2025年重庆市开州区德阳初中教育集团中考数学适应性试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中是无理数的是（ ）
A. 0 B. 1 C. -2 D.
2.一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你中考顺利”，把它折成正方体后，与“你”相对的字是（ ）
A. 中
B. 考
C. 顺
D. 利
3.如图，AB∥CD，若∠1=150°，则∠C的度数是（ ）
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 20°
4.两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的对应边上的中线的比为（ ）
A. 1：16 B. 1：4
C. 1：2 D. 不同的对应边上的中线的比不同
5.估计的值在（ ）
A. 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间
6.下列各个命题中，是假命题的是（ ）
A. 两点之间，线段最短
B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 平行四边形是中心对称图形
7.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）
A. 18 B. 20 C. 24 D. 26
8.如图，AB是⊙O的直径，过AB的延长线上的点C作⊙O的切线，切点为P，点D是⊙O上一点，连接BD，DP，若∠BDP=25°，则∠C等于（ ）
A. 50°
B. 45°
C. 40°
D. 35°
9.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的动点，连接DE，DF分别与对角线AC交于点G，H，且EF=AE+CF.若∠GEF=α，则∠GHF用含α的代数式表示为（ ）
A. 45°+α
B. 90°+
C. 135
D. 180°-α
10.对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于0，1，3进行“非负差值运算”，（1-0）+（3-1）+（3-0）=6.
①对-3，5，9进行“非负差值运算”的结果是24；
②x,-1，6的“非负差值运算”的最小值是15；
③x,y,z的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种；
以上说法中正确的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：= ______.
12.如图，有两个转盘，转盘A被分成两等份，分别标有数字1，2，转盘B被分成三等份，分别标有数字1，2，3，转动两个转盘各一次，指针指向的数字相同的概率是______.
13.如图，△OAB是等边三角形，点B的坐标是（2，0），若反比例函数图象的一支经过点A，则k的值是______.
14.如图，△ABC中，点D为边AC的中点，连接BD，将△BDC沿直线BD翻折至△ABC所在平面内，得△BDC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与BD交于点O.若AE=BE，AC′=4，则BD的长为______.
15.如图，点A，B是⊙O上两点，连接AB，直径CD与AB垂直于点E，点F在⊙O上，连接AF，BF，过点A作AG⊥BF交⊙O于点G，过点D作⊙O的切线交FG的延长线于点H，若，CD=8，∠H=60°，则DE=______，AF=______.
16.对于任意一个四位数m,若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“双倍数”.例如：m=3507，因为3+7=2×（5+0），所以3507是“双倍数”；m=4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“双倍数”.最小的双倍数是______；对于“双倍数”n,当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记.求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n之和是______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组：.
18.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中m是方程x2+3x-3=0的根.
19.(本小题10分)
4月14日，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A.48≤x≤50；B.46≤x＜48；C.44≤x＜46；D.0≤x＜44），下面给出了部分信息：
抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：
50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50.
初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表
性别 男生 女生
平均数 47.9 48
中位数 a 49
众数 50 b
满分率 35% 45%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ______；b= ______；m= ______；
（2）根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校初三年级共有学生1200人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数.
20.(本小题10分)
在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E为直线AD上一点，连接BE，CE.用直尺和圆规，在BC的上方作∠CBF，使得∠CBF=∠BCE，射线BF交直线AD于点F，此时点F是点E关于直线BC的对称点，连接CF.
小明想要研究四边形BFCE的形状，请根据他的思路完成以下填空：
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD= ______①.
又∵∠CBF=∠BCE，∠BDF=∠CDE，
∴△BDF≌CDE，
∴BF= ______②.
∵∠CBF=∠BCE，
∴ ______③.
∴四边形BFCE是平行四边形.
又∵EF⊥BC，
∴四边形BFCE是菱形.
小明进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征.请你依照题意完成下面命题：
在等腰三角形中，以两底角顶点，底边高线上一点，以及该点关于底边所在直线的对称点为顶点的四边形______④.
21.(本小题10分)
列方程（组）解决下面问题
修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎.
（1）某修正带有一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？
（2）阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元，用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多60%，求每个B牌修正带的价格？
22.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=3，连接BD，动点E从B到A以每秒1个单位/秒运动，到A停止运动，运动过程中，连接CE交DB于F，用x表示E运动时间（0＜x＜6）△BCE面积y1线段CF与EF的比值为y2.
