云南省昆明市昆明市第十中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
一、单选题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每题2分，共30分）
1．（2024八下·昆明期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·昆明期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·昆明期中）如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
4．（2024八下·昆明期中）某校进行广播操比赛，如图是20位评委给某班的评分情况统计图，则该班平均得分（ ）
A．9 B．6.67 C．9.1 D．6.74
5．（2024八下·昆明期中）如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·昆明期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
7．（2024八下·昆明期中）如图，四边形是正方形，延长到点，使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·昆明期中）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直
D．正方形的对角线互相垂直且相等
9．（2024八下·昆明期中）如图，在矩形ABCD纸片中，E为AD上一点，将沿CE翻折至．若点F恰好落在AB上，，，则（ ）
A．5.8 B．5 C．4.8 D．3
10．（2024八下·昆明期中）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024八下·昆明期中）如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八下·昆明期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ）
A．48 B．64 C．96 D．112
13．（2024八下·昆明期中）若实数、、在数轴上的对应点如图所示，则的结果是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024八下·昆明期中） 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
15．（2024八下·昆明期中）如图，ABCD中，对角线，相交于O，，E，F，G分别是，，的中点，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共4个小题，每题2分，共8分）
16．（2024八下·昆明期中）若代数式有意义，则的取值范围是 ．
17．（2024八下·昆明期中）为进一步推进素质教育，不断丰富校园文化生活，陶冶艺术情操，展现中学生艺术素质教育成果．月份某校开展了“奏响时代主题，展现校园风采”为主题的器乐大赛．经过几轮筛选，校团委决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区级器乐比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分）如表所示：若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择
甲 乙 丙 丁
平均数 98 96 98 95
方差 0.4 2 1.6 0.4
18．（2024八下·昆明期中）如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，，则数轴上点A所表示的数为 ．
19．（2024八下·昆明期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t= 时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20．（2024八下·昆明期中）计算：
（1）；
（2）．
21．（2024八下·昆明期中）2023年大年初一上映两部电影，其一《满江红》以岳飞抗金为背景，讲述了南宋绍兴年间的历史事件，其二《流浪地球2》为观众展现末日危机下，人类在求生之路过程中的矛盾与冲突、勇气与团结．为了解该校九年级学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
《满江红》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9；
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数：
平均数 众数 中位数
满江红
流浪地球
根据以上信息，解答下列问题．
（1）上述图表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若该校九年级1100名学生都对这两部作品进行打分，请估计这两部作品一共得到多少个满分？
22．（2024八下·昆明期中）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题：
（1）四边形的面积；
（2）点D到的距离．
23．（2024八下·昆明期中）如图，E，F是平行四边形的对角线上的两点，，连接，．求证：．
24．（2024八下·昆明期中） 如图，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，平行线与间的距离为，求菱形的面积．
25．（2024八下·昆明期中）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的：
，
∴，
∴，，∴，
∴．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：．
（2）若．
①化简，求的值；
②求的值．
26．（2024八下·昆明期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
（2）若是可爱三角形，，，求的长．
27．（2024八下·昆明期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 = ，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、 ，是最简二次根式，故此选项正确；
C、 =2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、 = ，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：B．
【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．
2．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B.，故正确；
C.，故错误；
D.，故错误；
故答案为：B
【分析】根据二次根式的加减乘除法逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，，
四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B、，，
四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C、由，，不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
D、，，
四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：该班平均得分 =9.1（分），
故答案为：C．
【分析】利用平均数的计算方法求解即可。
5．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D， E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查三角形中位线定理；根据题意可知是的中位线，利用三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半进行计算可求出答案．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m
则小巷的宽为2.7m
故答案为：D
【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠BCA=45°，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC=（180°-∠CAE）=67.5°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先求出∠CAB=∠BCA=45°，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得∠ACE=∠AEC=（180°-∠CAE）=67.5°，最后利用角的运算求出即可。
8．【答案】A
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，本选项符合题意．
B、矩形的对角线相等的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意．
C、菱形的对角线互相垂直的逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意．
D、正方形的对角线互相垂直且相等的逆命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题，本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据逆命题的定义，写出逆命题，再根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝10﹣x，
∵△CDE沿CE翻折至△CFE，
∴EF＝DE＝10﹣x，
在Rt△AEF中，AF2+AE2＝EF2，
∴42+x2＝（10﹣x）2，
解得x＝4.2，
∴AE＝4.2，
∴DE＝AD－AE＝5.8，
故答案为：A．
【分析】设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝10﹣x，EF＝DE＝10﹣x，利用勾股定理可得42+x2＝（10﹣x）2，求出x的值，即可得到AE的长，最后利用线段的和差可得DE的长。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32=（10-x）2.
