AB∥CD，
∴AM⊥AB，
∴∠BAM=90°，
∴BM===，所以②正确；
∵BC=2，CM=1，
∴BC=2CM，所以③错误；
∵S△ADM=AM DM，S△ABM=AM AB，
而DM=AB，
∴S△ADM=S△ABM，所以④正确．
故选：B．
9.解：9m2+6m+1=（3m+1）2，
故答案为：（3m+1）2．
10.解：=2，
根据题意可知，
x-1=3，
解得x=4．
故答案为：4．
11.解：如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，
∴OA=OB=2OD=2，
∴AD=3，BD=，
∴AB==2，
∴BC=2，
∴△ABC的面积=BC AD=×2×3=3；
故答案为3．
12.解：连接OC，作CM⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N，如图，
由题意可知，点A、点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵AC=BC
∴OC⊥AB，∠CBA=∠CAO，
∴，
∵∠COM+∠AON=90°，∠AON+∠OAN=90°，
∴∠COM=∠OAN，
∴Rt△OCM∽Rt△AON，
∴
而，
∴，
∵，
而k＜0，
∴k=-9
故答案为：-9．
13.解：（1）原方程可化为：2+2x-2=3．
解得．
检验：把代入2（x-1）=1≠0，且原方程左边=右边．
∴原方程的解为．
（2），
解第一个不等式得x≤3，
解第二个不等式得x＜1，
所以不等式组的解集为x＜1．
14.解：（1）现场打分的平均数a=×（6×9+7×12+8×21+9×6+10×2）=7.6（分），
∵线上观众打分为6分的占12%，7分的占40%，
∴线上打分的中位数b=7分，
m%=1-（12%+40%+30%+6%）=12%，即m=12；
（2）线上观众评分不低于8分的总人数为5000×（12%+6%+30%）=2400（人）；
（3）同意，因为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据样本容量大，更能体现实际情况．
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