上海市虹口区2024-2025学年高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）
1．（2024高三上·虹口模拟）已知集合，则 ．
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，则.
故答案为：.
【分析】利用绝对值不等式求解方法，从而求出集合，再根据交集的运算法则，从而得出集合A和集合B的交集.
2．（2024高三上·虹口模拟）函数的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数的定义域是，
所以，解得：或，
所以，函数的定义域为：.
故答案为：.
【分析】由对数型函数的定义域求解方法，从而可得，再解分式不等式，从而得出函数的定义域.
3．（2024高三上·虹口模拟）若，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和二倍角的正切公式，从而得出的值.
4．（2024高三上·虹口模拟）在的二项展开式中，项的系数为 ．
【答案】
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为二项式的通项公式为，
令，可得，所以.
故答案为：.
【分析】利用二项式定理求出的通项公式，再由已知条件和赋值法，从而得出的系数.
5．（2024高三上·虹口模拟）设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ．
【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
6．（2024高三上·虹口模拟）若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的底面半径，高，
设母线为，则，
所以，该圆锥的侧面积为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合勾股定理求出母线的长，再由圆锥的侧面积公式，从而得出该圆锥的侧面积.
7．（2024高三上·虹口模拟）已知非零复数满足，则的虚部为 ．
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：设，则，
因为，，所以，
解得或（舍去），
所以，则的虚部为.
故答案为：.
【分析】设，再根据已知条件和共轭复数的定义以及复数求模公式，从而得到a，b的方程组，进而解方程组得出a，b的值，即得出复数z的虚部.
8．（2024高三上·虹口模拟）已知，则的解集是 ．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，
设，则，所以，
所以，
不等式，即或，
解得或，
综上可得的解集.
故答案为：.
【分析】首先求出当时的解析式，再根据分段函数的解析式，从而分段得到不等式组，再解不等式组得出的解集.
9．（2024高三上·虹口模拟）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究二面角
10．（2024高三上·虹口模拟）双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，
因为是抛物线的焦点，∴
∵，∴，
在△中，由余弦定理得，
∴，
即，解得，
又∵和是双曲线的左、右焦点，
∴，，
∴双曲线的离心率为：.
故答案为：.
【分析】过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，由可求得，在△中，由余弦定理可得，再根据双曲线的定义和双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率．
11．（2024高三上·虹口模拟）2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 ．（用含有H、h、m、t的式子表示）
【答案】
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：设第二次拍照飞船的实际上升了，
所以，解得：，
所以拍照时飞船的瞬时速度为：.
故答案为：.
【分析】先求出第二次拍照飞船的实际上升的高度，再由实际上升的高度除以该记者连按拍照键间的反应时间t，即可求出拍照时飞船的瞬时速度.
12．（2024高三上·虹口模拟）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个．
【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由于，可以先将任意排列，
再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种，
再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种，
再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种，
以此类推，将插入该数列，共有种.
故答案为：.
【分析】先将任意排列，依次将到插入该数列，再考虑满足条件，则由排列数公式和类比推理的方法，从而得出满足条件的数列的个数.
13．（2024高三上·虹口模拟）已知，则“”是“”的（ ）条件．
A．充要 B．充分非必要
C．必要非充分 D．既非充分又非必要
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由题意可得，，
由，即，
则或，
由，则，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：C.
【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值，从而求出两个条件的的值，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而得出答案.
14．（2024高三上·虹口模拟）已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥
C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：因为事件和事件满足，
则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误；
因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误；
抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件，
则，，显然事件和事件不互斥，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义，从而判断各选项，进而找出正确的选项.
15．（2024高三上·虹口模拟）已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（ ）．
A． B． C．． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为空间中的动点P满足，
则点P的轨迹是以为邻边的平行六面体，
将正四面体放入如图所示的正方体中，
则正四面体的内切球心O为正方体的中心，
设正方体的棱长为，所以，所以，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，
所以，
，
，
，
所以，
所以，
所以以为邻边的平行四边形面积为：
，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，所以，，
又因为点到平面距离为，
以为邻边的平行六面体的体积为：.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件得出点P的轨迹是以为邻边的平行六面体，将正四面体放入如图所示的正方体中，则正四面体的内切球心O为正方体的中心，设正方体的棱长为，从而得出a的值，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量的模的坐标运算和余弦定理以及同角三角函数基本关系式，平行四边形的面积公式得出以为邻边的平行四边形面积，再由数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再根据数量积求出点到平面距离，最后由柱体的体积公式得出以为邻边的平行六面体的体积.
