2024-2025 学年第二学期高一年级第一次学业诊断检测
数学试题
考试时间：120 分钟； 试卷分值：150 分
一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分）
1．已知集合 A = -1,0,1 ，则满足 A B = -1,0,1,2,3 的集合 B 可能是（ ）
A． -1,2 B． -1,0,1,3 C． -1,0,1 D． 0,2,3
2．下列函数中既是偶函数又在(0, + ∞)上单调递增的是（ ）
A y = x3
1
． B． y = x- 2 C． y = log2 | x | D． y =| x | + | x |
3．命题“ "x 0, + ， x2 + 2x 1”的否定是（ ）．
A $x 0, + x2 + 2x0 <1 B $x 0, + x2 + 2x． 00 ， 0 ． 0 ， 0 1
C．"x 0, + ， x2 + 2x <1 D．"x 0, + ， x2 + 2x 1
a P 3 4．已知第二象限角 的终边与单位圆交于 m, ÷，则 sin2a = （ ）
è 5
12 24 12 24
A．- B．- C． D．
25 25 25 25
5．已知正数 x ， y 满足 x + y =1，若 t > 2xy 恒成立，则实数 t的取值范围是（ ）
1 1
A．( ，+ ) B．(－ ， ) C．(1，+ ) D．(－ ，1 )
2 2
tan 3 sina 1- sin 2a 6．若 a = ，则 =（ ）
sina - cosa
3 6 - 3 6A． B． C． D．-
5 5 5 5
2
7．函数 f (x) x= 的图象大致为（ ）
2x - 2- x
A． B．
C． D．
ex 28 f(x) = 1, (x ≥ a)．已知函数 x2 x + 2, (x < a),若函数 f (x) 恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[-2,1) (2,+ ) B．[-1,2) [2,+ ) C． (-2,1] (2,+ ) D． (-2,1] [2,+ )
二、多选题（共 3 小题，每小题 6 分）
9．若 ac2 > bc2 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 a 1 b 1 1 b + c b
A． a3 > b3 B ． ÷ < ÷ C． < D． >
è 2 è 2 a b a + c a
10．有以下判断，其中是正确判断的有（ ）
ì 1, x 0
A． f x x= 与 g x = í 表示同一函数
x -1, x < 0
B．函数 y = f x 的图象与直线 x =1的交点最多有1个
C． f x = x2 - 2x +1与 g t = t 2 - 2t +1是同一函数
D．函数 y = f x 2,3 y f 2x 1 é3的定义域为 ，则函数 = - ù的定义域为 ê , 2 2 ú
11．函数 f x = 2sin wx +j w 0, j π > <
÷的图象经过点 0, 3 ，则下列说法正确的是（ ）
è 2
A．若 f x 的最小正周期是 π，则w = 2
B．若 f x π的图象关于直线 x = 对称，则w =1+ 3k k N
6
f x é0, π ù 1ùC．若 在 ê 上单调递增，则w 的取值范围是 0, 2 ú è 3 ú
2 w 5D．若 < ，则 f x 在 0, π 上有且只有 1 个零点
3 3
三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分）
sin p a 312．已知 - = ，则 cos 2a = .
5
ì f
x - 3 , x > 0
13．设函数 f x = í 则 f 2023 = .
log2 -x , x 0
x2 + x +1 y 3sin p x14．函数 y = 与 = +1的图象有 n 个交点，其坐标依次为 (x1, y1) ， (x2 , y2 )，…，x 2
(x n , y n )，则 1 + 1 + 2 + 2 +… + + = ．
四、解答题（共 77 分）
15．（13 分）U = R A = x x2， - 4x + 3 0 ， B = x x - 3 <1 ，C = x a x a +1, a R .
(1)分别求 A B ，A ∪ (CUB)； (2)若 B IC = C ，求实数 a 的取值范围.
16 15 sin(p a ) 4 3．（ 分）已知 - = , cos(a b ) 13- = ,0 < b p< a < ，
7 14 2
（1）求 sin(a p+ )的值； （2）求角 b 的大小.
3
1
17．（15 分）已知函数 f x = a x-2 的图象经过点 1, ÷ ，其中 a > 0且 a 1．
è 2
(1)若 f t + 2 = 3，求实数 a 和 t的值；
ì x +1 , x 0
(2)设函数 g x = í x ，请你在平面直角坐标系中作出 g x 的简图．
a -1, x > 0
①根据图象写出该函数的单调递增区间;
②求 g x 1的解集．
p p p
18．（17 分）设函数 f (x) = sin(wx - ) + cos(wx - ) ，其中0 < w < 3 . 已知 f ( ) = 0 .
3 2 3
（1）求w 值和 y = f (x) 的最小正周期.
（2）将函数 y = f (x) 1的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
4
p é p
个单位，得到函数 y = g(x) 的图象，求 g(x) 在 ê- ,
p ù
ú 上的最值.4 3 6
1+ mx
19．（17 分）已知函数 f x = loga a > 0, a 1 是奇函数.x -1
（1）求实数m 的值；
（2）是否存在实数 p ， a ， 当 x p,a - 2 时， 函数 f x 的值域是 1,+ . 若存在，求出实数 p ，
a ；若不存在，说明理由；
2 f x
（3）令函数 g x = -ax + 6 x -1 a - 5，当 x 2,3 时，求函数 g x 的最大值.