（1）直接写出y1，y2函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2的函数图象，并写出函数y1，y2的一条性质：______.
（3）根据函数图象，直接写出当y2≤y1＜4时，x的取值范围（结果保留一位小数，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形ABCD环湖步道，如图，经勘测，点B在点A的南偏东30°方向，点C在点A的正东方，点D在点A的北偏东60°方向，点B在点C的南偏西15°方向，点D在点C的正北600米处.（参考数据：.414，.732）
（1）求AB的长度（结果保留根号）；
（2）小红与小方约定星期六早晨去锻炼，小红以每分钟120米的速度沿A→B→C的路线快跑到点C，同时小方以每分钟75米的速度沿A→D→C的路线慢跑去点C，请你通过计算判断小红和小方谁先到达点C？（时间精确到0.1）
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）经过A，B两点（点A在点B的左侧），其中A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段CA上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，E是y轴上一动点，当线段PD长度取得最大值时，求的最小值；
（3）如图2，将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点D且与直线AC相交于另一点M.点Q为新抛物线上的一个动点，当∠MDQ=∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
在等边三角形ABC中，点D是BC边上一点（点D不与端点重合），连接AD，∠DAC=α，延长AD至点E，连接BE，CE.
（1）如图1，若AC=CE，求∠CBE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，将线段EC绕点E逆时针旋转180°-2α得到线段EF，连接AF.若∠BEC=∠EFA，猜想线段AF与BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图（3），G是BC边的中点，点C关于直线AD的对称点为Q，连接AQ，GQ，当将△AGQ为等腰三角形时，请直接写出此时的值.
1.解：A、0是整数，不是无理数，不符合题意；
B、1是整数，不是无理数，不符合题意；
C、-2是整数，不是无理数，不符合题意；
D、符合无理数的定义，符合题意，
故选：D．
2.解：一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你中考顺利”，把它折成正方体后，与“你”相对的字是考，
故选：B．
3.解：∵∠1=150°，
∴∠2=180°-150°=30°，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠2=30°，
故选：C．
4.解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，
它们的对应边上的中线的比为1：4．
故选：B．
5.解：原式=+5，
∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴7＜+5＜8，
即原式的值在7到8之间，
故选：D．
6.解：A、两点之间，线段最短，是真命题，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不符合题意；
D、平行四边形是中心对称图形，是真命题，不符合题意；
故选：B．
根据线段的性质、平行线的性质、垂直的定义、中心对称图形判断．
7.解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：4=1×2+2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：6=2×2+2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：8=3×2+2；
…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（2n+2）个．
当n=8时，
2n+2=2×8+2=18（个），
即第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是18个．
故选：A．
8.解：如图，连接OP，
由圆周角定理得：∠POC=2∠BDP=2×25°=50°，
∵CP是⊙O的切线，
∴OP⊥CP，
∴∠C=90°-∠POC=90°-50°=40°，
故选：C．
9.解：延长DA到M，使AM=CF，连接BM，如图所示：
∴EM=AE+AM=AE+CF，
∵EF=AE+CF，