16．（2024高三上·虹口模拟）设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）．
①存在等比数列以及锐角α，使成立．
②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立．
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：对于①，若，，成等比数列，即，，
则，即，得，
在同一坐标系内作和的图象：
可知方程，有且只有一解，
所以存在等比数列以及锐角α，使成立，①是真命题；
对于②，假设存在等差数列以及锐角α，
使成立，则必有，
当时，显然不成立；
当时，，，
所以，，
所以，
则，
，即，即，
因为，所以，，
不存在这样的使得等式成立；
当时，，，
所以，，
所以，
同理，
因为，所以，，
不存在这样的使得等式成立，
所以②是真命题.
故答案为：A.
【分析】假设，，成等比数列，可得，在同一坐标系内作和的图象，即可判断命题①的真假；分，和三种情况，从而求出的最大值和最小值可知，再判断该方程是否有解，即可判断命题②的真假，从而找出说法正确的选项.
17．（2024高三上·虹口模拟）设．
（1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；
（2）若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值．
【答案】（1）解：因为且函数的最小正周期为，
所以，解得，所以，
则，
由，则，
所以当，即时取得最大值.
（2）解：当时，，则，
因为，所以，
则，解得；
因为，所以，
由余弦定理，
所以，所以，
当且仅当时取等号，
故的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式求出的值，从而得出函数的解析式，进而由辅助角公式得到函数的解析式，再根据x的取值范围和不等式的基本性质以及正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出函数在上的最大值.
（2）利用的值得出函数的解析式，再由代入法和已知条件以及锐角三角形中角A的取值范围，从而得出角的值，再根据数量积的定义求出的值，从而由余弦定理和基本不等式求最值的方法，进而得出的最小值.
（1）因为且函数的最小正周期为，
所以，解得，所以，
则，
由，则，
所以当，即时取得最大值.
（2）当时，，则，
因为，所以，则，解得；
因为，所以，
由余弦定理，
所以，所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为.
18．（2024高三上·虹口模拟）如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接交于点，连接，，
在四棱柱中，四边形，为平行四边形，
所以为的中点，
又因为、分别是、的中点，
所以且，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为异面直线与所成角为，又因为，
所以即为异面直线与所成角，即，即，
又因为平面，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，，根据四棱柱的结构特征和中点作中位线的方法，再根据中位线的性质得出线线平行和线段相等，从而判断出四边形为平行四边形，进而得出，再根据线线平行证出线面平行，即证出直线平面.
（2）由和已知条件，从而可得为异面直线与所成角，则，再利用平面，从而建立空间直角坐标系，得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）连接交于点，连接，，
在四棱柱中，四边形，为平行四边形，所以为的中点，
又、分别是、的中点，
所以且，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面；
（2）因为异面直线与所成角为，又，
所以即为异面直线与所成角，即，即，
又平面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．（2024高三上·虹口模拟）2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示．
（1）求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；
（2）若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；
（3）已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差．
【答案】（1）解：∵，
∴第35百分位数为第两个数的平方数.
（2）解：由图1可知，图2中有2人，
所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，
其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件，
所以.
（3）解：由题意可知：落在的频率为，
落在的频率为，
因为这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，
位于上的均值为73，方差为134.6，
所以，
设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，
所以，解得：，
，
解得：，
所以这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据百分位数的求法，从而得出图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数.
（2）利用频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频数等于频率乘以样本容量的方法，从而求出的人数，根据对立事件求概率公式和古典概型求概率公式，从而得出其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率.
（3）根据题意结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再根据平均数公式和方差公式，从而得出这1000名观众的评分位于上的均值与方差．
（1）∵，
∴第35百分位数为第两个数的平方数
（2）由图1可知，图2中有2人，
所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件，
所以.
（3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为，
因为这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，
位于上的均值为73，方差为134.6，
所以，
设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，
所以，解得：，
，
解得：.
这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，.
20．（2024高三上·虹口模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点．
（1）当时，求的值；
（2）若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由椭圆方程知：，，，则，
设，，
解得：，即，
由椭圆定义知：.