2024-2025 学年第二学期高一年级第一次学业诊断检测数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B A A A C AB BCD
题号 11
答案 ACD
12 7． 13．1 14．4
25
15．【详解】（1）因为 A = x x2 - 4x + 3 0 = x 1 x 3 ，B = x x - 3 <1 = x 2 < x < 4 ，
所以 A B = x 2 < x 3 ，又 U B = x x 2或 ≥ 4}， 所以 A U B = x x 3或 ≥ 4}.
（2）因为B IC = C ，所以C B，
ìa > 2
所以 í ，即2 < a < 3， 所以实数 a的取值范围为 2,3 .
a +1< 4
16 4 3 4 3． 【详解】解：（1）因为 sin(p -a ) = ，所以 sina = .
7 7
因为0 < a
p
< ，所以cosa
1
= 1- sin2 a = .
2 7
sin(a p ) sina cos p cosa sin p 4 3 1 1 3 5 3所以 + = + = + = ；
3 3 3 7 2 7 2 14
（2）因为 cos(a
13
- b ) = ，且0 < b < a
p
< ，所以0
p
< a - b < ，
14 2 2
所以 sin(a - b ) = 1- cos2 (a 3 3- b ) = .
14
\cos b = cos[a (a b )] cosa cos(a b ) sina sin(a b ) 1 13 4 3 3 3 1- - = - + - = + =
7 14 7 14 2
0 b p p因为 < < ， 所以 b = .
2 3
17 x-2
1 1-2 1
．【详解】（1）由函数 f x = a 的图象经过点 1, a =
è 2 ÷
可得 ，
2
x-2
解得 a = 2，即 f x = 2 ；
又 f t + 2 = 3，因此 2t+2-2 = 3，可得 2t = 3， 解得 t = log2 3；
ì x +1 , x 0（2）易知 g x = í x ， 在平面直角坐标系中作出 g x 的简图如下：
2 -1, x > 0
①根据图象可得该函数的单调递增区间为 -1,0 和(0, + ∞)；
②由 g x =1可得 x = -2或 x = 0或 x =1；
结合图象可得 g x 1的解集为 -2,1 .
18 1 f (x) sin(wx p．【详解】（ ）因为 = - ) + cos(wx p- ) 1= sinwx 3- coswx + sinwx
3 2 2 2
3 sinwx 3= - coswx = 3 sin(wx p- )
2 2 6
p wp p 1
由题设知 f ( ) = 0， 所以 - = kp, k Z ，故w = + 3k，k Z ，
3 3 6 2
1 2p
又0 < w < 3，所以w = 周期T = = 4p
2 w
（2）由（1）得 f (x) = 3 sin(
1 x p- )
2 6
1
将函数 y = f (x) 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 4 倍（纵坐标不变），得
y π= 3 sin 2x - ÷
è 6
p
再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y = g(x) 的图象，
4
则 g(x) = 3 sin(2x
p
+ ) ，
3
x p p é- , ù p é p 2p ù当 ê 3 6 ú，
2x + - ,
3 ê 3 3 ú
2x p p p 3所以当 + = - ，即 x = - 时， g(x)取得最小值- ，
3 3 3 2
p p p
当 2x + = ，即 x = 时， g(x)取得最大值 3 .
3 2 12
1+ mx
19．【详解】（1）根据题意，函数 f x = loga a > 0, a 1 是奇函数，x -1
f -x + f x = 0 log 1+ mx log 1- mx 0 1+ mx 1- mx则有 恒成立，即 a + a = 恒成立，即 =1恒x -1 -x -1 x -1 -x -1
成立，即1- m2x =1- x2 恒成立，所以m2 =1， 解可得：m = ±1，
1- x
当m = -1时， = -1，不合题意，舍去； ∴ m =1.
x -1
（2）由（1）的结论， f x = log x +1 2= log 1+ x +1a a ÷ ，由 > 0，解可得 x < -1或x -1 è x -1 x -1
x >1，即函数的定义域为 - , -1 U 1, + ； 分 2 种情况讨论：
①，当 p < a - 2 -1时，得0 < a <1.此时 f x 为 ( p, a - 2)上的增函数，
ì
log
p +1 ì p +1
a =1p -1
= a
此时有 í ，即 í p -1 ，不合题意，舍去；
a - 2 = -1 a =1
②，当1 p a - 2时，得 a > 3 .此时 f x 为 ( p, a - 2)上的减函数，
ì p =1
此时有 í a - 2 +1 ，解得 a = 2 + 3 ，或 a = 2 - 3 （舍）， p = 1，
log =1 a a - 2 -1
故存在实数 a = 2 + 3 ， p = 1满足题意.
（3）∵ g x = -ax2 + 6 x -1 a f x - 5， f x log x +1= a ，x -1
∴ g x = -ax2 + 6x +1， x 2,3 且 a > 0， a 1，
3 2 3①当 ，即 a 时，函数 g x 在 2,3 上单调递减，
a 2
所以 g x = g 2 = -4a +13max ，
3
②当 3，即0 < a 1时，函数 g x 在 2,3 上单调递增，
a
所以 g x = g 3 = -9a +19max ，
1 a 3当 < < 时，函数 g x é2, 3 ù é 3 ,5ù在 ê ú 上单调递增，在 ê ú 上单调递减，2 a a
g x g 3 9所以 = ÷ = +1max ，è a a
ì
-9a +19,0 < a 1
综上所述， g x = 9 +1,1< a 3
-4a +13, a
3
2
