广东省深圳市罗湖区翠园实验学校，桂圆中学等学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·罗湖期中）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·罗湖期中）下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·罗湖期中）已知实数a，b，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·罗湖期中）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·罗湖期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
B．有两个角相等的三角形是等腰三角形
C．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
D．三角形的角平分线将三角形分成面积相等的两部分
6．（2024八下·罗湖期中）由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
7．（2024八下·罗湖期中）如图，在中，，，于D，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·罗湖期中）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，交于点，若，则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．19
9．（2024八下·罗湖期中）如图，是的平分线，于点E，，，，则的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2024八下·罗湖期中）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八下·罗湖期中）分解因式： －9= ．
12．（2024八下·罗湖期中）如果将点A（-3，-1）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到点B，那么点B的坐标是 ．
13．（2024八下·罗湖期中）某次知识竞赛共有20道选择题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣3分，若小刚希望总得分不少于70分，则他至少需答对 道题．
14．（2024八下·罗湖期中）如图，在中，，，绕点A按逆时针方向旋转到的位置，点D在边上，交于点F，则 ．
15．（2024八下·罗湖期中）如图，三角形纸片中，，，，折叠这个三角形，使点B落在的中点D处，折痕为，那么的长为 ．
16．（2024八下·罗湖期中）解不等式组，并在数轴上画出该不等式组的解集．
17．（2024八下·罗湖期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请你画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请你画出关于原点对称的；
（3）在轴上找一点，使的周长最小，请你标出点的位置，此时点的坐标为______．
18．（2024八下·罗湖期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若周长为，，求长．
19．（2024八下·罗湖期中）阅读理解题：
原理：对于任意两个实数、，若，则和同号，即：或；若，则和异号，即：或．
（1）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化为求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ），请你按照此种方法求出不等式的解集；
（2）应用：解不等式．
20．（2024八下·罗湖期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
原料 甲种原料 乙种原料
维生素C含量（单位） 500 200
原料价格（元） 8 4
现配制这种饮料，要求至少含有4100单位的维生素C，设购买甲种原料x千克．
（1）问至少需要购买甲种原料多少千克？
（2）设用于购买这两种原料的总费用不超过76元时，则x在什么范围内才符合要求？
21．（2024八下·罗湖期中）某同学用学习一次函数式积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决下列问题．
（1）请你完成下列步骤，并画出函数的图象．
①列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 4
2
0 1 2 …
②描点；
③连线．
（2）观察图象，当x______1时（填“＞”，“＜”或“＝”），y随x的增大而减小；
（3）根据图象，不等式的解集为______．
22．（2024八下·罗湖期中）某数学兴趣小组进行了如下探究活动，请你与他们一起参与吧．
（1）问题背景：如图1，在等腰直角中，点C是边上的中点，点D是上一点，连接并延长至点E，使得，连接，请证明：；
（2）迁移应用：如图2，和均为等腰直角三角形，，，将绕点B旋转，连接，点E为中点，连接，请你判断与的数量关系以及位置关系，并证明．
（3）拓展延伸：如图3，将（2）中等腰直角换成等腰直角，，将绕点O旋转，连接，点E为中点，连接，当点A、C、D三点共线时，若，，请你求出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 由左到右的变形不属于因式分解，故选项A错误，不符合题意；
B、由左到右的变形属于因式分解，故选项B正确，符合题意；
C、由左到右的变形不属于因式分解，故选项C错误，不符合题意；
D、由左到右的变形不属于因式分解，故选项D错误，不符合题意.
故正答案为：B.
【分析】因式分解是把一个多项式分解成整式积的形式，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.，不符题意；
B.由得：，则，符合题意；
C.，不符题意；
D.，不符题意；
故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质对每个选项一一判断即可。
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式得：x 3，
∴在数轴上表示为
故答案为：A.
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；真命题与假命题；三角形的中线
【解析】【解答】解：A、“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”说法正确，是真命题；
B、“ 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ”说法正确，是真命题；
C、“ 三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等 ”说法正确，是真命题；
D、“ 三角形的角平分线将三角形分成面积相等的两部分 ”说法错误，应该是三角形的中线的把三角形的面积分为相等的两部分，故此选项说法错误，是假命题.
故答案为：D.