（2）解：由（1）知：，
，，
若存在点，使的面积为，
则点到直线的距离，
，
直线方程为：，即，
设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为，
，解得：或，
当时，直线方程为，
由得：，
解得：或，
或，
点或；
当时，直线方程为，
由得：，方程无解，
即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点，
综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或.
（3）解：由题意，可设直线，，，
由得：，
，即，
，，
设线段中点为，则，
，，
又因为为中点，，
，，
即，，
直线与轴和轴均不平行，，，
，整理可得：，
，，解得：，
即实数的取值范围为.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆方程得出a，b的值，再由椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出c的值，则得出点的坐标，进而设出点的坐标，由代入法得出点P的坐标，从而得出的值，再根据椭圆定义得出的值.
（2）由（1）得出点A的坐标，根据两点距离公式和三角形面积公式，从而得出点到直线的距离，再利用点斜式方程得出直线AP的方程，利用两直线平行斜率相等设出平行直线AP且到直线的距离为的直线方程，与椭圆方程联立可求得满足条件的点的坐标.
（3）由题意，可设直线，，，将直线与椭圆联立结合判别式法得出k与m的不等关系式，再利用韦达定理和中点的性质，结合平行四边形法则和数量积为0两向量垂直的等价关系，则得出，再结合两点距离公式和k与m的不等关系式，从而得出实数m的取值范围.
（1）由椭圆方程知：，，，则，
设，，解得：，即，
由椭圆定义知：.
（2）由（1）知：，
，；
若存在点，使的面积为，
则点到直线的距离，
，直线方程为：，即，
设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为，
，解得：或；
当时，直线方程为，
由得：，解得：或，
或，点或；
当时，直线方程为，
由得：，方程无解，
即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点；
综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或.
（3）由题意可设直线，，，
由得：，
，即，，，
设线段中点为，则，，
，又为中点，，
，，即，，
直线与轴和轴均不平行，，，
，整理可得：，
，，解得：，
即实数的取值范围为.
21．（2024高三上·虹口模拟）设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质．
（1）判断是否具有性质，并说明理由；
（2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围；
（3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质．
【答案】（1）解：记，
显然，则其是偶函数，
当时，，故，
所以对恒成立，具有性质.
（2）解：因为，所以，
当时，严格单调递增；
当时，严格单调递减，
若，则，
函数在上严格单调递增，恒成立，
此时函数具有性质；
若，则函数在上严格单调递减，
，故函数不具有性质；
若，则函数在上严格单调递增，
“对恒成立”
等价于“对恒成立”，
而在上严格单调递减，在上严格单调递增，
故，即，
即，
综上所述，的取值范围是.
（3）证明：对任意及，
都有，
即对任意都有，
假设存在使得不具有性质，
则存在使得，
若，则，
当时，则在中取，
对任意，
有，
于是，
即，
当时，，
故有，矛盾，
当时，记，
则，
由得，
则，
故，
与当时，同理可得矛盾，
若，则，
与当时，同理可得矛盾，
综上所述，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；反证法的应用
【解析】【分析】（1）首先判断为偶函数，再判断出当时，即可判断出具有性质.
（2）求导得出，利用导数判断函数的单调性，再对分和以及讨论结合函数具有性质，从而得出实数a的取值范围.
（3）根据已知条件和性质知，再利用反证法证明出函数对任意实数a均具有性质．
（1）记，
显然，则其是偶函数.
当时，，故，
所以对恒成立，具有性质.
（2），
当时严格单调递增，
当时严格单调递减.
若，则，函数在上严格单调递增，恒成立，
此时函数具有性质.
若，则函数在上严格单调递减，
，
故函数不具有性质.
若，则函数在上严格单调递增，
“对恒成立”等价于“对恒成立”，
而在上严格单调递减，在上严格单调递增，
故，即，
即.
综上，的取值范围是.
（3）对任意及，
都有，
即对任意都有.
假设存在使得不具有性质，
则存在使得.
若，则.
当时，则在中取，
对任意有，
于是，
即.
而当时，，
故有，矛盾.
当时，记，则，
由得，得，
故.
与当时同理可得矛盾.
若，则，与时同理可得矛盾.
综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质.