∴EM=EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠BAD=∠BCD=∠ABC=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAM=∠BCF=90°，
在△BAM和△BCF中，
，
∴△BAM≌△BCF（SAS），
∴BM=BF，∠ABM=∠CBF，
在△EMB和△EFB中，
，
∴△EMB≌△EFB（SSS），
∴∠EBM=∠EBF，∠BEM=∠GEF=α，
∵∠EBM=∠ABM+∠ABE=∠CBF+∠ABE，
∴∠EBF=∠CBF+∠ABE，
∵∠ABC=∠EBF+∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠EBF=∠CBF+∠ABE=45°，
在△AGE中，∠AGE=180°-（∠CAD+∠BEM）=180°-（45°+α）=135°-α，
∴∠BGH=∠AGE=135°-α，
∵∠GHF是△BGH的外角，
∴∠GHF=∠BGH+∠EBF=135°-α+45°=180°-α．
故选：D．
10.①对-3，5，9进行“非负差值运算”，即[5-（-3）]+（9-5）+[9-（-3）]=24，故①正确；
②当x≤-1＜6时，对x,-1，6进行“非负差值运算”，得[-1-x]+（6-x）+[6-（-1）]=-2x+12；
当-1＜x＜6时，对-1，x,6进行“非负差值运算”，得[x-（-1）]+（6-x）+[6-（-1）]=14；
当-1＜6≤x时，对-1，6，x进行“非负差值运算”，得[6-（-1）]+（x-6）+[x-（-1）]=2x+2；
∴对x,-1，6的“非负差值运算”的最小值为14，故②错误；
③当x＜y＜z时，对x,y,z进行“非负差值运算”，得（y-x）+（z-x）+（z-y）=-2x+2z；
当x＜z＜y时，对x,y,z进行“非负差值运算”，得（z-x）+（y-x）+（y-z）=-2x+2y；
当y＜x＜z时，对x,y,z进行“非负差值运算”，得（x-y）+（z-y）+（z-x）=-2y+2z；
当z＜x＜y时，对x,y,z进行“非负差值运算”，得（x-z）+（y-z）+（y-x）=2y-2z；
当y＜z＜x时，对x,y,z进行“非负差值运算”，得（z-y）+（x-y）+（x-z）=2x-2y；
当z＜y＜x时，对x,y,z进行“非负差值运算”，得（y-z）+（x-z）+（x-y）=2x-2z；
当x=y=z时，对x,y,z进行“非负差值运算”，得0；
共有7种不同的结果，故③错误；
故选：B．
11.解：原式=2+1
=3，
故答案为：3．
12.解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中指针指向的数字相同的有2种结果，
所以指针指向的数字相同的概率为=，
故答案为：．
13.解：如图，过点A作AD⊥OB于点D，
∵△OAB是等边三角形，点B的坐标是（2，0），
∴OB=OA=2，
∴OD=OB=1，
∴AD===，
∴A（1，），
∵反比例函数图象的一支经过点A，
∴k=1×=．
故答案为：．
14.解：由题意可得，△DCB≌△DC′B，OC=OC′，∠COD=∠C′OD=90°，
∴点O为CC′的中点，
∵点D为AC的中点，
∴OD是△ACC′的中位线，
∴OD=AC′，OD∥AC′，
∴∠COD=∠EC′A=90°，
∵AE=BE，AC′=4，
∴OD=2，
在△EC′A和△EOB中，
，
∴△EC′A≌△EOB（AAS），
∴AC′=BO，
∴BO=4，
∴BD=BO+OD=4+2=6，
故答案为：6．
15.解：如图，连接AO、BO、OG、OF、BG，过点B作BM⊥AF于点M，设BF交AG于点N，
∵直径CD与AB垂直于点E，，CD=8，
∴∠AEO=90°，，，，
∴，，
∴，DE=OD-EO=4-2=2，
∴∠AOE=60°，
∴和的度数为60°，即的度数为120°，
∴∠AOB=60°+60°=120°，
∴，
∵，
∴∠AGB=∠AFB=60°，
∵AG⊥BF，
∴∠BNG=90°，
∴∠FBG=90°-∠BGN=90°-60°=30°，
∵，且所对的圆心角为∠FOG，
∴∠FAG=∠FBG=30°，
∴∠FOG=2∠FAG=2×30°=60°，
∵OG=OF，∠H=60°，DH切⊙O于点H，
∴△OFG为等边三角形，∠CDH=90°，
∴∠OGF=60°=∠H，
∴OG∥DH，
∴∠DOG=180°-∠CDH=180°-90°=90°，
∴∠AOG=∠AOD+∠DOG=60°+90°=150°，即的度数为150°，
∴，
∴∠BFG=∠AFG-∠AFB=75°-60°=15°，
∵，
∴∠BAG=∠BFG=15°，
∴∠BAF=∠BAG+∠GAF=15°+30°=45°，
在△ABF中，BM⊥AF，，∠BAF=45°，∠AFB=60°，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：2；．
16.解：∵求最小的双倍数，
∴千位上的数字是1，百位上的数字是0，
