贵州省遵义市2024届高三第三次质量监测数学试卷
1．（2024高三下·遵义模拟）已知复数满足，则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由得，
所以.
故答案为：D.
【分析】 本题考查复数的除法运算，共轭复数的定义.先利用复数的除法运算求出复数，再利用共轭复数的概念可求出.
2．（2024高三下·遵义模拟）集合，，求（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由可得，则，
于是.
故答案为：C.
【分析】本题考查集合的交集运算.先解一元二次不等式，再通过列举法可求出集合，再利用集合交集定义可求出答案.
3．（2024高三下·遵义模拟）在矩形中，，，M是中点，且，则的值为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示，因为， ， 且，
所以
故选：A.
【分析】将，分别用表示，再运用向量数量积的运算律计算即可求得的值 .
4．（2024高三下·遵义模拟）的展开式中的系数为（ ）
A．8 B．12 C．10 D．15
【答案】A
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因，
的通项公式为，
当时，，则得的展开式中的系数为；
当时，，则得的展开式中的系数为.
故的展开式中的系数为.
故答案为：A.
【分析】本题考查二项式的通项公式.先将所求两个二项式乘积式拆成两个二项式的差，再求出的通项公式，令和依次求出的系数和的系数，据此可求出展开式中的系数.
5．（2024高三下·遵义模拟）在第29个世界读书日活动到来之际，遵义市某高中学校为了了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，样本的平均数为4，方差为5；乙同学抽取一个容量为8的样本，样本的平均数为7，方差为10；将甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本方差是（结果精确到0.01）（ ）
A．5.34 B．6.78 C．9.44 D．11.46
【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由甲同学的样本的平均数，方差分别为，
乙同学的样本的平均数，方差分别为，
则合在一起后的样本平均数，
则合在一起后的样本方差
.
故答案为：C.
【分析】本题考查分层抽样的方差计算公式.先利用样本平均数计算公式和样本方差计算公式求出和，再利用加权平均数公式求出，再利用分层抽样的方差计算公式可求出.
6．（2024高三下·遵义模拟）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理
【解析】【解答】解：因为，
由正弦定理得，
即，
又，所以，
又，所以，
在中，D为的中点，则，
则，
即，解得（舍去），
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查利用正弦定理解三角形.先利用正弦定理化边为角求出，据此可反推出角，再利用三角形的中线向量公式可得，对式子进行平方，应用平面向量的数量积公式进行化简可列出方程，解方程可求出，再利用三角形的面积公式进行计算可求出答案.
7．（2024高三下·遵义模拟）已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：过作于点N，如图，
设，
因为直线l的倾斜角为，，
所以在中，，
由双曲线的定义得，，
所以，
所以，
因为，
所以为等腰三角形，
又因为 ，
所以N为AB的中点，
所以，
可得，
因此，
在中，，
所以，即，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意过作于点N，设，利用双曲线的定义结合图形求解出，据此可推出为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出，进而可推出，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出的关系，进而求出双曲线的离心率.
8．（2024高三下·遵义模拟）设，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，，
令，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，即，所以，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，即，
令，则，
所以函数在上单调递减，
所以，即，
所以，即，
综上所述，.
故答案为：D.
【分析】本题考查函数的单调性，利用导函数研究函数的单调性.通过变形化简，进而构造函数，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性可比较；再构造函数，求出导函数，利用单调性进行判断可得：，再令，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性可比较，进而可判断出三个数的大小.
9．（2024高三下·遵义模拟）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A，，
所以为奇函数，
又因为，
所以在区间上单调递增，A正确；
B，，
所以为奇函数，
但是在区间上不是单调递增，B错误 ；
C，，
所以为奇函数，
又因为，
所以在区间上单调递增，C正确；
D，，
所以为偶函数，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题考查函数的单调性和函数的奇偶性.先求出，判断是否满足，据此可排除D选项；对A选项求出导函数可推出，据此可推出单调性，判断A选项，利用正切函数的单调性可判断B选项；对D选项求出导函数可得：，据此可推出单调性，判断D选项.
