喀什地区莎车县2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．2
2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
3．设为直线与圆的两个交点，则
A． B． C． D．
4．记等差数列的前项和为，则（ ）
A．120 B．140 C．160 D．180
5．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
7．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
8．设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知等差数列的公差为，前项和为，，，则（ ）
A． B．
C． D．取得最大值时，
11．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
三、填空题
12．若，则＝ ．
13．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为 ．
14．等差数列的前项和为，，，则
四、解答题
15．斜率为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点．
求该抛物线的标准方程和准线方程；
求线段AB的长．
16．记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，平面ABCD，其中，，，，点M在棱PD上，，点N为BC中点.
(1)证明：直线平面PAB；
(2)求二面角的正弦值.
18．已知P是圆F1：（x+1）2+y2＝16上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）.
19．设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意.都有，，，（e是自然对数的底数，）.
(1)求数列、的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)试探究是否存在整数，使得对于任意，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C C A C D AC AC
题号 11
答案 AC
1．A
【详解】由题意得，解得，
故选：A.
2．B
【详解】设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7==381，
解得a1=3．
故选B．
3．D
【详解】试题分析：直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①求出圆心到直线的距离,所以直径②直线与圆联立方程,由弦长公式来求得.故选D.
考点：直线与圆的交点弦长
4．C
【详解】因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
5．C
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
6．A
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
7．C
【详解】由向量，，，
因为向量，，共面，则存在实数使得，
即，解得.
故选：C.
8．D
【详解】由双曲线的对称性可知，，则四边形为平行四边形，
令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，，
，
则，
因为，所以，故，
则有，
即，即，则，由，故．
故选：D
9．AC
【详解】对于：∵，所以正确；
对于：，
∴，所以不垂直，
所以不正确；
对于：，
，
所以正确；
对于：，，
而，
∴不平行于；所以不正确.
故选：.
10．AC
【详解】解法一：由题可得，解得故选项A正确，选项B错误；
易知，则，选项C正确.
因为，，，所以当或11时，取得最大值（技巧：由得数列递减，进而判断最大时的临界项）
选项D错误.
故选：AC
解法二：对于A：易知，所以，选项A
正确；
对于B：，选项B错误；
对于C：，选项C正确；
对于D：易知，，，（技巧：由得数列递减，进而判断最大时的临界项）
所以当或11时，取得最大值，所以选项D错误.
故选：AC
11．AC
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
12．
【详解】解：因为
所以，
所以
故答案为：．
13．3
【详解】
，
，①
又
②
①-②得：，
的面积为9，
，
故答案为：3.
14．
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
由题意有： ，解得 ，
数列的前n项和，
则有：，
故有 .
故答案为：.
15．（1）抛物线的方程为，其准线方程为；（2）
【详解】
由焦点，得，解得
所以抛物线的方程为，其准线方程为，
设，
直线l的方程为
与抛物线方程联立，得，
消去y，整理得，
由抛物线的定义可知，．
所以，线段AB的长为
16．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图所示，在线段上取一点，使，连接，，
，，
又平面，平面，
平面，
又，，
且，
故四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
又平面，
所以平面平面，
平面，
平面；
（2）如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
又是中点，则，
所以，，，
设平面的法向量，则，
令，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
设二面角为，
所以，所以
则二面角的正弦值为.
18．（1）（2）证明见解析
【详解】（1）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，
所以点Q的轨迹为以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，
故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3
所以曲线C的方程为
（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），设点M的坐标为（1，m）
直线MA的方程为：
将与联立消去y整理得：（4m2+27）x2+16m2x+16m2﹣108＝0，
设点D的坐标为（xD，yD），则，
故，则
直线MB的方程为：y＝﹣m（x﹣2）
将y＝﹣m（x﹣2）与联立消去y整理得：（4m2+3）x2﹣16m2x+16m2﹣12＝0
设点E的坐标为（xE，yE），则，
故，则
HD的斜率为
HE的斜率为
因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H.
19．(1)；
(2)
(3)2或3
【详解】（1）对于，当时，，即，
因为，所以，
当时，，
两式相减可得，
化简可得，因为数列的各项都是正数，
所以，
所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，
根据；
对于，则，即，
因为，所以，所以是以1为首项，公比为2的等比数列，
则，所以；
（2）由（1）可得，，
所以，
则
，
所以，
，即，
所以；
（3）由（1）可得，所以，
因为，所以，
因为对于任意，不等式恒成立，
所以对于任意，不等式恒成立，
当时，，
当时，，
根据基本不等式可得，当且仅当时，等号成立；
当时，，
当时，，
所以数列在上单调递增，当趋于无穷大时，无穷大，
所以，，
要使不等式恒成立，
满足条件的整数为2或3.