【分析】假命题是错误的命题，根据含30°角直角三角形的性质可判断A选项；根据等腰三角形的判定定理可判断B选项；根据线段垂直平分线的性质可判断C选项；三角形的角平分线平分三角形的内角，不平分三角形的面积而三角形的中线平分三角形的面积，据此可判断D选项；
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：①根据作图得，故，符合题意；
②根据作图得，不符合题意；
③根据作图得
平分，，
∴，
∴，
∴，
因此③符合题意；
④根据作图得，不符合题意，
∴符合题意的有①③，
故答案为：C．
【分析】利用等腰三角形的定义及作图方法和步骤逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】先利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求出∠B的度数，再结合∠BDC=90°利用角的运算求出∠DCB的度数即可.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：垂直平分线段，
，
，，
的周长为：，
故答案为：B．
【分析】利用垂直平分线的性质可得BE=EC，再利用三角形的周长公式及等量代换求出三角形的周长即可.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于点，如图，
平分，，，
，
，
，
即，
解得：．
故答案为：A．
【分析】过作于点，先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式列出等式，最后求出AC的长即可.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，，，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，先利用等边三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，可得，再利用勾股定理的逆定理证出，最后利用角的运算求出即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
12．【答案】（-1，-4）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点A（-3，-1）向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度得到点B（-3+2，-1-3）
即（-1，-4），
故答案为：（-1，-4）．
【分析】根据平移的性质求点的坐标即可。
13．【答案】10
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设要答对x道，由题意可得：，
解得：，
根据x必须为整数，故x取最小整数10，
故答案为：10．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，
，
由旋转得，，，
，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠C=45°，再利用角的运算求出，再结合，利用角的运算求出即可.
15．【答案】7
【知识点】二次根式的乘除法；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，
∵，，
∴，
在Rt△AHC中，∠C=30°，
∴AC=2AH，，
∴，
又∵点D是AC的中点，
∴，
∴， ，
∴，
设BF=x，则FG=-x，FD=BF=x，
在Rt△DFG中，由勾股定理可得，，即，
解得：x=7，
故答案为：7.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，先求出，设BF=x，则FG=-x，FD=BF=x，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可.
16．【答案】解：，
由①得：，
由②得：，，
综合①②可知，该不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
17．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】（3）解：取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
此时，为最小值，
∴最小，
即的周长最小，
则点即为所求．
由图可知，点的坐标为．
故答案为：．
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时，为最小值，再结合图形求出点P的坐标即可.
18．【答案】（1）解：，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
，
，
，
，
；
（2）解：周长，，
，
∴，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得AE=EC，再利用等边对等角的性质可得，再结合，求出即可；
（2）利用三角形的周长公式及等量代换可得，再求出即可．
（1）解：，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
，
，
，
，
；
（2）解：周长，，
，
即，
．
19．【答案】（1）解：∵，
∴①或②，
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：，
综上，原不等式得解集为或.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴③或④，
解不等式组③，得：或，无解，
解不等式组④，得：，
综上，原不等式得解集为．
【知识点】因式分解﹣公式法；解一元一次不等式组；有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法分类讨论：①或②，再利用一元一次不等式的计算方法分析求解即可；
（2）参照题干中的计算方法分类讨论：③或④，再利用一元一次不等式的计算方法分析求解即可.
（1）解：∵，
∴①或②，
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：，
综上，原不等式得解集为或；
（2）∵，
∴，
∴，
∴③或④，
解不等式组③，得：或，无解，
解不等式组④，得：，
综上，原不等式得解集为．
20．【答案】（1）解：设购买甲种原料x千克，则购买乙种原料千克，
根据题意得，，
解得：，
答：至少需要购买甲种原料7千克.