10．（2024高三下·遵义模拟）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：A，，A正确；
B，因事件可理解为，在确定产品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品，
故有，B错误；
C，
，C正确；
D，，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题考查全概率的计算公式，条件概率的计算公式，相互独立事件的概率公式.先利用独立事件的乘法公式进行计算可判断A选项；根据缩小样本空间的方法可求出概率，判断B选项；利用全概率公式计算公式进行计算可判断C选项；利用贝叶斯概率公式进行计算可判断D选项.
11．（2024高三下·遵义模拟）关于函数，有以下四个结论，其中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．在上为减函数
C．方程的所有根之和为0
D．若函数在上有且仅有5个零点，则
【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：A.因为，
所以函数为偶函数，
当时，，
如图，作出函数的图象，
由图可知，函数不是周期函数，A错误；
B.函数在上为减函数，B正确；
C，显然是方程，
当时，则方程的根即为函数交点的横坐标，
因为函数是偶函数，函数是奇函数，
所以两个函数的交点不具有对称性，
所以方程的所有根之和显然不为，C错误；
D，当时，，
因为函数在上有且仅有5个零点，
所以，所以，D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查函数的周期性，单调性，函数与方程的综合应用，函数的零点.通过判断奇偶性可得：函数为偶函数，再求出当时的函数解析式，据此可作出函数的图象，观察函数图象可找出周期和单调区间，据此可判断A选项和B选项；当时，则方程的根即为函数交点的横坐标，再根据两个函数的对称性可判断C选项；根据函数的图象，根据题意可得，据此可求出的取值范围.
12．（2024高三下·遵义模拟）已知，则在处的切线方程是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
所以，
故切线为，即.
故答案为：.
【分析】本题考查曲线的切线方程.先求出导函数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，再利用点斜式可求出切线方程.
13．（2024高三下·遵义模拟）如图，是南京博物馆展示的一件名为“陶三棱锥”的文物，该文物的出土，为研究吴越文化提供了重要价值，博物馆准备为该文物制作一个透明的球形玻璃外罩进行保护供游客观赏研究，经测量该文物的所有棱长都为分米，则制作的球形玻璃外罩（玻璃外罩厚度忽略不计）的直径至少为 分米．
【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示，三棱锥A-BCD的棱长都为，
作平面，垂足为，易知为的重心，
∴，
由勾股定理可知，三棱锥的高为，
设三棱锥的外接球半径为，
由图可知，，解得，
∴该三棱锥的外接球的直径为，
因此，制作的球形玻璃外罩（玻璃外罩厚度忽略不计）的直径至少为分米.
故答案为：.
【分析】作平面，垂足为，根据正四面体的性质求出CG的值，再利用勾股定理求出三棱锥的外接球的半径，进而求出直径即可.
14．（2024高三下·遵义模拟）已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是 ．
【答案】
【知识点】圆的切线方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，
则以为直径的圆的方程为，
与圆的方程相减得，
即是过切点的直线方程，
则，所以，
又因为点到直线的距离，
所以，
又因为在点P在椭圆上，
所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
即面积的最小值是.
故答案为：.
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可求出直线的方程，进而可求得的坐标，利用两点间的距离公式可求出，利用点到直线的距离公式可求出点到直线的距离，据此可表示出的面积，结合在点P在椭圆上可求出的取值范围，进而求出的面积最小值.
15．（2024高三下·遵义模拟）已知数列的前n项和为，，且点在直线上．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：由题意，，当时，，
因①，当时，②，
由①-②可得，，即，
又因时，，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，则.
（2）解：由（1）可得，则，
于是，，③
，④
由③-④：，
，
，
，
则得.
【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】本题考查数列的前n项和与通项的关系，错位相减法求出数列的和.
（1）由的关系消去可推出，（）利用等比数列的定义可得数列为等比数列，利用等比数列的通项的通项公式可求出通项；
（2）利用（1）结论，利用对数的运算法则化简可得：，写出，利用错位相减法可求出.
