广东省广州市第二中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， + ≤ √ 2”的否定是( )．
A. ∈ ， + > √ 2 B. ∈ ， + ≤ √ 2
C. ∈ ， + ≥ √ 2 D. ∈ ， + > √ 2
2.已知集合 = { 1,1,2,3}，集合 = { | = 2, ∈ }，则集合 的子集个数为( )
A. 7 B. 8 C. 16 D. 32
1
3.已知tan( + ) = 3, = ，则 =( )
3
8 4 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
3 3 4 2
4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递减的是( )
1
A. = B. = 2 C. = ( )| | D. =
2
1
5.已知点 ( , 1)是角 终边上的一点，且 = ，则 的值为( )
3
A. 2 B. 2√ 2 C. 2√ 2或2 D. 2√ 2或 2√ 2
6.若 ( ) = 2 2 ，则 ( )等于( )
A. 2 2 B. 2 + 2 C. 2 2 D. 2 + 2
, ≥ 0
7.已知函数 ( ) = { ，则方程 = [ ( )] 2的根个数为( )
2 , < 0
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.设 = log23， = log34， = log58，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 半径为3，弧长为 的扇形的面积为3
B. 计算2 510 + log50.25的值为2
C. 函数 ( ) = + 的零点所在的一个区间是( 2, 1)
D. 已知 + 2 = 1，则3 + 9 的最小值为2√ 3
10.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, < < )的部分图象如图所
2 2
示，则( )
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A. ( )的最小正周期为
1 1
B. 当 ∈ [0, ]时， ( )的值域为[ , ]
2 2 2
C. 将函数 ( )的图象向右平移 个单位长度可得函数 ( ) = 2 的图象
6
5
D. 将函数 ( )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点( , 0)对称
6
11.已知函数 ( ) = 2(√ 2 + 1 ) + 3，则下列说法正确的是( )
A. 函数 ( )的图象关于点(0,3)对称
1
B. ( 2) + (ln ) = 6
2
C. 函数 ( )在定义域上单调递增
D. 若实数 ， 满足 ( ) + ( ) > 6，则 + < 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.定义在 上的奇函数 ( )满足：当 ≥ 0， ( ) = log2( + 2) + ，则 ( 2) = ______．
√ 5 √ 10 3
13.若 2 = , sin( ) = ，且 ∈ [ , ], ∈ [ , ]，则 + 的值是______．
5 10 4 2
14.若对任意的 ∈ (0, +∞)，( 2 + 5)( 1) ≥ 0恒成立，则实数 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数 ( ) = (log2 2)(log2 1)．
(1)求不等式 ( ) < 0的解集；
(2)若存在 ∈ [4,16]，使得不等式 ( ) ≥ 2 成立，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
√ 3
已知函数 ( ) = ( + ) √ 3cos2 + ， ∈ ．
3 4
(1)求 ( )的最小正周期和单调区间；
(2)求 ( )在闭区间[ , ]上的最大值和最小值．
4 4
17.(本小题12分)
如图，某公园有一块扇形人工湖 ，其中∠ = ， = = 1千米，为了增加人工湖的观赏性，政
2
府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形 ，喷泉观景区的形状为△ ，
且 在 上， 在 上， 在 上，记∠ = ．
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(1)试用 分别表示矩形 和△ 的面积；
(2)若在 的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元(包含桥的宽度费用)，建造喷泉
观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元.求当 为多少时，建造该观景区总费用最
低，并求出其最低费用．
18.(本小题12分)
已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( + ) + ( ) = ( ) ( )， (1) = 1．
(1)若 ( ) = (0 < < )，求 与 ；
(2)证明：函数 ( )既是偶函数又是周期函数；
(3)若 为 ( )的一个周期，且 ( )在[0, ]上单调递减，记 ( )的正的零点从小到大依次为 ， ， ，…，
2 1 2 3
证明： ( )在区间[0,2024 ]上有4048个需点，且 2 1 = 3 2 = = 4048 4017．
19.(本小题12分)
列奥纳多 达 芬奇( , 1452 1519)是意大利文艺复兴三杰之一.他曾提出：固定项链的两端，
使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬
链线的函数表达式 ( ) = ，其中 为悬链线系数， 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 =
+
，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为 = ．
2 2
(1)证明： 2 2 = 1；
(2)求不等式： (2 1) + ( 2) < 0的解集；