（2）解：∵购买这两种原料的总费用不超过76元，
根据题意得，，
解得：，
∵由（1）中，
∴符合要求的x的范围内是．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买甲种原料x千克，则购买乙种原料千克，根据“ 要求至少含有4100单位的维生素C ”列出不等式，再求解即可；
（2）根据“购买这两种原料的总费用不超过76元”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设购买甲种原料x千克，则购买乙种原料千克，
根据题意得，，
解得，
答：至少需要购买甲种原料7千克；
（2）解：∵购买这两种原料的总费用不超过76元，
根据题意得，，
解得，
又由（1）中，则可知．
∴符合要求的x的范围内是．
21．【答案】（1）解：①列表：
x … 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 1 0 1 2 …
②描点；
③连线；
所得图象如图所示：
（2）
（3）
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（2）解：由（1）中图象可知：当时，y随x的增大而减小；
故答案为：＜；
（3）解：由题意可得图象如图所示，
∴根据函数图象可知不等式的解集为；
故答案为：．
【分析】（1）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；
（2）结合函数图象分析求解即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1）解：①列表：
x … 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 1 0 1 2 …
②描点；
③连线；
所得图象如图所示：
（2）解：由（1）中图象可知：当时，y随x的增大而减小；
故答案为＜；
（3）解：由题意可得图象如图所示，
∴根据函数图象可知不等式的解集为；
故答案为．
22．【答案】（1）证明：∵点C是边上的中点，
∴，
∵，，
∴在与中，
，
∴．
（2）解：结论：与的数量关系是，位置关系是．证明过程如下：
延长至G，使得，连接，如图所示：
∵点E为中点，即，
∴在与中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵E是的中点，则也是等腰直角三角形，
∴与的数量关系是，位置关系是．
（3）解：情况一：延长至G，使得，连接，如图所示：
∵点E为中点，即，
在与中，
，
∴．
则，，
∴，
又，
∴，
即，
则在与中，
，
∴，则，
过O作于H，
∵在等腰直角中，，，
∴，
∴，
∴
，
∴；
情况二：与情况一类似，如图所示：
根据题意可得：，，
∴
，
∴，
综上可知，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用线段中点的性质可得AC=BC，再利用“SAS”证出即可；
（2）延长至G，使得，连接，先利用“SAS”证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，可得，，证出是等腰直角三角形，即可证出与的数量关系是，位置关系是；
（3）分类讨论，参照（2）的计算方法，利用全等三角形的判定方法和性质及勾股定理分析求解即可.
（1）证明：∵点C是边上的中点，
∴，
又∵，，
∴在与中，
，
∴．
（2）解：与的数量关系是，位置关系是．
下面是证明过程：
延长至G，使得，连接，
∵点E为中点，即，
∴在与中，
，
∴．
∴，
∵，
即，，
即，，
即，，
即，
则，又，即，
∴在与中，
，
∴，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵E是的中点，则也是等腰直角三角形，
∴与的数量关系是，位置关系是．
（3）解：情况一：延长至G，使得，连接，
∵点E为中点，即，
在与中，
，
∴．
则，，
∴，
又，
∴，
即，
则在与中，
，
∴，则，
过O作于H，
∵在等腰直角中，，，
∴，
则，
则
，即；
情况二：与情况一类似，，，
，即，
综上可知，的长为或．
广东省深圳市罗湖区翠园实验学校，桂圆中学等学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·罗湖期中）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．（2024八下·罗湖期中）下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 由左到右的变形不属于因式分解，故选项A错误，不符合题意；
B、由左到右的变形属于因式分解，故选项B正确，符合题意；
C、由左到右的变形不属于因式分解，故选项C错误，不符合题意；
D、由左到右的变形不属于因式分解，故选项D错误，不符合题意.
故正答案为：B.
【分析】因式分解是把一个多项式分解成整式积的形式，据此逐一判断得出答案.
3．（2024八下·罗湖期中）已知实数a，b，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.，不符题意；
B.由得：，则，符合题意；
C.，不符题意；
D.，不符题意；
故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质对每个选项一一判断即可。
4．（2024八下·罗湖期中）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式得：x 3，
∴在数轴上表示为
故答案为：A.
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
5．（2024八下·罗湖期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
B．有两个角相等的三角形是等腰三角形
C．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等
D．三角形的角平分线将三角形分成面积相等的两部分
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；真命题与假命题；三角形的中线
【解析】【解答】解：A、“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”说法正确，是真命题；
B、“ 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ”说法正确，是真命题；
C、“ 三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等 ”说法正确，是真命题；
D、“ 三角形的角平分线将三角形分成面积相等的两部分 ”说法错误，应该是三角形的中线的把三角形的面积分为相等的两部分，故此选项说法错误，是假命题.
故答案为：D.
【分析】假命题是错误的命题，根据含30°角直角三角形的性质可判断A选项；根据等腰三角形的判定定理可判断B选项；根据线段垂直平分线的性质可判断C选项；三角形的角平分线平分三角形的内角，不平分三角形的面积而三角形的中线平分三角形的面积，据此可判断D选项；
6．（2024八下·罗湖期中）由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：①根据作图得，故，符合题意；
②根据作图得，不符合题意；
③根据作图得
平分，，
∴，
∴，
∴，
因此③符合题意；
④根据作图得，不符合题意，
∴符合题意的有①③，
故答案为：C．
【分析】利用等腰三角形的定义及作图方法和步骤逐项分析判断即可.
7．（2024八下·罗湖期中）如图，在中，，，于D，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】先利用等腰三角形的性质及三角形的内角和求出∠B的度数，再结合∠BDC=90°利用角的运算求出∠DCB的度数即可.