16．（2024高三下·遵义模拟）“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，某校为了了解学生对“一带一路”的了解情况，从学校所有学生中随机抽取100名学生进行知识竞赛，满分100分，同学们竞赛成绩分布统计表如下：
成绩
人数 6 8 32 34 12 8
（1）求这100名学生知识竞赛成绩的平均数和第分位数（结果精确到0.1，同组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）为了加大对“一带一路”的宣传，提高学生对“一带一路”的知晓度，现按分层抽样的方式在成绩为的同学中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽到的学生中成绩在的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：100名学生知识竞赛成绩的平均数为，
由表可知内有46个数，估计分数段内学生成绩从低到高占24%位的数，
则，
所以，
故第分位数为77.1；
（2）解：按比例分层抽样抽取5人，成绩在，的人数分别为3人，2人，
所以X的所有可能取值为：1，2，3，
则，
，
，
则X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以X的数学期望为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；超几何分布；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，中位数的求法，百分位数的求法，超几何分布.
（1）根据频率分布表利用平均数的计算公式可求出中位数，根据百分位数的定义可列出方程，解方程可求出第分位数 ；
（2）先利用分层抽样的计算公式求出各层人数，据此可得X的所有可能取值为：1，2，3，再求出对应的概率值，列出分布列，利用数学期望计算公式可求出数学期望.
17．（2024高三下·遵义模拟）如图，在多面体中，四边形为正方形，，且，M为中点．
（1）过M作平面，使得平面与平面的平行（只需作图，无需证明）
（2）试确定（1）中的平面与线段的交点所在的位置；
（3）若平面，在线段是否存在点P，使得二面角的平面角为余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：平面MHQR即为所求的平面
（2）解：如(1)中图所示，取的中点，连接，延长交于点连接，并延长交于点，连接，取的中点，连接，
∵点M，N分别为AB，CD的中点，
∴且，
∴，∴，
又∵，∴，
∴，即，
∴点在线段上靠近点的四等分点处，
因此，（1）中的平面与线段的交点在靠近点的四等分点处.
（3）解： 如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
设AB=，则DE=2，则，
设，
∴，
设平面的法向量为，
∴，令y=1，则x=1，z=1，∴，
设平面的法向量为，
∴，令b=t，则c=t，a=1，∴，
∴，解得，
∴，
因此，在线段存在点P，使得二面角的平面角为余弦值为，.
【知识点】平面与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，延长交于点，连接并延长交于点，连接，取的中点，连接，借助相似三角形的性质以及平行四边形的性质证得平面，平面，根据面面平行的判定定理可证得平面平面，即可求得平面即为平面；
（2）利用相似三角形的性质即可求得平面与线段的交点R所在的位置 ；
（3）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB=，，分别求出平面和平面的法向量，进而求出t的值，再求出的值即可 .
（1）如图，取的中点，连接，延长交于点，
连接并延长交于点，连接，
取的中点，连接，则且，
故，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为分别为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面即为平面；
（2）又（1）得，点在线段上靠近点的四等分点处，
即（1）中的平面与线段的交点在靠近点的四等分点处；
（3）如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
设，
则故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，解得，此时，
所以存在，.
18．（2024高三下·遵义模拟）已知椭圆的左右焦点为，，P是椭圆C上的动点，的最大值为8，当时，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点，若点M，N在椭圆C上，且直线，的斜率乘积为，线段的中点G，当直线与y轴的截距为负数时，求的余弦值．
【答案】（1）解：因为P是椭圆C上的动点，所以，
又因为（当且仅当时取等号），
令，则，
故当时，，
所以，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）解：设，直线的方程为，
因为，所以点在椭圆上，
联立，消得，
则，故，
所以，
所以，
因为，所以，
同理可得，
所以，
设，则
将代入椭圆两式相减得：
，
即，所以，所以，
设与轴的负半轴得夹角为，则，故，
设与轴的正半轴的夹角为，
因为，所以，
则.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.