设十位设的数字是a,个位上的数字是b,
1+b=2（0+a），
b=2a-1，
∵a,b均为0～9之间的整数，a尽可能小，
∴a=1，b=1，
∴最小的双倍数是1011，
设“双倍数”n中千位上的数字是x,百位上的数字为y,个位上的数字为z,则十位上的数字是2x,
∵是“双倍数”，
∴x+z=2（y+2x），
解得：z=2y+3x,
∵百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
∴=是正整数，
∵x,y,z,2x均为0～9之间的整数，
∴或或，
∴n=1227或2148或3069，
∴F（n）=409或716或1023，
∵F（n）各数位上的数字之和是偶数，
∴F（n）=716或1023，
∴n=2148或3069，
∴2148+3069=5217，
故答案为：1011，5217．
17.解：解不等式（1）得：
解不等式（2）得：
所以不等式组的解集为：
18.解：
=÷
=÷
=
=，
∵m是方程x2+3x-3=0的根，
∴m2+3m-3=0，
∴m2+3m=3，
当m2+3m=3时，原式=．
19.解：（1）把20名男生的体考成绩按大到小的顺序排列，中位数是第10和11个数的平均数，
所以a==48.5，
女生满分的人数为20×45%=9（人），
所以众数是b=50，
∵m%=100%-×100%-15%-5%=10%，
∴m=10．
故答案为：48.5，50，10；
（2）女生的成绩较好，
理由：女生的中位数和满分率都比男生好；
（3）800×=540（人），
答：估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数有540人．
20.证明：如图，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD①．
又∵∠CBF=∠BCE，∠BDF=∠CDE，
∴△BDF≌CDE，
∴BF=CE②．
∵∠CBF=∠BCE，
∴BF∥CE③．
∴四边形BFCE是平行四边形．
又∵EF⊥BC，
∴四边形BFCE是菱形．
小明进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．可得下面命题：在等腰三角形中，以两底角顶点，底边高线上一点，以及该点关于底边所在直线的对称点为顶点的四边形是菱形④．
故答案为：CD，CE，BF∥CE，是菱形．
21.解：（1）设安排x名工人生产外壳，则安排（30-x）名工人生产齿轮，
根据题意得：2×2000x=8000（30-x），
解得：x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，
∴30-x=30-20=10（人）．
答：安排20名工人生产外壳，10名工人生产齿轮，才能使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套；
（2）设每个B牌修正带的价格是y元，则每个A牌修正带的价格是（y-0.5）元，
根据题意得：=×（1+60%），
解得：y=2，
经检验，y=2是所列方程的解，且符合题意．
答：每个B牌修正带的价格是2元．
22.解：（1）根据题意得：BE=x,则 AE=6-x,
矩形ABCD中，∵AB=6，BC=3，∠ABC=90°，
∴CD=AB=6，AD=BC=3，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，，
∴，即，
∴y1，y2函数关系式分别为1，；
（2）根据题意得：函数的图象过点（0，0），（2，3），（6，9），
函数的图象过点（1，6），（2，3），（3，2），（6，1），
画出函数图象，如图，
函数y1，y2的一条性质：
当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大，
当0＜x＜6时，y2随x的增大而减小；
故答案为：当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大，当0＜x＜6时，y2随x的增大而减小；
（3）观察图象得：两函数图象交于点（2，3），
对于，
当y1=4时，，
观察图象得：当2≤x＜2.7时，y2≤y1＜4，
即当y2≤y1＜4时，x的取值范围为2≤x＜2.7．
23.解：（1）F过C点作CE⊥AB于E点，
根据题意，∠DAC=30°，∠DCA=90°，∠CAB=60°，∠ACB=75°，
∴∠B=180°-∠CAB-∠ACB=45°，
∵在Rt△ACD中，CD=600米，tan∠DAC=，
∴AC===600（米），
∵在Rt△ACE中，∠CAB=60°，cos∠CAB=，sin∠CAB=，
∴AE=AC cos60°=600×=300（米），
CE=AC sin60°=900（米），
∵在Rt△BCE中，∠B=45°，CE=BE，
∴BE=900米，
∴AB=AE+BE=300+900（米），
答：AB的长为（300+900）米；
（2）小红先到达点C，理由如下：