故答案为：D.
【分析】设折断处离地面x尺，则折断的长为(10-x)尺，接下来结合勾股定理即可列出方程.
11．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由题中作图可得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点的坐标是，
故答案为：A
【分析】根据勾股定理可得AB=5，再根据平行四边形性质可得，则，即，即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意得，阴影部分四个直角三角形是全等的，且小正方形边长为，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式．观察图形可得：阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积，进而可求出阴影部分的面积．
13．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据数轴上点的位置关系可得，根据二次根式，绝对值性质化简，即可求出答案.
14．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，，
∵于点E，于点F，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：C．
【分析】连接，利用勾股定理求出AB，证明四边形是矩形，可得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求出OP即可.
15．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形
∴，，，，
∵，即，
∴，
∵点E 是中点，
∴，①正确；
②∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∵点G是上的中点，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，②正确；
③∵，即，
又点G是上的中点，
∴，
∴，但无法证明，③错误，
④∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，④正确．
故答案为：B
【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质．利用平行四边形的性质可得，，据此可推出，利用等腰三角形的“三线合一”可推出，据此可判断①；利用三角形的中位线定理可得：，，进而推出，，利用平行四边形的判定定理可证明四边形是平行四边形，据此可判断②；根据直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出，但无法证明，据此可判断③；根据，利用平行线的性质可推出，再根据，根据等边对等角可推出：，据此可得，利用角平分线的定义可判断④．
16．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据分式，二次根式有意义的条件即可求出答案.
17．【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：甲、丙同学的平均数比乙、丁同学高，
应从甲和丙同学中选，
甲同学的方差比丙同学的小，
甲同学的成绩较好且状态稳定，应选的是甲同学．
故答案为：甲．
【分析】本题考查利用平均数和方差作决策．根据方差的统计学意义：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好”．再观察表格中的平均数和方差，据此可决策，得到答案．
18．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵BC=，
则AB=BC=，
∵A在原点右侧．
则点A所表示的数是．
故答案为：．
【分析】本题考查实数与数轴之间的对应关系.先利用勾股定理求出线段BC的长度，再根据AB=CB即可求出AB的长度，在根据A在原点右侧，据此可以求出数轴上点A所表示的数．
19．【答案】2或6
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意知，可分两种情况：
①当为平行四边形的边，则P在D点左侧，，
∵，
∴，
解得；
②当为平行四边形的对角线，P在D点右侧，，
∵，
∴，
解得，
综上所述，当或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为：2或6．
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质.根据题意分两种情况：当为平行四边形的边时，根据平行四边形的性质可推出：，据此可列出方程，解方程可求出t的值；当为平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质可推出：，据此可列出方程，解方程可求出t的值．
20．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）先根据计算二次根式乘除运算，再基础二次根式加减运算可求出答案．
（2）先利用平方差公式和完全平方公式将括号进行展开可得：原式，再进行合并同类型可求出答案．
21．【答案】（1），，；
（2）解：（人），
答：这两部作品一共可得到个满分．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)解：《流浪地球2》调查得分为“分”所占的百分比为：，即，
满江红调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，
因此中位数是，即，
满江红和流浪地球调查得分出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是，即，
故答案为：，，；
【分析】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数：
（1）先求出流浪地球调查得分为“分”所占的百分比，进而可求出“分”所占的百分比，据此可求出的值，再根据中位数、众数的定义可求出、的值，
（2）先求出两部作品满分人数所占的百分比，再利用总人数乘以所占的百分比可求出答案．
22．【答案】（1）解：连结，
在中，∵，，
∴
在中，∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴
答：四边形的面积为．
（2）解：过点D作于点E
∵
∴；
答：点D到的距离为．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用，结合三角形面积即可求出答案.
（2）过点D作于点E，根据三角面积即可求出答案.