（1）利用基本不等式求出的最大值，结合已知条件可求出的值，再根据椭圆的通径公式可求出，据此可求出椭圆C的标准方程；
（2）设，直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，应用韦达定理可得：，据此可求出点的坐标，同理可求得的坐标，利用直线的斜率公式可求出的斜率，再利用点差法可求得的斜率，再结合的斜率可求出，进而求出，利用两角和的正弦公式可求出答案.
19．（2024高三下·遵义模拟）英国数学家泰勒（B.Taylor，1685—1731）发现了：当函数在定义域内n阶可导，则有如下公式：以上公式称为函数的泰勒展开式，简称为泰勒公式．其中，，表示的n阶导数，即连续求n次导数．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
（1）写出的泰勒展开式（至少有5项）；
（2）设，若是的极小值点，求实数a的取值范围；
（3）若，k为正整数，求k的值．
【答案】（1）解：
（2）解：∵，
，
∴，
∴，
∵是的极小值点，∴，
∴当在的附近时，，
∴，解得，
因此，a的取值范围为.
（3）解：∵，
∴，
∴，
，
即，
令，∴，∴，
由二项式定理可知
，
，
∴，即，
∴.
【知识点】利用导数研究函数的极值；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）当时，，直接代入写出的泰勒展开式
（2）先求出的泰勒展开式，从而可得，根据是的极小值点，可知，可知当时，，当时，，因此当在的附近时，，即，解不等式即可求得a的取值范围；
（3）先利用泰勒展开式求出的取值范围，再将其写成整数部分加上小数部分的形式，即，∴，进而可求得，再利用二项式定理求出的范围，即可求得k的值.
（1）当时，，
由泰勒展开式可得；
（2）因为，
，
所以，
则，
因为是的极小值点，且，
则当在的附近时，即可，
即可，所以，
综上所述，；
（3）因为，
所以，
所以，
，
即，
令，则，则，
由二项式定理可知
，
，
所以，即，
所以.
贵州省遵义市2024届高三第三次质量监测数学试卷
1．（2024高三下·遵义模拟）已知复数满足，则复数（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·遵义模拟）集合，，求（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三下·遵义模拟）在矩形中，，，M是中点，且，则的值为（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
4．（2024高三下·遵义模拟）的展开式中的系数为（ ）
A．8 B．12 C．10 D．15
5．（2024高三下·遵义模拟）在第29个世界读书日活动到来之际，遵义市某高中学校为了了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，样本的平均数为4，方差为5；乙同学抽取一个容量为8的样本，样本的平均数为7，方差为10；将甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本方差是（结果精确到0.01）（ ）
A．5.34 B．6.78 C．9.44 D．11.46
6．（2024高三下·遵义模拟）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三下·遵义模拟）已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2024高三下·遵义模拟）设，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三下·遵义模拟）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高三下·遵义模拟）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高三下·遵义模拟）关于函数，有以下四个结论，其中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．在上为减函数
C．方程的所有根之和为0
D．若函数在上有且仅有5个零点，则
12．（2024高三下·遵义模拟）已知，则在处的切线方程是 ．
13．（2024高三下·遵义模拟）如图，是南京博物馆展示的一件名为“陶三棱锥”的文物，该文物的出土，为研究吴越文化提供了重要价值，博物馆准备为该文物制作一个透明的球形玻璃外罩进行保护供游客观赏研究，经测量该文物的所有棱长都为分米，则制作的球形玻璃外罩（玻璃外罩厚度忽略不计）的直径至少为 分米．
14．（2024高三下·遵义模拟）已知点P是椭圆上除顶点外的任意一点，过点P向圆引两条切线，，设切点分别是M，N，若直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，则面积的最小值是 ．
15．（2024高三下·遵义模拟）已知数列的前n项和为，，且点在直线上．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
16．（2024高三下·遵义模拟）“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，某校为了了解学生对“一带一路”的了解情况，从学校所有学生中随机抽取100名学生进行知识竞赛，满分100分，同学们竞赛成绩分布统计表如下：
成绩
人数 6 8 32 34 12 8
（1）求这100名学生知识竞赛成绩的平均数和第分位数（结果精确到0.1，同组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）为了加大对“一带一路”的宣传，提高学生对“一带一路”的知晓度，现按分层抽样的方式在成绩为的同学中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽到的学生中成绩在的人数为X，求X的分布列和数学期望．