由（1）知在Rt△BCE中，CE=BE=900米，
∴BC==900（米），
∴小红路线A→B→C的路程为AB+BC=300+900+900≈2692.2（米），
∵小红的速度为每分钟120米，
∴小红所需时间为2692.2÷120≈22.4（分钟），
∵在Rt△ACD中，CD=600米，∠DAC=30°，
∴AD=2CD=1200（米），
小方的路线A→D→C路程为AD+DC=1200+600=1800（米），
小方的速度为每分钟75米，
∴小方所需时间为1800÷75=24（分钟），
∵22.4＜24，
∴小红先到达点C．
24.解：（1）由抛物线y=ax2+bx+4经过A（-4，0），B（1，0），可设为y=a（x+4）（x-1）=ax2+3ax-4a,从而可得4=-4a,
故a=-1，
∴抛物线的表达式为y=-x2-3x+4；
（2）由y=-x2-3x+4可得C（0，4），根据待定系数法可得直线AC的解析式为y=x+4，
设P（p,-p2-3p+4）、D（p,p+4），
故PD=-p2-4p=-（p+2）2+4，
即当p=-2时，PD最大为4，此时P点坐标为（-2，2）．
如图1所示，作∠CON=60°，则易知直线ON的表达式为y=．
故EF=OE，
∴=PE+EF，
作PH⊥ON于点H，当P、E、F共线时，PE+EF最小，最小为PH的长，
过点H作HK⊥x轴于点K，作PL⊥KH交于点L，
设点H（a,），
故LH=6-，PL=a+2，
∵tan∠PHL=tan30°=，
∴，即=，
解得a=，从而PL=a+2=，
故PH=2PL=，
因此的最大值为；
（3）由（2）知D（-2，2），
故可知新抛物线是原抛物线向左向下分别平移2个单位得到的，
则新抛物线的表达式为y=-x2-7x-8，
当∠MDQ=∠ACB时，符合所有条件的点Q坐标有两种情况：
情况一：当DQ∥BC，Q在AC下方时，
由待定系数法知直线BC的表达式为y=-4x+4，
故设直线DQ的表达式为y=-4x+b,代入点D（-2，2），得b=-6，
∴直线DQ的表达式为y=-4x-6，
联立，整理可得x2+3x+2=0，
由韦达定理可知xD xQ=-2xQ=2，故xQ=-1，
∴Q（-1，-2）；
情况二：当Q'在AC上方时，∠MDQ'=∠ACB，延长Q'D交CB于点R，如图2所示，
∵∠MDQ'=∠MDQ，∠MDQ'=∠CDR，
∴∠CDR=∠ACB，DR=CR，
由待定系数法可知直线BC表达式为y=-4x+4，故设R（b,-4b+4），
根据DR=CR，从而DR2=CR2，
即（b+2）2+（-4b+4-2）2=b2+（-4b+4-4）2，解得b=，
从而R（，），
故直线DR的表达式为y=，再与抛物线y=-x2-7x-8联立，
整理可得，
由韦达定理可知xD xQ'=-2xQ'=，故xQ'=，
∴Q'（，），
综上，所有的Q点坐标为（，）或（-1，-2）．
25.解：（1）∵AC=CE，
∴∠AEC=∠DAC=α，
∴∠ACE=180°-2α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=120°-2α，BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB===30°+α；
（2）如图1，
AF=2BE，理由如下：
连接CF，在AF上截取FG=BE，连接EG，
∵线段EC绕点E逆时针旋转180°-2α得到线段EF，
∴EF=CE，∠CEF=180°-2α，
∴∠EFC=∠ACF=α，
∵∠BEC=∠EFA，
∴△EFG≌△CEB（SAS），
∴EG=AB，∠EGF=∠CBE，
∵∠EFC=∠DAC=α，
∴点A、C、E、F共圆，
∴∠ACE+∠EFA =180°，∠EAF=∠ECF=α，
∴∠ACE+∠CEB=180°，
∴AC∥BE，
∴∠CBE=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠∠BAC=∠ABC=ACB=60°，
∴∠CBE=60°，
∴∠EGF=60°，
∴∠AEG=∠EGF-∠EAF=60°-α，
∵∠BAE=∠BAC-∠DA60°-α，
∴∠AEG=∠BAE，
∵AE=AE，
∴△AEG≌△EAB（SAS），
∴AG=BE，
∴AF=AG+FG=2BE；
（3）如图2，
以BC所在直线为x轴，AG所在的直线为y轴建立坐标系，
不妨设CG=BG=1，则AG=，AB=AC=BC=2，
∴B（-1，0），C（1，0），A（0，），
∵点C关于直线AD的对称点为Q，
∴AQ=AC=2，DQ=CD，
∵△AGQ为等腰三角形，
∴GQ=AG或AQ=GQ，
当GQ=AG时，
设Q（x,y），D（a,0），
由AQ=AC=2和QG=AG=得，
∴，
∴（舍去），
∴Q（-），
由DQ=CD得，
∴a=，
∴BD==，CD=，
∴，
当AQ=GQ时，
可得Q（-），
由DQ=CD得，
，
∴a=，
∴BD=1+=，CD=，
∴=，
综上所述：或．
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