湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高二上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若曲线表示椭圆，则的取值范围是( )
A． B． C． D．或
3．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
5．若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（ ）
A． B．
C． D．
6．双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．如图：为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线在双曲线上的点、处反射后射出共线），若，则（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的切线与圆相切于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线，，则（ ）
A．的长轴长为8 B．的渐近线方程为
C．与的离心率互为倒数 D．与的焦点坐标相同
10．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C． D．当取得最大值时，
11．“心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为5
C．的最大值为7
D．若在上，则的最小值为
三、填空题
12．若两条直线和互相垂直，则实数m的值等于 ．
13．已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆和双曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为 ．
14．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则 .
四、解答题
15．如图，已知圆，点．
(1)求圆心在直线上，且经过点和原点的圆的方程；
(2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程．
16．如图，正方体的棱长为为的中点．点在上．
(1)求证：平面；
(2)若．求直线与平面所成角的大小；
17．记是等差数列的前项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最小值；
(3)求数列的前项的和．
18．已知，，点是动点，直线与直线的斜率之积为，
(1)求点的轨迹方程
(2)过点且斜率不为0的直线与交于、两点，直线分别交直线、于点、，以为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
19．已知为抛物线上的两点，是边长为的等边三角形，其中为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)已知圆的两条切线，且与分别交于点和.
（i）证明：为定值.
（ii）求的最小值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A D A B B ABC BC
题号 11
答案 ABD
1．D
【详解】因，
对于A选项，由可得：，易知的值不存在；
对于B选项，由可知不成立；
对于C选项，；
对于D选项，
故选：D.
2．D
【详解】曲线表示椭圆，
，
解得，且，
的取值范围是或，故选D．
3．D
【详解】由题意，得，即，
所以抛物线方程为.
故选：D.
4．A
【详解】设，则，
两式相减得：（*），
设弦的中点坐标为，则，
因直线的斜率为1，即，
分别代入上式（*），整理得：.
将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求.
故选：A.
5．D
【详解】由题意，圆关于直线对称，则，，即l方程为，
所求距离为．
故选：D.
6．A
【详解】连接，
因为，则，即为等边三角形，
由对称性可知，则，
又因为，即，
整理得，解得或（舍），
所以.
故选：A.
7．B
【详解】因为的圆心为，
圆的圆心为，
因为直线为圆的切线，所以，，
又因为，所以，
可得，又，
所以，且平分，
所以，
则，
则最小值即的最小值，
即圆心到的距离，
所以，
所以的最小值为，
故选：B.
8．B
【详解】由题意可知：，
设与渐近线的交点为，则为的中点，且，
则点到直线的距离，
可得，
又因为分别为的中点，则，
即，所以双曲线的离心率为.
故选：B.
9．ABC
【详解】由可得，知曲线为椭圆，其焦点在轴上，
且长轴长为8，故A正确；
由可得双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为：，
即，故B正确；
对于C，由可得，
由可得，故与的离心率互为倒数，故C正确；
对于D，因曲线的焦点位置不同，故焦点坐标不可能相同，故D错误.
故选：ABC.
10．BC
【详解】设等差数列的公差为，
由题意可得：，
，
即，，且，即B、C正确；
因，故数列是递减数列，故A错误；
因，，即当取得最大值时，，故D错误.
故选：BC.
11．ABD
【详解】可变形为，
表示以为圆心，2为半径的圆的上半部分；
可变形为，
表示以为圆心，2为半径的圆的上半部分．
对于A选项，抛物线过点，解得，
，故A选项正确；
对于B选项，抛物线的准线为，
过点作，垂足为，
则，则，
故B选项正确；
对于C选项，不妨设，显然离最远的点在上，
且，
联立，消去整理得，
，
则，，
则，
由对称性只考虑情况，在点时，，所以，
所以
，
设，易得在上单调递增，
所以的最大值为，故C选项错误；
对于D选项，设的中点为，
联立，消去整理得，
则，，
，，
，
所以，，
，
最小，即最大，也即最小，
又的中点位于圆心的左侧，
故当在位置时，最小，最小，
所以
，
故D选项正确.
故选：ABD．
12．
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
13．
【详解】解：由题意，不妨设P在第一象限，为左焦点 ，
双曲线可化为，
由双曲线的定义知：，，
则，，
由椭圆的定义知：，
∴ ，
∵ 椭圆与双曲线有相同的右焦点，
∴ 椭圆的离心率．
故答案为：
14．3
【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，，
则.根据抛物线定义知，，
设，因为，所以，
∴.
设，所以，所以.
15．(1)
(2)或.
【详解】（1）因为圆经过点和原点，因此圆心在线段的垂直平分线上
又因为圆的圆心在直线上，
所以圆的圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
（2）
如图，因为圆弧恰为圆周长的，
根据圆的性质，可得，则，
过点作于点，则点到直线的距离为，
由可得：，则
①当直线的斜率不存在时，点到轴的距离为，直线即为轴，
此时直线的方程为.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
可得，即，解得，
即直线的方程，即，
故所求直线的方程为或.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵是正方体，
∴平面，又平面，∴，
易得，又平面，
∴平面，
又点M在上，所以平面
（2）连接，在正方体中，根据平面，
∵平面，∴，
又，∴，
∵平面，∴，
又为中点，∴为中点；
根据正方体的特征建立空间直角坐标系如图所示：
则，
∴，则，
设平面法向量为，
则，故可取，
设直线与平面所成角为，
则，因，故.
故直线与平面所成角为.
17．(1)
(2)4
(3)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意知，，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
由可得，解得或，
因为，故正整数的最小值为.
（3）因
当为偶数时，
；
当为奇数时，
.
所以数列的前项和为：.
18．(1)
(2)是过定点，和
【详解】（1）设，则且
所以
整理可得，
即点的轨迹方程
（2）如下图所示：
设直线方程为，，，
联立可得可得，
所以，；
直线的方程为，可得，即；
直线的方程为，可得，即；
所以
假设过定点，则，
即，
即可得，解得，
所以定点为和．
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）由对称性可知当为等边三角形时，、两点关于轴对称，
当为边长为的等边三角形时，则的高为，由题意知点在上，
代入，得，解得，
所以的标准方程为；
（2）（i）因为，与圆相切，
所以，得，
同理可得，
则，可以看作方程的两根，又，
所以，
由韦达定理可得，即为定值；
（ii）由（i）知，由，得，所以，，
设，，，，
由，得，易得，则，
所以，
同理可得，
所以
，
当，即时，取得最小值，且最小值为．