17．（2024高三下·遵义模拟）如图，在多面体中，四边形为正方形，，且，M为中点．
（1）过M作平面，使得平面与平面的平行（只需作图，无需证明）
（2）试确定（1）中的平面与线段的交点所在的位置；
（3）若平面，在线段是否存在点P，使得二面角的平面角为余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
18．（2024高三下·遵义模拟）已知椭圆的左右焦点为，，P是椭圆C上的动点，的最大值为8，当时，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点，若点M，N在椭圆C上，且直线，的斜率乘积为，线段的中点G，当直线与y轴的截距为负数时，求的余弦值．
19．（2024高三下·遵义模拟）英国数学家泰勒（B.Taylor，1685—1731）发现了：当函数在定义域内n阶可导，则有如下公式：以上公式称为函数的泰勒展开式，简称为泰勒公式．其中，，表示的n阶导数，即连续求n次导数．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
（1）写出的泰勒展开式（至少有5项）；
（2）设，若是的极小值点，求实数a的取值范围；
（3）若，k为正整数，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由得，
所以.
故答案为：D.
【分析】 本题考查复数的除法运算，共轭复数的定义.先利用复数的除法运算求出复数，再利用共轭复数的概念可求出.
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由可得，则，
于是.
故答案为：C.
【分析】本题考查集合的交集运算.先解一元二次不等式，再通过列举法可求出集合，再利用集合交集定义可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：如图所示，因为， ， 且，
所以
故选：A.
【分析】将，分别用表示，再运用向量数量积的运算律计算即可求得的值 .
4．【答案】A
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因，
的通项公式为，
当时，，则得的展开式中的系数为；
当时，，则得的展开式中的系数为.
故的展开式中的系数为.
故答案为：A.
【分析】本题考查二项式的通项公式.先将所求两个二项式乘积式拆成两个二项式的差，再求出的通项公式，令和依次求出的系数和的系数，据此可求出展开式中的系数.
5．【答案】C
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由甲同学的样本的平均数，方差分别为，
乙同学的样本的平均数，方差分别为，
则合在一起后的样本平均数，
则合在一起后的样本方差
.
故答案为：C.
【分析】本题考查分层抽样的方差计算公式.先利用样本平均数计算公式和样本方差计算公式求出和，再利用加权平均数公式求出，再利用分层抽样的方差计算公式可求出.
6．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理
【解析】【解答】解：因为，
由正弦定理得，
即，
又，所以，
又，所以，
在中，D为的中点，则，
则，
即，解得（舍去），
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查利用正弦定理解三角形.先利用正弦定理化边为角求出，据此可反推出角，再利用三角形的中线向量公式可得，对式子进行平方，应用平面向量的数量积公式进行化简可列出方程，解方程可求出，再利用三角形的面积公式进行计算可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：过作于点N，如图，
设，
因为直线l的倾斜角为，，
所以在中，，
由双曲线的定义得，，
所以，
所以，
因为，
所以为等腰三角形，
又因为 ，
所以N为AB的中点，
所以，
可得，
因此，
在中，，
所以，即，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意过作于点N，设，利用双曲线的定义结合图形求解出，据此可推出为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出，进而可推出，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出的关系，进而求出双曲线的离心率.
8．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：，，
令，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，即，所以，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，即，
令，则，
所以函数在上单调递减，
所以，即，
所以，即，
综上所述，.
故答案为：D.
【分析】本题考查函数的单调性，利用导函数研究函数的单调性.通过变形化简，进而构造函数，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性可比较；再构造函数，求出导函数，利用单调性进行判断可得：，再令，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性可比较，进而可判断出三个数的大小.
9．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A，，
所以为奇函数，
又因为，
所以在区间上单调递增，A正确；
B，，
所以为奇函数，
但是在区间上不是单调递增，B错误 ；
C，，
所以为奇函数，
又因为，
所以在区间上单调递增，C正确；
D，，
所以为偶函数，D错误.