23．【答案】证明：如图，连接交于O点，
∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质．如图，连接交于O点，利用平行四边形的性质可得，再根据，利用线段的运算可求出：，利用平行四边形的判定定理可证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行可证明结论．
24．【答案】（1）∵是的中点，
∴．
∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴．
∵是边中线，，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）作于点G，则，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积是．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；平行四边形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）首先根据，可判定的出四边形AFCD是平行四边形，然后再根据直角三角形斜边上的中线的性质得出AD=CD，从而得出 四边形是菱形；
（2） 首先可以得出是等边三角形， 然后再根据 平行线与间的距离为， 可求得CD=8，然后根据平行四边形面积计算公式即可得出菱形的面积。
25．【答案】（1）解：
；
（2）解：①，
，
，
，
，
；
②由①知，
．
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【分析】（1）先利用分母有理化化简，再计算即可；
（2）先利用分母有理化化简可得，再将a的值代入①②的代数式求解即可。
26．【答案】（1）①是；②是
（2）解：∵是直角三角形，，
∴，即．
∵是可爱三角形，，
∴有三种情况：
①，即．
∴．
∴（负值已舍去）；
②，即．
∴．
∴（负值已舍去）；
③，此种情况不成立．
综上，的长为或．
【知识点】最简二次根式；勾股定理
【解析】【解答】（1）解：①设等边三角形的边长为，
∵，
∴等边三角形一定是“可爱三角形”，
故答案为：是；
②∵，
∴该三角形是“可爱三角形”，
故答案为：是；
【分析】（1）①设等边三角形的边长为，根据“可爱三角形”的定义可作出判断；
②利用“可爱三角形”的定义可作出判断；
（2）根据勾股定理得BC2=AB2-AC2，由题意需要分三种情况：AB2+AC2=2BC2；AB2+BC2=2AC2；AC2+BC2=AB2≠2AB2，进行计算可依次求出的长．
27．【答案】（1）证明：∵正方形，∴，
作于P，于Q，
∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2中，在中，，
∵，
∴，
∴为的中点，
∴，
∴点F与C重合，矩形为正方形，
∴．
（3）解：①当与的夹角为时，点F在BC边上，，
则，
在四边形中，由四边形内角和定理得：，
②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示：
∵，
∴，
综上所述，或．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
云南省昆明市昆明市第十中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
一、单选题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每题2分，共30分）
1．（2024八下·昆明期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、 = ，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、 ，是最简二次根式，故此选项正确；
C、 =2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、 = ，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：B．
【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．
2．（2024八下·昆明期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B.，故正确；
C.，故错误；
D.，故错误；
故答案为：B
【分析】根据二次根式的加减乘除法逐项进行判断即可求出答案.
3．（2024八下·昆明期中）如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，，
四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B、，，
四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C、由，，不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
D、，，
四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
4．（2024八下·昆明期中）某校进行广播操比赛，如图是20位评委给某班的评分情况统计图，则该班平均得分（ ）
A．9 B．6.67 C．9.1 D．6.74
【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：该班平均得分 =9.1（分），
故答案为：C．
【分析】利用平均数的计算方法求解即可。
5．（2024八下·昆明期中）如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D， E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查三角形中位线定理；根据题意可知是的中位线，利用三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半进行计算可求出答案．
6．（2024八下·昆明期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m
则小巷的宽为2.7m
故答案为：D
【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案.
7．（2024八下·昆明期中）如图，四边形是正方形，延长到点，使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠BCA=45°，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC=（180°-∠CAE）=67.5°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】先求出∠CAB=∠BCA=45°，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得∠ACE=∠AEC=（180°-∠CAE）=67.5°，最后利用角的运算求出即可。
8．（2024八下·昆明期中）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直
D．正方形的对角线互相垂直且相等
【答案】A
【知识点】矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，本选项符合题意．
B、矩形的对角线相等的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意．
C、菱形的对角线互相垂直的逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意．
D、正方形的对角线互相垂直且相等的逆命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题，本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据逆命题的定义，写出逆命题，再根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
9．（2024八下·昆明期中）如图，在矩形ABCD纸片中，E为AD上一点，将沿CE翻折至．若点F恰好落在AB上，，，则（ ）
A．5.8 B．5 C．4.8 D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝10﹣x，
∵△CDE沿CE翻折至△CFE，
∴EF＝DE＝10﹣x，
在Rt△AEF中，AF2+AE2＝EF2，
∴42+x2＝（10﹣x）2，
解得x＝4.2，
∴AE＝4.2，
∴DE＝AD－AE＝5.8，
故答案为：A．
【分析】设AE＝x，则DE＝AD﹣AE＝10﹣x，EF＝DE＝10﹣x，利用勾股定理可得42+x2＝（10﹣x）2，求出x的值，即可得到AE的长，最后利用线段的和差可得DE的长。
10．（2024八下·昆明期中）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32=（10-x）2.
