浙江省诸暨市2024届高三适应性考试（三模）数学试题
1．（2024高三下·诸暨模拟）已知抛物线 ，则其焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．4
2．（2024高三下·诸暨模拟）若关于的不等式的解集为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024高三下·诸暨模拟）有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ）
A．第75百分位数 B．平均数
C．极差 D．众数
4．（2024高三下·诸暨模拟）在的展开式中，含项的系数是10，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．（2024高三下·诸暨模拟）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三下·诸暨模拟）已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则曲线的离心率
B．若，则曲线的离心率
C．若曲线上恰有两个不同的点，使得，则
D．若，则曲线上存在四个不同的点，使得
7．（2024高三下·诸暨模拟）已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（ ）
A．为奇函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
8．（2024高三下·诸暨模拟）设，已知，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三下·诸暨模拟）若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高三下·诸暨模拟）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（ ）
A．
B．
C．外接圆圆心的轨迹方程为
D．重心的轨迹方程为
11．（2024高三下·诸暨模拟）已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ）
A．的值可以取 B．的值可以取
C．的值关于单调递减 D．
12．（2024高三下·诸暨模拟）若复数满足：，则复数的虚部为 ．
13．（2024高三下·诸暨模拟）记为正项数列的前项积，已知，则 ； ．
14．（2024高三下·诸暨模拟）若正四面体的棱长为1，以三个侧面为底面向外作三个正四面体，，，则外接圆的半径是 ．
15．（2024高三下·诸暨模拟）已知函数的所有正零点构成递增数列．
（1）求函数的周期和最大值；
（2）求数列的通项公式及前项和．
16．（2024高三下·诸暨模拟）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点是的中点，．
（1）求证：为三棱锥外接球的球心；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时的值．
17．（2024高三下·诸暨模拟）已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．
（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
（2）若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．
18．（2024高三下·诸暨模拟）如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行.
（1）求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率；
（2）在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为，求的分布列及其数学期望；
（3）设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用表示）.
19．（2024高三下·诸暨模拟）若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．
（1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；
（2）已知函数，设集合．
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．
证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意，抛物线 ，即 ，解得 ，
即焦点到准线的距离是
故答案为：B
【分析】 由抛物线方程求得焦点坐标与准线方程，即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：、是方程的两个根，则，
解得：，.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用根与系数的关系求解即可.
3．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意可得：样本数据的平均数为；
极差为；众数为3；，则该组数据的第75百分位数为5；
，综上，第75百分位数最大.
故答案为：A.
【分析】分别计算第75百分位数、平均数、极差、众数，比较大小判断即可.
4．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；二项展开式
【解析】【解答】解：二项式展开式中含的项是，即，
则.
故答案为：C.
【分析】根据二项式的特征写出含的项，求得，再根据对数的运算性质求解即可.
5．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为非零向量，满足，所以，
即，则，所以，
则在方向上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用向量的模长关系求得，再根据投影向量的定义求解即可.
6．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A、当时，曲线：表示椭圆，离心率，故A正确；
B、当时，曲线：表示双曲线，离心率，故B正确；
C、 若曲线上恰有两个不同的点， 使得，则曲线为椭圆，且 ，若焦点在上，则，
解得；若焦点在上，则，解得，即符合条件的还可以是8，故C错误；
D、当时，则曲线是焦点在x上的双曲线，则，
以线段为直径的圆与双曲线有4个交点，即符合条件的点有4个，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据曲线方程，结合椭圆、双曲线的性质逐项分析判断即可.
7．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： A、因为函数满足：对任意实数，，都有成立，
所以令，则，，所以，
令，则，
即，又，所以关于对称，
所以关于对称，故A错误；
B、关于对称，故B错误；
C、由A可知关于对称，故C错误；
D、由A可知关于对称，故为奇函数，则为偶数，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，令，可得，令，可得，可得关于对称，逐项判断即可.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：由，可得，则，
故，
由于，故.
故答案为：C.
【分析】根据题意得到，推出，即可求解.
