2024年下学期九年级期末学业质量测试试卷
数 学
时量：120分钟 总分：120分
注意事项：
1．答题前，请按要求在答题卡上填写好自己的姓名和准考证号.
2．答题时，切记答案要填在答题卡上，答在试题卷上的答案无效.
3．考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师.
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题3分，共30分）：
1．的值是 ( )
A. 1 B. C. D.
2．已知点在反比例函数的图象上，则k的值是 （ ）
A. B． C． D．
3．已知关于x的一元二次方程有一根为x=0，则a的值为 ( )
A. B． C． D．
4．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
1.2 0.4 1.8 0.4
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，
应选择 （ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5． 对于二次函数，下列结论中不正确的是 （ ）
A．其图象的对称轴是 B．其图象的顶点坐标是
C．当时，y有最大值是 D．当x>1时，y随x的增大而增大
6．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比。如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是 （ ）
A. 20米 B. 18米 C. 16米 D. 15米
7．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC=128°，则∠CDE等于 （ ）
A．64° B．60° C．54° D．52°
8．如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点。若AC=12，则DH的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
9．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是 （ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数。小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当时，函数值y随x值的增大而增大；④当时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4。其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）：
11．某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减少。写出一个满足条件的k的值是 。
12．已知线段AB是⊙O的直径，不与A、B重合的点C在⊙O上，则∠ACB= ________ 。
13．两个相似多边形的相似比为1:2，则它们的周长的比为________。
14．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，
则 。
15．若 ，则 。
16．在平面直角坐标系中，已知点，以坐标原点O为位似中心，将△ABO放大为原图形的2倍，则点B的对应点的坐标是 。
17．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为 s。
18．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则__。
三、解答题（本大题共8小题，共66分）：
19．（本小题满分6分）计算：
20．（本小题满分8分，每小题4分）解下列方程：
（1）. （2）.
21．（本小题满分8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD。
（1）求证：AB＝BC；
（2）若∠A＝66°，求∠ADB的度数。
22.（本小题满分8分）A、B、C三名大学生竞选院校学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行了统计，如表和图1：
（1）请直接写出竞选人A的口试成绩并补全图1中的空缺部分。（2分）
（2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图2（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），求B在扇形统计图中所占的圆心角的度数。（2分）
（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选。（4分）
23．（本小题满分8分）如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交CD于G点。
（1）求证：△BGC∽△DGF；
（2）若点G是DC中点，求的值。
24．（本小题满分8分）某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前。如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像AB的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE=6m，求雕像AB的高度。（结果保留根号）
25．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，坐标原点O是线段CH的中点。
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AHB的面积。
26.（本小题满分10分）如图，抛物线与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B 的坐标为。
（1） 求此抛物线的解析式；
（2） 点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x 轴的垂线交直线BC于点D, 过点P作y 轴的垂线，垂足为点E。
①请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由；