故答案为：D.
【分析】设折断处离地面x尺，则折断的长为(10-x)尺，接下来结合勾股定理即可列出方程.
11．（2024八下·昆明期中）如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由题中作图可得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点的坐标是，
故答案为：A
【分析】根据勾股定理可得AB=5，再根据平行四边形性质可得，则，即，即可求出答案.
12．（2024八下·昆明期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ）
A．48 B．64 C．96 D．112
【答案】B
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意得，阴影部分四个直角三角形是全等的，且小正方形边长为，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式．观察图形可得：阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积，进而可求出阴影部分的面积．
13．（2024八下·昆明期中）若实数、、在数轴上的对应点如图所示，则的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据数轴上点的位置关系可得，根据二次根式，绝对值性质化简，即可求出答案.
14．（2024八下·昆明期中） 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，，
∵于点E，于点F，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：C．
【分析】连接，利用勾股定理求出AB，证明四边形是矩形，可得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求出OP即可.
15．（2024八下·昆明期中）如图，ABCD中，对角线，相交于O，，E，F，G分别是，，的中点，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形
∴，，，，
∵，即，
∴，
∵点E 是中点，
∴，①正确；
②∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∵点G是上的中点，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，②正确；
③∵，即，
又点G是上的中点，
∴，
∴，但无法证明，③错误，
④∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，④正确．
故答案为：B
【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质．利用平行四边形的性质可得，，据此可推出，利用等腰三角形的“三线合一”可推出，据此可判断①；利用三角形的中位线定理可得：，，进而推出，，利用平行四边形的判定定理可证明四边形是平行四边形，据此可判断②；根据直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出，但无法证明，据此可判断③；根据，利用平行线的性质可推出，再根据，根据等边对等角可推出：，据此可得，利用角平分线的定义可判断④．
二、填空题（本大题共4个小题，每题2分，共8分）
16．（2024八下·昆明期中）若代数式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：代数式有意义，
且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据分式，二次根式有意义的条件即可求出答案.
17．（2024八下·昆明期中）为进一步推进素质教育，不断丰富校园文化生活，陶冶艺术情操，展现中学生艺术素质教育成果．月份某校开展了“奏响时代主题，展现校园风采”为主题的器乐大赛．经过几轮筛选，校团委决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区级器乐比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分）如表所示：若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择
甲 乙 丙 丁
平均数 98 96 98 95
方差 0.4 2 1.6 0.4
【答案】甲
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：甲、丙同学的平均数比乙、丁同学高，
应从甲和丙同学中选，
甲同学的方差比丙同学的小，
甲同学的成绩较好且状态稳定，应选的是甲同学．
故答案为：甲．
【分析】本题考查利用平均数和方差作决策．根据方差的统计学意义：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好”．再观察表格中的平均数和方差，据此可决策，得到答案．
18．（2024八下·昆明期中）如图，已知长方形的一边在数轴上，宽为1，，则数轴上点A所表示的数为 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵BC=，
则AB=BC=，
∵A在原点右侧．
则点A所表示的数是．
故答案为：．
【分析】本题考查实数与数轴之间的对应关系.先利用勾股定理求出线段BC的长度，再根据AB=CB即可求出AB的长度，在根据A在原点右侧，据此可以求出数轴上点A所表示的数．
19．（2024八下·昆明期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t= 时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？
【答案】2或6
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意知，可分两种情况：
①当为平行四边形的边，则P在D点左侧，，
∵，
∴，
解得；
②当为平行四边形的对角线，P在D点右侧，，
∵，
∴，
解得，
综上所述，当或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为：2或6．
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质.根据题意分两种情况：当为平行四边形的边时，根据平行四边形的性质可推出：，据此可列出方程，解方程可求出t的值；当为平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质可推出：，据此可列出方程，解方程可求出t的值．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分）
20．（2024八下·昆明期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）先根据计算二次根式乘除运算，再基础二次根式加减运算可求出答案．