9．【答案】A,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：A、由，可得，解得，故A正确；
B、由A可知，结合，解得，故B错误；
C、由A可得，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先根据同角三角函数关系求得正切值，再根据二倍角计算求解即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径为，且点在圆内，
A、，根据圆的性质，可得，
即，即，所以的最大值为，故A正确；
B、因为，当线段的中垂线经过点时，取得最值，如图所示：
即时，，
时，可得，故B正确；
C、设的外接圆的圆心为，则，
则有，可得，
即，故C正确；
D、设的重心为点，则，
由C项知的外接圆的圆心点的轨迹方程为，
且点为的中点，即，所以，
即，即，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据圆的性质即可判断A；当线段的中垂线经过点时，此时取得最值，结合圆的性质即可判断B；设的外接圆的圆心为，根据，求得轨迹方程即可判断C；设的重心为点，结合C项，求得其轨迹方程即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，恒成立，则函数在上单调递减，不可能有两个零点，故；
令，解得，
当，；当时，；
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且函数的最小值为；
A、当时，，
，故，
因为在上单调递增，所以，则，即，
当时，；且时，；
故在及各有一个零点，故A正确；
B、当时，于是，
故在上无零点，故B错误；
C、，即，可视为两函数与的交点横坐标，
当增加，直线斜率变小，同时向下平移，故收缩变小，故C正确；
D、因为为函数的零点，则，
不妨设，
则，，
又，
所以，
设，
则，令，，
则，所以，
所以函数在上单调递减，所以当时，，
即，即，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域以及导函数，利用导数判断函数的单调性求最值，对和，分别求极值，判断极值的符号，结合函数零点存在性的判定方法求零点个数即可判断AB；把转合成，数形结合，通过函数与的交点，分析的值关于关系，即可判断C；先根据，推出，在根据，即可判断D.
12．【答案】1
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，则，
因为复数满足：， 所以，即，则，
即，解得.
故答案为：.
【分析】设复数，再利用复数的运算法则，结合复数相等的充要条件求解即可.
13．【答案】2；2025
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解：令，则，因为数列的各项均为正，所以；
由，可得，
即，可得；
所以数列是以为首项，公差为的等差数列；则，
故.
故答案为：2；2025.
【分析】由数列的前项积，利用赋值法令求得，将表达式化简可得数列是等差数列，即可求解.
14．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；正弦定理
【解析】【解答】解：将正四面体 补成正方体，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ，
则 的中心为，且为 的中点，则，
的中心为，且为的中点，则，
的中心为，且为的中点，则，
，，，
则等边外接圆的半径是 .
故答案为： .
【分析】将正四面体补成正方体，建立空间直角坐标系，结合两点间距离公式和正弦定理求出的外接圆半径即可.
15．【答案】（1）解：，
函数的周期，最大值．
（2）解：令，解得，
函数的所有正零点为，
，，因此是首项为，公差为1的等差数列；
则，
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的性质求周期以及最大值即可；
（2）令，求得，根据题意确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式.
16．【答案】（1）证明：∵是正三角形 ，点E是BC的中点，
∴为的中线，
又∵，
∴为正的中心，
中，，
，即为三棱锥外接球的球心.
（2）解：是正三角形，点是的中点，
．
又平面平面，平面平面，平面，
平面
为直线与平面所成的角
，，，
∴sin
∴直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：在平面中，过点作，，垂足分别为，，
设，则，，．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，．
设平面的法向量为，
则，令，则x1=y，z1=0，∴故，
设平面的法向量为，
则，令，则x2=0，y2=2，∴．
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
，
当时，，此时余弦值最大，
∴ ，
∴当时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大．
【知识点】球内接多面体；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）根据已知条件和正三角形的性质可知OA=OB=OD，利用勾股定理可求得OD=OC，即，即证得为三棱锥外接球的球心 ；
（2）根据面面垂直的性质可证得平面，即为直线与平面所成的角，进而求出的值即可求出 直线与平面所成角的正弦值 ；
（3）建立空间直角坐标系，分别求出 平面与平面 的法向量，利用向量法求出锐二面角的余弦值再结合最值可得参数 .
（1）为的中线，且，则为正的中心，
又中，，
，即为三棱锥外接球的球心
（2）是正三角形，点是的中点，．
又平面平面，平面平面，平面，
平面
为直线与平面所成的角
又，，，
即直线与平面所成角的正弦值为
（3）在平面中，过点作，，垂足分别为，，
设，则，，．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，．
设平面的法向量为，
由，得，令，故，
设平面的法向量为，
则，即，令，则．
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
，
当时，，此时余弦值最大，
即当时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大．
17．【答案】（1）解：由题意知直线斜率为1，则直线的倾斜角，
设直线、的倾斜角分别为、（、），
直线、关于直线对称，，
则．
（2）解：联立，可得，则双曲线在点处的切线方程为．
不妨设直线为，，，
联立得，
整理得，将等式看作关于的方程：
两根之和，两根之积，
而其中，
由（1）得，，
所以直线为，过定点，
又因为双曲线在点处的切线方程为，过点，所以，
则．
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1）设直线、的倾斜角分别为、（、），则，再利用斜率与倾斜角的关系，结合诱导公式求解即可；
（2）联立求得点的坐标，进而得到双曲线在点处的切线方程为，不妨设直线为，与双曲线方程联立，结合韦达定理和三角形面积公式求解即可.