上海市虹口区2024-2025学年高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）
1．（2024高三上·虹口模拟）已知集合，则 ．
2．（2024高三上·虹口模拟）函数的定义域是 ．
3．（2024高三上·虹口模拟）若，则 ．
4．（2024高三上·虹口模拟）在的二项展开式中，项的系数为 ．
5．（2024高三上·虹口模拟）设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ．
6．（2024高三上·虹口模拟）若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留）
7．（2024高三上·虹口模拟）已知非零复数满足，则的虚部为 ．
8．（2024高三上·虹口模拟）已知，则的解集是 ．
9．（2024高三上·虹口模拟）如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则 ．
10．（2024高三上·虹口模拟）双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ．
11．（2024高三上·虹口模拟）2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 ．（用含有H、h、m、t的式子表示）
12．（2024高三上·虹口模拟）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个．
13．（2024高三上·虹口模拟）已知，则“”是“”的（ ）条件．
A．充要 B．充分非必要
C．必要非充分 D．既非充分又非必要
14．（2024高三上·虹口模拟）已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）．
A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥
C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥
15．（2024高三上·虹口模拟）已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（ ）．
A． B． C．． D．
16．（2024高三上·虹口模拟）设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）．
①存在等比数列以及锐角α，使成立．
②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立．
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
17．（2024高三上·虹口模拟）设．
（1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；
（2）若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值．
18．（2024高三上·虹口模拟）如图，已知在四棱柱中，平面，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）若底面为梯形，，异面直线与所成角为．求直线与平面所成角的正弦值．
19．（2024高三上·虹口模拟）2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示．
（1）求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数；
（2）若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率；
（3）已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差．
20．（2024高三上·虹口模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点．
（1）当时，求的值；
（2）若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围．
21．（2024高三上·虹口模拟）设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质．
（1）判断是否具有性质，并说明理由；
（2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围；
（3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，则.
故答案为：.
【分析】利用绝对值不等式求解方法，从而求出集合，再根据交集的运算法则，从而得出集合A和集合B的交集.
2．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数的定义域是，
所以，解得：或，
所以，函数的定义域为：.
故答案为：.
【分析】由对数型函数的定义域求解方法，从而可得，再解分式不等式，从而得出函数的定义域.
3．【答案】
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和二倍角的正切公式，从而得出的值.
4．【答案】
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为二项式的通项公式为，
令，可得，所以.
故答案为：.
【分析】利用二项式定理求出的通项公式，再由已知条件和赋值法，从而得出的系数.
5．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
6．【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的底面半径，高，
设母线为，则，
所以，该圆锥的侧面积为.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合勾股定理求出母线的长，再由圆锥的侧面积公式，从而得出该圆锥的侧面积.
7．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：设，则，
因为，，所以，
解得或（舍去），
所以，则的虚部为.
故答案为：.
【分析】设，再根据已知条件和共轭复数的定义以及复数求模公式，从而得到a，b的方程组，进而解方程组得出a，b的值，即得出复数z的虚部.
8．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为，
设，则，所以，
所以，
不等式，即或，
解得或，
综上可得的解集.
故答案为：.
【分析】首先求出当时的解析式，再根据分段函数的解析式，从而分段得到不等式组，再解不等式组得出的解集.
9．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究二面角
10．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，
因为是抛物线的焦点，∴
∵，∴，
在△中，由余弦定理得，
∴，
即，解得，
又∵和是双曲线的左、右焦点，
∴，，
∴双曲线的离心率为：.
故答案为：.
【分析】过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，由可求得，在△中，由余弦定理可得，再根据双曲线的定义和双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率．
11．【答案】
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：设第二次拍照飞船的实际上升了，
所以，解得：，
所以拍照时飞船的瞬时速度为：.
故答案为：.
【分析】先求出第二次拍照飞船的实际上升的高度，再由实际上升的高度除以该记者连按拍照键间的反应时间t，即可求出拍照时飞船的瞬时速度.
12．【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由于，可以先将任意排列，
再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种，
再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种，
再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种，
以此类推，将插入该数列，共有种.
故答案为：.
【分析】先将任意排列，依次将到插入该数列，再考虑满足条件，则由排列数公式和类比推理的方法，从而得出满足条件的数列的个数.
13．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由题意可得，，
由，即，
则或，
由，则，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：C.
【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值，从而求出两个条件的的值，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而得出答案.
14．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：因为事件和事件满足，
则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误；
因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误；
抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件，
则，，显然事件和事件不互斥，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义，从而判断各选项，进而找出正确的选项.
