月考测试卷(3月份)
第1~2章
一．选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)
1．若，下列各式中一定成立的是( )
A． B． C． D．
2．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )
A．6，8，10 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
3．如图，D为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为( )
A．1 B． C．2 D．
4．函数的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
5．放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家，彬彬家的两两之间的距离如图所示，且晓华家在学校的正东方向，则彬彬家在学校的( )
A．正南方向 B．正东方向 C．正西方向 D．正北方向
6．若不等式组的解集为，那么( )
A． B．
C．， D．
7．如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为( )
A． B． C． D．
8．若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为( )
A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12
9．如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．1
10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是( )
①；②；③；④
A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③
二．填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)
11．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形， 轴，若，则点的坐标为 ．
12．若关于x的不等式2x﹣3a+2≥0的最小整数解为5，则实数a的值为
13．如图，已知，，，．则 度．
14．如图，已知，平分，，若，，则 ．
15．如图，中，是高，延长至点，使，连接，过点作交的延长线于点，当，时， ．
16．如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长是 ．
三．解答题(共7小题，满分52分)
17．(6分)解不等式(组)．
(1) (2)
18．(6分)如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且，
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的长．
19．(8分)如图为单位长度为1的的网格，请用无刻度的直尺在正方形网格中选择三个格点，使之构成直角三角形．要求如下：
(1)三边为有理数；
(2)两边是无理数，一边是有理数．
20．(8分)如图，在中，．
(1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，
①若，求的度数；
②若的面积是12，，点M、N分别是上的动点，求的最小值．
21．(8分)某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加活动．两种型号的车的载客能力和租金如下表所示：
载客量(人/辆) 50 35
租金(元/辆) 450 300
设租用型车辆，
(1)请用代数式表示出总租金是多少
(2)保证租车费用不超过2900元，且八年级师生共305人，请在所有满足的租车方案中，指出花费最少的方案租用了几辆型车？
22．(8分)已知直线l1：y1＝x﹣3m+15，l2：y2＝﹣2x+3m﹣9．
(1)当m＝3时，求直线l1与l2的交点坐标；
(2)若直线l1与l2的交点在第一象限，求m的取值范围；
(3)若等腰三角形的两边为(2)中的整数解，求该三角形的面积．
23．(8分)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为秒．
(1)______．
(2)斜边上的高线长为______．
(3)当在边上时，的长为______，(用含的代数式表示)的取值范围是______．
若点在的角平分线上，则的值为______．
(4)在整个运动过程中，直接写出是以为一边的等腰三角形时的值．
答案
一．选择题
1．C
【分析】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：(1)不等式两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质通过举反例进行分析判断．
【详解】解：A．由，得，故此选项不符合题意；
B．由，当时，式子没有意义，故此选项不符合题意；
C．由，，得，故此选项符合题意；
D．由，，得，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，是解决问题的关键．
验证较小两小边的平方和等于最长边的平方，即可判断是直角三角形．
【详解】A、，故是直角三角形，符合题意；
B、，故不是直角三角形，不符合题意；
C、，故不是直角三角形，不符合题意；
D、，故不是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，先证，推出，根据等腰三角形“三线合一”可得，根据，可得，通过等量代换即可求解．
【详解】解： 平分，
，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，，
，
，
，
，
故选C．
4．A
【分析】本题考查一次函数的性质，根据函数解析式和一次函数的性质解答即可．
【详解】解：在中，令时，，
∴当时，，故A选项正确；
当时，；时，，故B、C选项不正确；
当时，，故D选项不正确；
故选：A．
5．D
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据题意可求得即可求解．
【详解】解：由图可得：，
∴，
∴是直角三角形，
∴彬彬家在学校的正北方向，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．先把a、b当作已知条件表示出不等式组的解集，再与已知解集相比较即可得出结论．
【详解】解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：．
故选：D
7．C
【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，过E作，先证明是等边三角形，再证，即可得到答案；
【详解】解：过E作，
∵是等边三角形，，
，
∴，，
∵，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