8．（2024八下·罗湖期中）如图，在中，，，边的垂直平分线交于，交于点，若，则的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．19
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：垂直平分线段，
，
，，
的周长为：，
故答案为：B．
【分析】利用垂直平分线的性质可得BE=EC，再利用三角形的周长公式及等量代换求出三角形的周长即可.
9．（2024八下·罗湖期中）如图，是的平分线，于点E，，，，则的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于点，如图，
平分，，，
，
，
，
即，
解得：．
故答案为：A．
【分析】过作于点，先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式列出等式，最后求出AC的长即可.
10．（2024八下·罗湖期中）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，，，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，先利用等边三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，可得，再利用勾股定理的逆定理证出，最后利用角的运算求出即可．
11．（2024八下·罗湖期中）分解因式： －9= ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
12．（2024八下·罗湖期中）如果将点A（-3，-1）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到点B，那么点B的坐标是 ．
【答案】（-1，-4）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点A（-3，-1）向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度得到点B（-3+2，-1-3）
即（-1，-4），
故答案为：（-1，-4）．
【分析】根据平移的性质求点的坐标即可。
13．（2024八下·罗湖期中）某次知识竞赛共有20道选择题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣3分，若小刚希望总得分不少于70分，则他至少需答对 道题．
【答案】10
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设要答对x道，由题意可得：，
解得：，
根据x必须为整数，故x取最小整数10，
故答案为：10．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
14．（2024八下·罗湖期中）如图，在中，，，绕点A按逆时针方向旋转到的位置，点D在边上，交于点F，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，
，
由旋转得，，，
，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠C=45°，再利用角的运算求出，再结合，利用角的运算求出即可.
15．（2024八下·罗湖期中）如图，三角形纸片中，，，，折叠这个三角形，使点B落在的中点D处，折痕为，那么的长为 ．
【答案】7
【知识点】二次根式的乘除法；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，
∵，，
∴，
在Rt△AHC中，∠C=30°，
∴AC=2AH，，
∴，
又∵点D是AC的中点，
∴，
∴， ，
∴，
设BF=x，则FG=-x，FD=BF=x，
在Rt△DFG中，由勾股定理可得，，即，
解得：x=7，
故答案为：7.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，先求出，设BF=x，则FG=-x，FD=BF=x，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可.
16．（2024八下·罗湖期中）解不等式组，并在数轴上画出该不等式组的解集．
【答案】解：，
由①得：，
由②得：，，
综合①②可知，该不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
17．（2024八下·罗湖期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请你画出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）请你画出关于原点对称的；
（3）在轴上找一点，使的周长最小，请你标出点的位置，此时点的坐标为______．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】（3）解：取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
此时，为最小值，
∴最小，
即的周长最小，
则点即为所求．
由图可知，点的坐标为．
故答案为：．
【分析】（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时，为最小值，再结合图形求出点P的坐标即可.
18．（2024八下·罗湖期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若周长为，，求长．
【答案】（1）解：，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
，
，
，
，
；
（2）解：周长，，
，
∴，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得AE=EC，再利用等边对等角的性质可得，再结合，求出即可；
（2）利用三角形的周长公式及等量代换可得，再求出即可．
（1）解：，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
，
，
，
，
；
（2）解：周长，，
，
即，
．
19．（2024八下·罗湖期中）阅读理解题：
原理：对于任意两个实数、，若，则和同号，即：或；若，则和异号，即：或．
（1）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化为求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ），请你按照此种方法求出不等式的解集；
（2）应用：解不等式．
【答案】（1）解：∵，
∴①或②，
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：，
综上，原不等式得解集为或.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴③或④，
解不等式组③，得：或，无解，
解不等式组④，得：，
综上，原不等式得解集为．
【知识点】因式分解﹣公式法；解一元一次不等式组；有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法分类讨论：①或②，再利用一元一次不等式的计算方法分析求解即可；
（2）参照题干中的计算方法分类讨论：③或④，再利用一元一次不等式的计算方法分析求解即可.
（1）解：∵，
∴①或②，
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：，
综上，原不等式得解集为或；
（2）∵，
∴，
∴，
∴③或④，
解不等式组③，得：或，无解，
解不等式组④，得：，
综上，原不等式得解集为．
20．（2024八下·罗湖期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
原料 甲种原料 乙种原料
维生素C含量（单位） 500 200
原料价格（元） 8 4
现配制这种饮料，要求至少含有4100单位的维生素C，设购买甲种原料x千克．
（1）问至少需要购买甲种原料多少千克？
（2）设用于购买这两种原料的总费用不超过76元时，则x在什么范围内才符合要求？
【答案】（1）解：设购买甲种原料x千克，则购买乙种原料千克，
根据题意得，，
解得：，
答：至少需要购买甲种原料7千克.