15．【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为空间中的动点P满足，
则点P的轨迹是以为邻边的平行六面体，
将正四面体放入如图所示的正方体中，
则正四面体的内切球心O为正方体的中心，
设正方体的棱长为，所以，所以，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，
所以，
，
，
，
所以，
所以，
所以以为邻边的平行四边形面积为：
，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，所以，，
又因为点到平面距离为，
以为邻边的平行六面体的体积为：.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件得出点P的轨迹是以为邻边的平行六面体，将正四面体放入如图所示的正方体中，则正四面体的内切球心O为正方体的中心，设正方体的棱长为，从而得出a的值，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量的模的坐标运算和余弦定理以及同角三角函数基本关系式，平行四边形的面积公式得出以为邻边的平行四边形面积，再由数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再根据数量积求出点到平面距离，最后由柱体的体积公式得出以为邻边的平行六面体的体积.
16．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：对于①，若，，成等比数列，即，，
则，即，得，
在同一坐标系内作和的图象：
可知方程，有且只有一解，
所以存在等比数列以及锐角α，使成立，①是真命题；
对于②，假设存在等差数列以及锐角α，
使成立，则必有，
当时，显然不成立；
当时，，，
所以，，
所以，
则，
，即，即，
因为，所以，，
不存在这样的使得等式成立；
当时，，，
所以，，
所以，
同理，
因为，所以，，
不存在这样的使得等式成立，
所以②是真命题.
故答案为：A.
【分析】假设，，成等比数列，可得，在同一坐标系内作和的图象，即可判断命题①的真假；分，和三种情况，从而求出的最大值和最小值可知，再判断该方程是否有解，即可判断命题②的真假，从而找出说法正确的选项.
17．【答案】（1）解：因为且函数的最小正周期为，
所以，解得，所以，
则，
由，则，
所以当，即时取得最大值.
（2）解：当时，，则，
因为，所以，
则，解得；
因为，所以，
由余弦定理，
所以，所以，
当且仅当时取等号，
故的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式求出的值，从而得出函数的解析式，进而由辅助角公式得到函数的解析式，再根据x的取值范围和不等式的基本性质以及正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出函数在上的最大值.
（2）利用的值得出函数的解析式，再由代入法和已知条件以及锐角三角形中角A的取值范围，从而得出角的值，再根据数量积的定义求出的值，从而由余弦定理和基本不等式求最值的方法，进而得出的最小值.
（1）因为且函数的最小正周期为，
所以，解得，所以，
则，
由，则，
所以当，即时取得最大值.
（2）当时，，则，
因为，所以，则，解得；
因为，所以，
由余弦定理，
所以，所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为.
18．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，，
在四棱柱中，四边形，为平行四边形，
所以为的中点，
又因为、分别是、的中点，
所以且，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为异面直线与所成角为，又因为，
所以即为异面直线与所成角，即，即，
又因为平面，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，，根据四棱柱的结构特征和中点作中位线的方法，再根据中位线的性质得出线线平行和线段相等，从而判断出四边形为平行四边形，进而得出，再根据线线平行证出线面平行，即证出直线平面.
（2）由和已知条件，从而可得为异面直线与所成角，则，再利用平面，从而建立空间直角坐标系，得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）连接交于点，连接，，
在四棱柱中，四边形，为平行四边形，所以为的中点，
又、分别是、的中点，
所以且，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面；
（2）因为异面直线与所成角为，又，
所以即为异面直线与所成角，即，即，
又平面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．【答案】（1）解：∵，
∴第35百分位数为第两个数的平方数.
（2）解：由图1可知，图2中有2人，
所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，
其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件，
所以.
（3）解：由题意可知：落在的频率为，
落在的频率为，
因为这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，
位于上的均值为73，方差为134.6，
所以，
设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，
所以，解得：，
，
解得：，
所以这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据百分位数的求法，从而得出图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数.
（2）利用频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频数等于频率乘以样本容量的方法，从而求出的人数，根据对立事件求概率公式和古典概型求概率公式，从而得出其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率.
（3）根据题意结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再根据平均数公式和方差公式，从而得出这1000名观众的评分位于上的均值与方差．
（1）∵，
∴第35百分位数为第两个数的平方数
（2）由图1可知，图2中有2人，
所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件，
所以.