8．B
【分析】根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或或，从而确定所有满足条件的整数的值的和．
【详解】不等式组整理得：，
由不等式组至少有1个整数解，得到，
解得：，
解方程组，得，
关于，的方程组的解为正整数，
或或，
解得或或，
所有满足条件的整数的值的和是．
故选：B．
9．C
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰三角形底边；②为等腰三角形一条腰．
【详解】如图：
①为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；
②为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选：C．
10．D
【分析】①根据三角形的中线性质、三角形的面积公式即可得；②先根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，再根据对顶角相等可得，由此即可得；③先根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，再根据角平分线的定义即可得；④根据等腰三角形的判定即可得．
【详解】 是的AC边上的中线，
，
与等底同高，
，则说法①正确；
CF是的角平分线，
，
，是高，
，
，
由对顶角相等得：，
，则说法②正确；
，是高，
，
，
又，即，
，则结论③正确；
根据已知条件不能推出，
不能推出，则说法④错误；
综上，说法正确的是①②③，
故选：D．
二．填空题
11．
【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，得到点的纵坐标，过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出点的横坐标即可．
【详解】解：∵轴，，
∴点的纵坐标为1，
过点作，交轴于点，交于点， 则：，
∵
∴，
∴点的横坐标为，
∴．
故答案为：．
12．＜a≤4
【分析】先将a看作常数解不等式，根据最小整数解为5，得4＜≤5，解出即可．
【详解】解不等式2x-3a+2≥0得x≥，
∵不等式的最小整数解为5，
∴4＜≤5，
∴＜a≤4，
故答案为＜a≤4．
13．45
【分析】根据勾股定理得出，再利用勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：45．
14．10
【分析】如图，延长交于M，延长交于N，结合题意根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得，易证为等边三角形，结合已知求出，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半解三角形可求解．
【详解】解：延长交于M，延长交于N，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
15．
【分析】根据已知条件得到，利用推出，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，根据三角形的外角的性质得到，根据已知条件即可得到结论．
【详解】解：是高，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长，熟练掌握等边三角形的性质，等 腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】∵为等边三角形，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∴的边长为，
同理：的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长为，
故答案为：．
三．解答题
17．(1)解：，
去括号得：，
移项得： ，
合并得：，
系数化为1得：；
(2)解：
解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式①和②解集在数轴上表示为：
∴原不等式组的解集为．
18．(1)证明：∵，
∴，，
∵AE平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
(2)解：是的中点，
．
∵，
．
由对顶角相等可知：．
在和中，
，
．
．
，
．
19．(1)解：如图所示：
即为所求；
(2)解：如图所示：
即为所求．
20．(1)解：如图，为所作；
(2)解：①∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
②如图，∵垂直平分，
∴，
∴(当且仅当A、N、M共线时取等号)，
∵当时，的长度最小，
∵，
∴，
∴的最小值为6．
21．(1)解：设租用型车辆，则租用种车辆辆，
总租金是元；
(2)解：设租用型车辆，则租用种车辆辆，
，解得，
为正整数，
可取或，
即有两种方案：
方案一：租用型车辆，租用种车辆辆；花费元；
方案二：租用型车辆，租用种车辆辆；花费元；
花费最少的方案一租用了辆型车．
22．(1)将m＝3代入直线l1：y1＝x﹣3m+15，l2：y2＝﹣2x+3m﹣9得，
y1＝x﹣9+15＝x+6，y2＝﹣2x+9﹣9＝﹣2x，
联立得 ，解得 ，
∴直线l1与l2的交点坐标为(﹣2，4)；
(2)联立直线l1与l2得方程组 ，解得 ，
∴直线l1与l2的交点为(2m﹣8，﹣m+7)，
∵交点在第一象限，
∴ ，
解得4＜m＜7，
即m的取值范围为4＜m＜7；
(3)∵4＜m＜7，
∴等腰三角形的两边为5，6，
①如图，当AB＝AC＝6，BC＝5时，过点A作AD⊥BC于D，
∴BD＝CD＝BC＝，
∴AD=，
∴S△ABC＝；
②如图，当AB＝AC＝5，BC＝6时，过点A作AD⊥BC于D，
∴BD＝CD＝BC＝3，
∴AD＝，
∴S△ABC＝×6×4＝12．
综上所述，该三角形的面积为或4．
23．(1)解：在中，，，，
∴，
故答案为：；
(2)解：如图所示，过点作于点，
则，
∴
即，
∴，
故答案为：；
(3)解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，
∴，
的取值满足，
即，
故答案为：， ；
点在的角平分线上，过点作 于，
∵平分，， ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
则 ，
由题意知，，
∴，
∴ ，
在中， 由勾股定理，得，
即，
解得，
∴点在的角平分线上时，，
故答案为： ；
(4)解：当是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：
当时，如图，
则，
∴；
当时，过点作于点，如图，
由题意知，，，
∵，，
∴，
由勾股定理得 ，，
∴，
解得；
当为底边时，，过点作于，于，则，
∴四边形为长方形，
∴，，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴；
故是以为一边的等腰三角形时，的值为或或．