（2）解：∵购买这两种原料的总费用不超过76元，
根据题意得，，
解得：，
∵由（1）中，
∴符合要求的x的范围内是．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买甲种原料x千克，则购买乙种原料千克，根据“ 要求至少含有4100单位的维生素C ”列出不等式，再求解即可；
（2）根据“购买这两种原料的总费用不超过76元”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设购买甲种原料x千克，则购买乙种原料千克，
根据题意得，，
解得，
答：至少需要购买甲种原料7千克；
（2）解：∵购买这两种原料的总费用不超过76元，
根据题意得，，
解得，
又由（1）中，则可知．
∴符合要求的x的范围内是．
21．（2024八下·罗湖期中）某同学用学习一次函数式积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决下列问题．
（1）请你完成下列步骤，并画出函数的图象．
①列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 4
2
0 1 2 …
②描点；
③连线．
（2）观察图象，当x______1时（填“＞”，“＜”或“＝”），y随x的增大而减小；
（3）根据图象，不等式的解集为______．
【答案】（1）解：①列表：
x … 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 1 0 1 2 …
②描点；
③连线；
所得图象如图所示：
（2）
（3）
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（2）解：由（1）中图象可知：当时，y随x的增大而减小；
故答案为：＜；
（3）解：由题意可得图象如图所示，
∴根据函数图象可知不等式的解集为；
故答案为：．
【分析】（1）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；
（2）结合函数图象分析求解即可；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1）解：①列表：
x … 0 1 2 3 …
y … 4 3 2 1 0 1 2 …
②描点；
③连线；
所得图象如图所示：
（2）解：由（1）中图象可知：当时，y随x的增大而减小；
故答案为＜；
（3）解：由题意可得图象如图所示，
∴根据函数图象可知不等式的解集为；
故答案为．
22．（2024八下·罗湖期中）某数学兴趣小组进行了如下探究活动，请你与他们一起参与吧．
（1）问题背景：如图1，在等腰直角中，点C是边上的中点，点D是上一点，连接并延长至点E，使得，连接，请证明：；
（2）迁移应用：如图2，和均为等腰直角三角形，，，将绕点B旋转，连接，点E为中点，连接，请你判断与的数量关系以及位置关系，并证明．
（3）拓展延伸：如图3，将（2）中等腰直角换成等腰直角，，将绕点O旋转，连接，点E为中点，连接，当点A、C、D三点共线时，若，，请你求出线段的长．
【答案】（1）证明：∵点C是边上的中点，
∴，
∵，，
∴在与中，
，
∴．
（2）解：结论：与的数量关系是，位置关系是．证明过程如下：
延长至G，使得，连接，如图所示：
∵点E为中点，即，
∴在与中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵E是的中点，则也是等腰直角三角形，
∴与的数量关系是，位置关系是．
（3）解：情况一：延长至G，使得，连接，如图所示：
∵点E为中点，即，
在与中，
，
∴．
则，，
∴，
又，
∴，
即，
则在与中，
，
∴，则，
过O作于H，
∵在等腰直角中，，，
∴，
∴，
∴
，
∴；
情况二：与情况一类似，如图所示：
根据题意可得：，，
∴
，
∴，
综上可知，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用线段中点的性质可得AC=BC，再利用“SAS”证出即可；
（2）延长至G，使得，连接，先利用“SAS”证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，可得，，证出是等腰直角三角形，即可证出与的数量关系是，位置关系是；
（3）分类讨论，参照（2）的计算方法，利用全等三角形的判定方法和性质及勾股定理分析求解即可.
（1）证明：∵点C是边上的中点，
∴，
又∵，，
∴在与中，
，
∴．
（2）解：与的数量关系是，位置关系是．
下面是证明过程：
延长至G，使得，连接，
∵点E为中点，即，
∴在与中，
，
∴．
∴，
∵，
即，，
即，，
即，，
即，
则，又，即，
∴在与中，
，
∴，
则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵E是的中点，则也是等腰直角三角形，
∴与的数量关系是，位置关系是．
（3）解：情况一：延长至G，使得，连接，
∵点E为中点，即，
在与中，
，
∴．
则，，
∴，
又，
∴，
即，
则在与中，
，
∴，则，
过O作于H，
∵在等腰直角中，，，
∴，
则，
则
，即；
情况二：与情况一类似，，，
，即，
综上可知，的长为或．