故答案为：AC.
【分析】本题考查函数的单调性和函数的奇偶性.先求出，判断是否满足，据此可排除D选项；对A选项求出导函数可推出，据此可推出单调性，判断A选项，利用正切函数的单调性可判断B选项；对D选项求出导函数可得：，据此可推出单调性，判断D选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：A，，A正确；
B，因事件可理解为，在确定产品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品，
故有，B错误；
C，
，C正确；
D，，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题考查全概率的计算公式，条件概率的计算公式，相互独立事件的概率公式.先利用独立事件的乘法公式进行计算可判断A选项；根据缩小样本空间的方法可求出概率，判断B选项；利用全概率公式计算公式进行计算可判断C选项；利用贝叶斯概率公式进行计算可判断D选项.
11．【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：A.因为，
所以函数为偶函数，
当时，，
如图，作出函数的图象，
由图可知，函数不是周期函数，A错误；
B.函数在上为减函数，B正确；
C，显然是方程，
当时，则方程的根即为函数交点的横坐标，
因为函数是偶函数，函数是奇函数，
所以两个函数的交点不具有对称性，
所以方程的所有根之和显然不为，C错误；
D，当时，，
因为函数在上有且仅有5个零点，
所以，所以，D正确.
故答案为：BD.
【分析】本题考查函数的周期性，单调性，函数与方程的综合应用，函数的零点.通过判断奇偶性可得：函数为偶函数，再求出当时的函数解析式，据此可作出函数的图象，观察函数图象可找出周期和单调区间，据此可判断A选项和B选项；当时，则方程的根即为函数交点的横坐标，再根据两个函数的对称性可判断C选项；根据函数的图象，根据题意可得，据此可求出的取值范围.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
所以，
故切线为，即.
故答案为：.
【分析】本题考查曲线的切线方程.先求出导函数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，再利用点斜式可求出切线方程.
13．【答案】
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示，三棱锥A-BCD的棱长都为，
作平面，垂足为，易知为的重心，
∴，
由勾股定理可知，三棱锥的高为，
设三棱锥的外接球半径为，
由图可知，，解得，
∴该三棱锥的外接球的直径为，
因此，制作的球形玻璃外罩（玻璃外罩厚度忽略不计）的直径至少为分米.
故答案为：.
【分析】作平面，垂足为，根据正四面体的性质求出CG的值，再利用勾股定理求出三棱锥的外接球的半径，进而求出直径即可.
14．【答案】
【知识点】圆的切线方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，
则以为直径的圆的方程为，
与圆的方程相减得，
即是过切点的直线方程，
则，所以，
又因为点到直线的距离，
所以，
又因为在点P在椭圆上，
所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
即面积的最小值是.
故答案为：.
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.设，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程相减可求出直线的方程，进而可求得的坐标，利用两点间的距离公式可求出，利用点到直线的距离公式可求出点到直线的距离，据此可表示出的面积，结合在点P在椭圆上可求出的取值范围，进而求出的面积最小值.
15．【答案】（1）解：由题意，，当时，，
因①，当时，②，
由①-②可得，，即，
又因时，，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，则.
（2）解：由（1）可得，则，
于是，，③
，④
由③-④：，
，
，
，
则得.
【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】本题考查数列的前n项和与通项的关系，错位相减法求出数列的和.
（1）由的关系消去可推出，（）利用等比数列的定义可得数列为等比数列，利用等比数列的通项的通项公式可求出通项；
（2）利用（1）结论，利用对数的运算法则化简可得：，写出，利用错位相减法可求出.
16．【答案】（1）解：100名学生知识竞赛成绩的平均数为，
由表可知内有46个数，估计分数段内学生成绩从低到高占24%位的数，
则，
所以，
故第分位数为77.1；
（2）解：按比例分层抽样抽取5人，成绩在，的人数分别为3人，2人，
所以X的所有可能取值为：1，2，3，
则，
，
，
则X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以X的数学期望为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；超几何分布；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】本题考查频率分布直方图，中位数的求法，百分位数的求法，超几何分布.