（2）先利用平方差公式和完全平方公式将括号进行展开可得：原式，再进行合并同类型可求出答案．
21．（2024八下·昆明期中）2023年大年初一上映两部电影，其一《满江红》以岳飞抗金为背景，讲述了南宋绍兴年间的历史事件，其二《流浪地球2》为观众展现末日危机下，人类在求生之路过程中的矛盾与冲突、勇气与团结．为了解该校九年级学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
《满江红》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9；
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数：
平均数 众数 中位数
满江红
流浪地球
根据以上信息，解答下列问题．
（1）上述图表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若该校九年级1100名学生都对这两部作品进行打分，请估计这两部作品一共得到多少个满分？
【答案】（1），，；
（2）解：（人），
答：这两部作品一共可得到个满分．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)解：《流浪地球2》调查得分为“分”所占的百分比为：，即，
满江红调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，
因此中位数是，即，
满江红和流浪地球调查得分出现次数最多的是分，共出现次，因此众数是，即，
故答案为：，，；
【分析】本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数：
（1）先求出流浪地球调查得分为“分”所占的百分比，进而可求出“分”所占的百分比，据此可求出的值，再根据中位数、众数的定义可求出、的值，
（2）先求出两部作品满分人数所占的百分比，再利用总人数乘以所占的百分比可求出答案．
22．（2024八下·昆明期中）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题：
（1）四边形的面积；
（2）点D到的距离．
【答案】（1）解：连结，
在中，∵，，
∴
在中，∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴
答：四边形的面积为．
（2）解：过点D作于点E
∵
∴；
答：点D到的距离为．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用，结合三角形面积即可求出答案.
（2）过点D作于点E，根据三角面积即可求出答案.
23．（2024八下·昆明期中）如图，E，F是平行四边形的对角线上的两点，，连接，．求证：．
【答案】证明：如图，连接交于O点，
∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质．如图，连接交于O点，利用平行四边形的性质可得，再根据，利用线段的运算可求出：，利用平行四边形的判定定理可证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行可证明结论．
24．（2024八下·昆明期中） 如图，在中，，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，平行线与间的距离为，求菱形的面积．
【答案】（1）∵是的中点，
∴．
∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴．
∵是边中线，，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）作于点G，则，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积是．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；平行四边形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）首先根据，可判定的出四边形AFCD是平行四边形，然后再根据直角三角形斜边上的中线的性质得出AD=CD，从而得出 四边形是菱形；
（2） 首先可以得出是等边三角形， 然后再根据 平行线与间的距离为， 可求得CD=8，然后根据平行四边形面积计算公式即可得出菱形的面积。
25．（2024八下·昆明期中）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的：
，
∴，
∴，，∴，
∴．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：．
（2）若．
①化简，求的值；
②求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：①，
，
，
，
，
；
②由①知，
．
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【分析】（1）先利用分母有理化化简，再计算即可；
（2）先利用分母有理化化简可得，再将a的值代入①②的代数式求解即可。
26．（2024八下·昆明期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
（2）若是可爱三角形，，，求的长．
【答案】（1）①是；②是
（2）解：∵是直角三角形，，
∴，即．
∵是可爱三角形，，
∴有三种情况：
①，即．
∴．
∴（负值已舍去）；
②，即．
∴．
∴（负值已舍去）；
③，此种情况不成立．
综上，的长为或．
【知识点】最简二次根式；勾股定理
【解析】【解答】（1）解：①设等边三角形的边长为，
∵，
∴等边三角形一定是“可爱三角形”，
故答案为：是；
②∵，
∴该三角形是“可爱三角形”，
故答案为：是；
【分析】（1）①设等边三角形的边长为，根据“可爱三角形”的定义可作出判断；
②利用“可爱三角形”的定义可作出判断；
（2）根据勾股定理得BC2=AB2-AC2，由题意需要分三种情况：AB2+AC2=2BC2；AB2+BC2=2AC2；AC2+BC2=AB2≠2AB2，进行计算可依次求出的长．
27．（2024八下·昆明期中）如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
【答案】（1）证明：∵正方形，∴，
作于P，于Q，
∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2中，在中，，
∵，
∴，
∴为的中点，
∴，
∴点F与C重合，矩形为正方形，
∴．
（3）解：①当与的夹角为时，点F在BC边上，，
则，
在四边形中，由四边形内角和定理得：，
②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示：
∵，
∴，
综上所述，或．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