（3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为，
因为这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，
位于上的均值为73，方差为134.6，
所以，
设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，
所以，解得：，
，
解得：.
这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为，.
20．【答案】（1）解：由椭圆方程知：，，，则，
设，，
解得：，即，
由椭圆定义知：.
（2）解：由（1）知：，
，，
若存在点，使的面积为，
则点到直线的距离，
，
直线方程为：，即，
设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为，
，解得：或，
当时，直线方程为，
由得：，
解得：或，
或，
点或；
当时，直线方程为，
由得：，方程无解，
即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点，
综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或.
（3）解：由题意，可设直线，，，
由得：，
，即，
，，
设线段中点为，则，
，，
又因为为中点，，
，，
即，，
直线与轴和轴均不平行，，，
，整理可得：，
，，解得：，
即实数的取值范围为.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由椭圆方程得出a，b的值，再由椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出c的值，则得出点的坐标，进而设出点的坐标，由代入法得出点P的坐标，从而得出的值，再根据椭圆定义得出的值.
（2）由（1）得出点A的坐标，根据两点距离公式和三角形面积公式，从而得出点到直线的距离，再利用点斜式方程得出直线AP的方程，利用两直线平行斜率相等设出平行直线AP且到直线的距离为的直线方程，与椭圆方程联立可求得满足条件的点的坐标.
（3）由题意，可设直线，，，将直线与椭圆联立结合判别式法得出k与m的不等关系式，再利用韦达定理和中点的性质，结合平行四边形法则和数量积为0两向量垂直的等价关系，则得出，再结合两点距离公式和k与m的不等关系式，从而得出实数m的取值范围.
（1）由椭圆方程知：，，，则，
设，，解得：，即，
由椭圆定义知：.
（2）由（1）知：，
，；
若存在点，使的面积为，
则点到直线的距离，
，直线方程为：，即，
设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为，
，解得：或；
当时，直线方程为，
由得：，解得：或，
或，点或；
当时，直线方程为，
由得：，方程无解，
即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点；
综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或.
（3）由题意可设直线，，，
由得：，
，即，，，
设线段中点为，则，，
，又为中点，，
，，即，，
直线与轴和轴均不平行，，，
，整理可得：，
，，解得：，
即实数的取值范围为.
21．【答案】（1）解：记，
显然，则其是偶函数，
当时，，故，
所以对恒成立，具有性质.
（2）解：因为，所以，
当时，严格单调递增；
当时，严格单调递减，
若，则，
函数在上严格单调递增，恒成立，
此时函数具有性质；
若，则函数在上严格单调递减，
，故函数不具有性质；
若，则函数在上严格单调递增，
“对恒成立”
等价于“对恒成立”，
而在上严格单调递减，在上严格单调递增，
故，即，
即，
综上所述，的取值范围是.
（3）证明：对任意及，
都有，
即对任意都有，
假设存在使得不具有性质，
则存在使得，
若，则，
当时，则在中取，
对任意，
有，
于是，
即，
当时，，
故有，矛盾，
当时，记，
则，
由得，
则，
故，
与当时，同理可得矛盾，
若，则，
与当时，同理可得矛盾，
综上所述，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；反证法的应用
【解析】【分析】（1）首先判断为偶函数，再判断出当时，即可判断出具有性质.
（2）求导得出，利用导数判断函数的单调性，再对分和以及讨论结合函数具有性质，从而得出实数a的取值范围.
（3）根据已知条件和性质知，再利用反证法证明出函数对任意实数a均具有性质．
（1）记，
显然，则其是偶函数.
当时，，故，
所以对恒成立，具有性质.
（2），
当时严格单调递增，
当时严格单调递减.
若，则，函数在上严格单调递增，恒成立，
此时函数具有性质.
若，则函数在上严格单调递减，
，
故函数不具有性质.
若，则函数在上严格单调递增，
“对恒成立”等价于“对恒成立”，
而在上严格单调递减，在上严格单调递增，
故，即，
即.
综上，的取值范围是.
（3）对任意及，
都有，
即对任意都有.
假设存在使得不具有性质，
则存在使得.
若，则.
当时，则在中取，
对任意有，
于是，
即.
而当时，，
故有，矛盾.
当时，记，则，
由得，得，
故.
与当时同理可得矛盾.
若，则，与时同理可得矛盾.
综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质.