（1）根据频率分布表利用平均数的计算公式可求出中位数，根据百分位数的定义可列出方程，解方程可求出第分位数 ；
（2）先利用分层抽样的计算公式求出各层人数，据此可得X的所有可能取值为：1，2，3，再求出对应的概率值，列出分布列，利用数学期望计算公式可求出数学期望.
17．【答案】（1）解：平面MHQR即为所求的平面
（2）解：如(1)中图所示，取的中点，连接，延长交于点连接，并延长交于点，连接，取的中点，连接，
∵点M，N分别为AB，CD的中点，
∴且，
∴，∴，
又∵，∴，
∴，即，
∴点在线段上靠近点的四等分点处，
因此，（1）中的平面与线段的交点在靠近点的四等分点处.
（3）解： 如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
设AB=，则DE=2，则，
设，
∴，
设平面的法向量为，
∴，令y=1，则x=1，z=1，∴，
设平面的法向量为，
∴，令b=t，则c=t，a=1，∴，
∴，解得，
∴，
因此，在线段存在点P，使得二面角的平面角为余弦值为，.
【知识点】平面与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，延长交于点，连接并延长交于点，连接，取的中点，连接，借助相似三角形的性质以及平行四边形的性质证得平面，平面，根据面面平行的判定定理可证得平面平面，即可求得平面即为平面；
（2）利用相似三角形的性质即可求得平面与线段的交点R所在的位置 ；
（3）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB=，，分别求出平面和平面的法向量，进而求出t的值，再求出的值即可 .
（1）如图，取的中点，连接，延长交于点，
连接并延长交于点，连接，
取的中点，连接，则且，
故，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为分别为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面即为平面；
（2）又（1）得，点在线段上靠近点的四等分点处，
即（1）中的平面与线段的交点在靠近点的四等分点处；
（3）如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
设，
则故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，解得，此时，
所以存在，.
18．【答案】（1）解：因为P是椭圆C上的动点，所以，
又因为（当且仅当时取等号），
令，则，
故当时，，
所以，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）解：设，直线的方程为，
因为，所以点在椭圆上，
联立，消得，
则，故，
所以，
所以，
因为，所以，
同理可得，
所以，
设，则
将代入椭圆两式相减得：
，
即，所以，所以，
设与轴的负半轴得夹角为，则，故，
设与轴的正半轴的夹角为，
因为，所以，
则.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.
（1）利用基本不等式求出的最大值，结合已知条件可求出的值，再根据椭圆的通径公式可求出，据此可求出椭圆C的标准方程；
（2）设，直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，应用韦达定理可得：，据此可求出点的坐标，同理可求得的坐标，利用直线的斜率公式可求出的斜率，再利用点差法可求得的斜率，再结合的斜率可求出，进而求出，利用两角和的正弦公式可求出答案.
19．【答案】（1）解：
（2）解：∵，
，
∴，
∴，
∵是的极小值点，∴，
∴当在的附近时，，
∴，解得，
因此，a的取值范围为.
（3）解：∵，
∴，
∴，
，
即，
令，∴，∴，
由二项式定理可知
，
，
∴，即，
∴.
【知识点】利用导数研究函数的极值；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）当时，，直接代入写出的泰勒展开式
（2）先求出的泰勒展开式，从而可得，根据是的极小值点，可知，可知当时，，当时，，因此当在的附近时，，即，解不等式即可求得a的取值范围；
（3）先利用泰勒展开式求出的取值范围，再将其写成整数部分加上小数部分的形式，即，∴，进而可求得，再利用二项式定理求出的范围，即可求得k的值.
（1）当时，，
由泰勒展开式可得；
（2）因为，
，
所以，
则，
因为是的极小值点，且，
则当在的附近时，即可，
即可，所以，
综上所述，；
（3）因为，
所以，
所以，
，
即，
令，则，则，
由二项式定理可知
，
，
所以，即，
所以.