18．【答案】（1）解：记事件“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，
“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”，
则.
因此， 电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率为.
（2）解：记事件“电子蛐蛐停止爬行时，爬行长度不超过4米”
的可能取值为2，3，4，根据条件概率的知识，可得的分布列为
，
，
，
用表格表示的分布列为：
2 3 4
．
（3）解：（，）①
②
②－①得：
，
【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1） 电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点 有S-A-S，S-B-S，S-C-S，S-D-S4种情况，根据独立事件概率公式计算即可求得电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率 ；
（2）先分别求出电子蛐蛐爬行3米和4米后恰好回到顶点的概率，写出 的所有可能的取值，结合条件概率先求离散型随机变量的分布列，再求出数学期望 ；
（3）结合等比数列的通项公式求出即可.
（1）记事件“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，
“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，
“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”，
则
（2）记事件“电子蛐蛐停止爬行时，爬行长度不超过4米”
的可能取值为2，3，4，根据条件概率的知识，可得的分布列为
，
，
，
用表格表示的分布列为：
2 3 4
．
（3）（，）①
②
②－①得：
，
19．【答案】（1）解：由题意，，，
因为恒成立，所以在上单调递增，的值域为，
因此只需，
所以，即，
则的取值集合为．
（2）解：（i）记函数，
则，
由得或；由得；
所以函数在和单调递增，在单调递减．
其中，因此当时，，不存在零点；
，而，在单调递减，
由零点存在定理可知存在唯一的使得；
当时，，不存在零点．
综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2．
（ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”，
则对，，
当时，由（i）得在单调递增，
，即，不满足要求；
当时，由（i）得在单调递增，
，
即，也不满足要求；
当时，闭区间，而显然在单调递增，
，
由（i）可得，，
，满足要求．
综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
【知识点】集合的表示方法；集合中元素的个数问题；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据“封闭区间”的定义，对函数求导并求出其值域解不等式可得的取值集合；
（2）（i）对求导得出函数的单调性，利用零点存在定理即可求得集合中元素的个数为2个；
（ii）根据区间长度的定义，对参数进行分类讨论得出的所有可能的“封闭区间”即可证明.
浙江省诸暨市2024届高三适应性考试（三模）数学试题
1．（2024高三下·诸暨模拟）已知抛物线 ，则其焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意，抛物线 ，即 ，解得 ，
即焦点到准线的距离是
故答案为：B
【分析】 由抛物线方程求得焦点坐标与准线方程，即可求出答案.
2．（2024高三下·诸暨模拟）若关于的不等式的解集为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：、是方程的两个根，则，
解得：，.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用根与系数的关系求解即可.
3．（2024高三下·诸暨模拟）有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ）
A．第75百分位数 B．平均数
C．极差 D．众数
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意可得：样本数据的平均数为；
极差为；众数为3；，则该组数据的第75百分位数为5；
，综上，第75百分位数最大.
故答案为：A.
【分析】分别计算第75百分位数、平均数、极差、众数，比较大小判断即可.
4．（2024高三下·诸暨模拟）在的展开式中，含项的系数是10，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；二项展开式
【解析】【解答】解：二项式展开式中含的项是，即，
则.
故答案为：C.
【分析】根据二项式的特征写出含的项，求得，再根据对数的运算性质求解即可.
5．（2024高三下·诸暨模拟）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为非零向量，满足，所以，
即，则，所以，
则在方向上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用向量的模长关系求得，再根据投影向量的定义求解即可.
6．（2024高三下·诸暨模拟）已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则曲线的离心率
B．若，则曲线的离心率
C．若曲线上恰有两个不同的点，使得，则
D．若，则曲线上存在四个不同的点，使得
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A、当时，曲线：表示椭圆，离心率，故A正确；
B、当时，曲线：表示双曲线，离心率，故B正确；
C、 若曲线上恰有两个不同的点， 使得，则曲线为椭圆，且 ，若焦点在上，则，
解得；若焦点在上，则，解得，即符合条件的还可以是8，故C错误；
D、当时，则曲线是焦点在x上的双曲线，则，
以线段为直径的圆与双曲线有4个交点，即符合条件的点有4个，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据曲线方程，结合椭圆、双曲线的性质逐项分析判断即可.
7．（2024高三下·诸暨模拟）已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且，则（ ）
A．为奇函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解： A、因为函数满足：对任意实数，，都有成立，
所以令，则，，所以，
令，则，
即，又，所以关于对称，
所以关于对称，故A错误；
B、关于对称，故B错误；
C、由A可知关于对称，故C错误；
D、由A可知关于对称，故为奇函数，则为偶数，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，令，可得，令，可得，可得关于对称，逐项判断即可.