②连接OD，当△OCD为等腰三角形时，求点D的坐标。2024 年下学期九年级期末学业质量测试答案
数 学
一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3分，满分 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D C B A C B D
二、填空题（本题共 8个小题，每小题 3分，满分 24 分）
3
11、任意正数； 12、90° ； 13、1:2 14、 ；
4
10 12
15、 ； 16、（8,4）或（ 8, 4）； 17、4 ； 18、
11 25
三、解答题（本大题共 8小题，共 66 分）
19．（本小题满分 6 分）
2 4 2解：原式= 2 2 2 ………6 分
2
20. （本小题满分 8 分）
解：（1） x1 x2 4 ………4 分
（2） x1 2, x2 3 ………4 分
21．（本小题满分 8 分）
︵ ︵
(1)证明：∵DB 平分∠ADC，∴AB＝BC。 ∴AB＝CD。 ………3 分
(2)解：∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCD＝180°－∠A＝
114°。 ………5 分
︵ ︵ 1
∵OC⊥BD，∴BC＝CD，∴BC＝CD，∴∠BDC＝ ×(180°－114°)＝
2
33°。 ………7 分
2024 年下学期九年级期末学业质量测试答案 数学 第 1 页 共 4 页
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∵DB 平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝33°。 ………8 分
22.（本小题满分 8 分）
解：（1）竞选人 A 的口试成绩为 90 分，图略。 ………2 分
（2）B 在扇形统计图中所占的圆心角的度数为 40% 360 144 ………4 分
85 4（3）A 的成绩为 90 3 300 35% 3 92.5分 ………5 分
10 10 10
4
B 的成绩为95 80 3 300 40% 3 98分 ………6 分
10 10 10
90 4 3C 的成绩为 85 300 25% 3 84分 ………7 分
10 10 10
根据三位候选人的最后得分可知 B 能当选。 ………8 分
23．（本小题满分 8 分）
证明：（1）∵四边形 ABCD 为正方形，BF⊥DE，∴∠BCG=∠DFG=90°
又∵∠BGC=∠DGF ∴ △BGC∽△DGF ………4 分
（2）由∠DCE=∠DFG=90°及∠CDE=∠FDG可得△DCE∽△DFG， ………5分
又由（1）已证得△BGC∽△DGF 及点 G 是 DC 中点可得
GF DF DF 1 BC
CE DC 2DG 2 BG
设 BC=2a，则 CG=a。于是在Rt BCG中，BG BC 2 CG2 4a2 a2 5a
GF 1 BC 1 2a 5
故 ………8 分
CE 2 BG 2 5a 5
24.（本小题满分 8 分）
解：设 DC=xm，依题意可得：
在Rt ADC，Rt CDB和Rt ADE中， ACD 60 , DCB 45 , AED 30 ，
DE=6m ………2 分
于是，AD DC tan ACD 3x,DB DC x, AD DE tan AED 2 3
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………5 分
由 3x 2 3得x 2
AB AD DB (2 3 2)m ………7 分
答：雕像 AB 的高为 (2 3 2)m。 ………8 分
25.（本小题满分 10 分）
k
解 :(1) 由 题 意 可 得 8 得k 16 ∴ 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为
2
y 16 ………2 分
x
由已知可得点 C 的坐标为 (2,0) ，将 A，C 两点的坐标代入 y ax b
中， ………3 分
2a b 8 a 2
得 y 2x 4
2a b 0
b 4
故所求反比例函数和一次函数的表达式分别为 y 16 和y 2x 4
x
………6 分
y 2x 4
x 2 x 4
(2)由 y 16
或y 8
B(4, 4) ………8 分
x
y 4
S AHB S
1
AHC S BHC 4 (8 4) 24 ………10 分2
26.（本小题满分 10 分）
2
解：（1）将 A ( 1,0)，B (3,0)的坐标代入 y x2 bx c
3
2
b c 0 b 4 2 4
得 3 3 y x2 x 2 ………3 分
2
9
3 3
3b c 3 c 2
3
（2）由（1）可得 C 的坐标为（0,2）,则直线 BC 的解析式可设为 y mx 2．
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将 B (3,0) 2的坐标代入 y mx 2 可得 m 即直线 BC 的解析式可设为
3
y 2 x 2 ………4 分
3
1 设 P(x, 2 4 2 x2 x 2)(0 x 3) ， 则 D(x, x 2),E(0,2)
3 3 3
2PD PE 2 4 2 4 4于是 2 ( x
2 x 2) ( x 2) x x
2 5x (x 15 75 )2
3 3 3 3 3 8 16
15
当x 时，2PD PE 75 15 69取得最大值 ，此时点P的坐标是（ ， ）………7分
8 16 8 32
13 8 13
2 由已知及勾股定理可求得：OC 2,OD2 x2 x 4,DC 2 x2
9 3 9
△OCD 为等腰三角形时有三种情况，即：
OC OD 13 8 24当 时，即4 x2 x 4解得x 或x 0(舍去)
9 3 13
24 10
此时符合条件的D点坐标为（ ， ）
13 13
13 6 13 6 13
当OC CD时，即4 x2解得x 或x (舍去)
9 13 13
D 6 13 26 4 13此时符合条件的 点坐标为（ ， ）
13 13
当OD CD 4 8 3时，即 x解得x
3 2
3
此时符合条件的D点坐标为（ ，1）
2
D 24 10 6 13 26 4 13 3综上，当 点坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ，1）时， OCD为等腰三角形。
13 13 13 13 2
………10 分
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