8．（2024高三下·诸暨模拟）设，已知，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；数列的函数特性；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：由，可得，则，
故，
由于，故.
故答案为：C.
【分析】根据题意得到，推出，即可求解.
9．（2024高三下·诸暨模拟）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：A、由，可得，解得，故A正确；
B、由A可知，结合，解得，故B错误；
C、由A可得，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先根据同角三角函数关系求得正切值，再根据二倍角计算求解即可.
10．（2024高三下·诸暨模拟）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（ ）
A．
B．
C．外接圆圆心的轨迹方程为
D．重心的轨迹方程为
【答案】A,B,C
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径为，且点在圆内，
A、，根据圆的性质，可得，
即，即，所以的最大值为，故A正确；
B、因为，当线段的中垂线经过点时，取得最值，如图所示：
即时，，
时，可得，故B正确；
C、设的外接圆的圆心为，则，
则有，可得，
即，故C正确；
D、设的重心为点，则，
由C项知的外接圆的圆心点的轨迹方程为，
且点为的中点，即，所以，
即，即，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据圆的性质即可判断A；当线段的中垂线经过点时，此时取得最值，结合圆的性质即可判断B；设的外接圆的圆心为，根据，求得轨迹方程即可判断C；设的重心为点，结合C项，求得其轨迹方程即可判断D.
11．（2024高三下·诸暨模拟）已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（ ）
A．的值可以取 B．的值可以取
C．的值关于单调递减 D．
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，恒成立，则函数在上单调递减，不可能有两个零点，故；
令，解得，
当，；当时，；
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且函数的最小值为；
A、当时，，
，故，
因为在上单调递增，所以，则，即，
当时，；且时，；
故在及各有一个零点，故A正确；
B、当时，于是，
故在上无零点，故B错误；
C、，即，可视为两函数与的交点横坐标，
当增加，直线斜率变小，同时向下平移，故收缩变小，故C正确；
D、因为为函数的零点，则，
不妨设，
则，，
又，
所以，
设，
则，令，，
则，所以，
所以函数在上单调递减，所以当时，，
即，即，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域以及导函数，利用导数判断函数的单调性求最值，对和，分别求极值，判断极值的符号，结合函数零点存在性的判定方法求零点个数即可判断AB；把转合成，数形结合，通过函数与的交点，分析的值关于关系，即可判断C；先根据，推出，在根据，即可判断D.
12．（2024高三下·诸暨模拟）若复数满足：，则复数的虚部为 ．
【答案】1
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，则，
因为复数满足：， 所以，即，则，
即，解得.
故答案为：.
【分析】设复数，再利用复数的运算法则，结合复数相等的充要条件求解即可.
13．（2024高三下·诸暨模拟）记为正项数列的前项积，已知，则 ； ．
【答案】2；2025
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解：令，则，因为数列的各项均为正，所以；
由，可得，
即，可得；
所以数列是以为首项，公差为的等差数列；则，
故.
故答案为：2；2025.
【分析】由数列的前项积，利用赋值法令求得，将表达式化简可得数列是等差数列，即可求解.
14．（2024高三下·诸暨模拟）若正四面体的棱长为1，以三个侧面为底面向外作三个正四面体，，，则外接圆的半径是 ．
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；正弦定理
【解析】【解答】解：将正四面体 补成正方体，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ，
则 的中心为，且为 的中点，则，
的中心为，且为的中点，则，
的中心为，且为的中点，则，
，，，
则等边外接圆的半径是 .
故答案为： .
【分析】将正四面体补成正方体，建立空间直角坐标系，结合两点间距离公式和正弦定理求出的外接圆半径即可.
15．（2024高三下·诸暨模拟）已知函数的所有正零点构成递增数列．
（1）求函数的周期和最大值；
（2）求数列的通项公式及前项和．
【答案】（1）解：，
函数的周期，最大值．
（2）解：令，解得，
函数的所有正零点为，
，，因此是首项为，公差为1的等差数列；
则，
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的性质求周期以及最大值即可；
（2）令，求得，根据题意确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式.
16．（2024高三下·诸暨模拟）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点是的中点，．
（1）求证：为三棱锥外接球的球心；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时的值．
【答案】（1）证明：∵是正三角形 ，点E是BC的中点，
∴为的中线，
又∵，
∴为正的中心，
中，，
，即为三棱锥外接球的球心.
（2）解：是正三角形，点是的中点，
．
又平面平面，平面平面，平面，
平面
为直线与平面所成的角
，，，
∴sin
∴直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：在平面中，过点作，，垂足分别为，，
设，则，，．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，．
设平面的法向量为，
则，令，则x1=y，z1=0，∴故，
设平面的法向量为，
则，令，则x2=0，y2=2，∴．
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
，
当时，，此时余弦值最大，
∴ ，
∴当时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大．
【知识点】球内接多面体；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）根据已知条件和正三角形的性质可知OA=OB=OD，利用勾股定理可求得OD=OC，即，即证得为三棱锥外接球的球心 ；
（2）根据面面垂直的性质可证得平面，即为直线与平面所成的角，进而求出的值即可求出 直线与平面所成角的正弦值 ；
（3）建立空间直角坐标系，分别求出 平面与平面 的法向量，利用向量法求出锐二面角的余弦值再结合最值可得参数 .
（1）为的中线，且，则为正的中心，
又中，，
，即为三棱锥外接球的球心
（2）是正三角形，点是的中点，．
又平面平面，平面平面，平面，
平面
为直线与平面所成的角
又，，，
即直线与平面所成角的正弦值为
（3）在平面中，过点作，，垂足分别为，，
设，则，，．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，．
设平面的法向量为，
由，得，令，故，
设平面的法向量为，
则，即，令，则．
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
，
当时，，此时余弦值最大，
即当时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大．
17．（2024高三下·诸暨模拟）已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．
（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
（2）若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．
【答案】（1）解：由题意知直线斜率为1，则直线的倾斜角，
设直线、的倾斜角分别为、（、），
直线、关于直线对称，，
则．
（2）解：联立，可得，则双曲线在点处的切线方程为．
不妨设直线为，，，
联立得，
整理得，将等式看作关于的方程：
两根之和，两根之积，
而其中，
由（1）得，，
所以直线为，过定点，
又因为双曲线在点处的切线方程为，过点，所以，
则．
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1）设直线、的倾斜角分别为、（、），则，再利用斜率与倾斜角的关系，结合诱导公式求解即可；
（2）联立求得点的坐标，进而得到双曲线在点处的切线方程为，不妨设直线为，与双曲线方程联立，结合韦达定理和三角形面积公式求解即可.
18．（2024高三下·诸暨模拟）如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行.
（1）求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率；
（2）在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为，求的分布列及其数学期望；
（3）设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用表示）.
【答案】（1）解：记事件“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，
“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”，
则.
因此， 电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率为.
（2）解：记事件“电子蛐蛐停止爬行时，爬行长度不超过4米”
的可能取值为2，3，4，根据条件概率的知识，可得的分布列为
，
，
，
用表格表示的分布列为：
2 3 4
．
（3）解：（，）①
②
②－①得：
，
【知识点】等比数列的通项公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1） 电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点 有S-A-S，S-B-S，S-C-S，S-D-S4种情况，根据独立事件概率公式计算即可求得电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率 ；
（2）先分别求出电子蛐蛐爬行3米和4米后恰好回到顶点的概率，写出 的所有可能的取值，结合条件概率先求离散型随机变量的分布列，再求出数学期望 ；
（3）结合等比数列的通项公式求出即可.
（1）记事件“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，
“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，
“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”，
则
（2）记事件“电子蛐蛐停止爬行时，爬行长度不超过4米”
的可能取值为2，3，4，根据条件概率的知识，可得的分布列为
，
，
，
用表格表示的分布列为：
2 3 4
．
（3）（，）①
②
②－①得：
，
19．（2024高三下·诸暨模拟）若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．
（1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；
（2）已知函数，设集合．
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．
证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
【答案】（1）解：由题意，，，
因为恒成立，所以在上单调递增，的值域为，
因此只需，
所以，即，
则的取值集合为．
（2）解：（i）记函数，
则，
由得或；由得；
所以函数在和单调递增，在单调递减．
其中，因此当时，，不存在零点；
，而，在单调递减，
由零点存在定理可知存在唯一的使得；
当时，，不存在零点．
综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2．
（ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”，
则对，，
当时，由（i）得在单调递增，
，即，不满足要求；
当时，由（i）得在单调递增，
，
即，也不满足要求；
当时，闭区间，而显然在单调递增，
，
由（i）可得，，
，满足要求．
综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
【知识点】集合的表示方法；集合中元素的个数问题；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）根据“封闭区间”的定义，对函数求导并求出其值域解不等式可得的取值集合；
（2）（i）对求导得出函数的单调性，利用零点存在定理即可求得集合中元素的个数为2个；
（ii）根据区间长度的定义，对参数进行分类讨论得出的所有可能的“封闭区间”即可证明.