(3)函数 ( ) = 2 (2 ) 2 ( ) 3的图象在区间[0, 2]上与 轴有2个交点，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 1
7
13.【答案】
4
1
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1) ( ) = (log2 2)(log2 1) < 0，
令 = log2 ，
则原不等式可化为( 2)( 1) < 0，
解得1 < < 2，即1 < log2 < 2，
所以2 < < 4，
不等式 ( ) < 0的解集{ |2 < < 4}．
(2)当 ∈ [4,16]时，
令 = log2 ，可得 ∈ [2,4]，
原不等式可化为 2 3 + 2 ≥ 对于 ∈ [2,4]能成立，
2
即可得 3 + ≥ 对于 ∈ [2,4]能成立，
由对勾函数性质可知，
2
= 3 + 在 ∈ [2,4]上单调递增，
2 3
所以 = 4 3 + = ， 4 2
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3 3
因此只需 = ≥ 即可，得 ≤ ； 2 2
3
即 的取值范围是( ∞, ]．
2
√ 3
16.【答案】解：(1)已知函数 ( ) = ( + ) √ 3cos2 + ， ∈ ．
3 4
√ 3
则 ( ) = ( + ) √ 3cos2 +
3 3 4
1 √ 3 √ 3
= cos2 +
2 2 4
1 √ 3 √ 3
= 2 (1 + 2 ) +
4 4 4
1 √ 3
= 2 2
4 4
1
= sin(2 )，
2 3
2
又 = ，
2
即 ( )的最小正周期为 ，
5
由2 2 2 + ，得 + ( ∈ )，
2 3 2 12 12
3 5 11
由2 + 2 2 + ，得 + + ( ∈ )
2 3 2 12 12
5
所以函数单调增区间为[ , + ]( ∈ )，
12 12
5 11
函数单调减区间为[ + , + ]( ∈ )；
12 12
(2)由于 ∈ [ , ]，
4 4
5
所以2 ∈ [ , ]，
3 6 6
1 1
故 ( ) ∈ [ , ]，
2 4
1 1
故函数的最小值为 ，函数的最大值为 ．
2 4
17.【答案】解：(1)由题意∠ = ∈ (0, )，所以 = ， = ，
2
所以矩形 的面积为 = ， ∈ (0, )，
2
1 1 1
△ 的面积为 △ = (1 ) = ， ∈ (0, )； 2 2 2 2
(2)由题意，可得建造观景区所需总费用为：
( ) = 16( ) + 8 + 6
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= 8( + ) + 6， ∈ (0, )，
2
设 + = ，则2 = 2 1，
又由 = + = √ 2sin( + ) ∈ (1, √ 2],
4
1 1 1
所以 + = 2 + + = ( 1)2 + 1，
2 2 2
1 1
当 = √ 2，即 = 时，有( + ) = √ 2 = √ 2 ， 4 2 2
1
所以 ( ) = 8(√ 2 ) + 6 = 8√ 2 + 2(万元)， 2
即当 = 时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为：8√ 2 + 2万元．
4
18.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( )的定义域为 ，满足 ( + ) + ( ) = ( ) ( )，①
令 = 1， = 0可得，2 (1) = (1) (0)，
因为 (1) = 1，所以 (0) = 2，
若 ( ) = ，则 (0) = 0 = 2，则 = 2．
又由 (1) = 1，得2 = 1，
1
解得 = ，
2
因为0 < < ，所以 = ，
3
所以 ( ) = 2 ．
3
(2)证明：由(1)得， (0) = 2，
①中，令 = 0可得， ( ) + ( ) = 2 ( )，
即 ( ) = ( )，所以函数 ( )为偶函数；
令 = 1得， ( + 1) + ( 1) = ( ) (1) = ( )，
即有 ( + 2) + ( ) = ( + 1)，
从而可知 ( + 2) = ( 1)， ( 1) = ( 4)，
故 ( + 2) = ( 4)，
即 ( ) = ( + 6)．
所以函数 ( )是一个周期为 = 6的周期函数．
(3)证明：由(1)得 (0) = 2， ( ) = (0) = 2，
在 ( + ) + ( ) = ( ) ( )中，
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令 = = ，可得 ( ) + (0) = ( ) ( )，
2 2 2
因为 ( ) < (0)，所以 ( ) = 2，
2 2
所以 (0) ( ) < 0，又因为 ( )在[0, ]上是减函数，
2
所以 ( )在[0, ]上有且仅有一个零点．
2
( + ) + ( ) = ( ) ( )中，令 = = ，得 ( ) = 0．
4 4
所以 ( )在区间[0, ]上有且仅有一个零点 1 = ． 2 4
又因为 ( )是偶函数，所以 ( )在[ , 0]上有且仅有一个零点 0 = ，即 ( )在一个周期内有且仅有2个2 4
零点．
3
( ) = ( ) = ( ) = 0，
4 4 4
3
所以 ( )在[0, ]内的零点为 1 = 和 4 2 = ， 4
3 3
同理： ( + ) = ( ) = 0， ( + ) = ( ) = 0， ∈ ．
4 4 4 4
3
因此，对任意 ∈ ， ( )在[ , ( + 1) ]上有且仅有两个零点，分别为 +1 = + ， 4 +2 = + ， 4
( )在[0,2024 ]上有4048个零点：
3
又由 +1 = + ， 4 +2 = + ，则 +2 4 +1 = ，即 2 1 = 3 2 = = 2 4048 4017 = ． 2
+
19.【答案】解：(1)证明： 2 2 = ( )2 ( )2
2 2
2 + 2 +2 2 + 2 2
= = 1；
4 4
(2)因为 ( ) = = , ∈ 恒成立，
2
所以 = 为奇函数，
易知 = 在 上严格递增， = 在 上严格递减，
所以 = = 是 上的严格增函数，
2
所以 (2 1) + ( 2) < 0，
即 (2 1) < ( 2) = (2 )，
所以2 1 < 2 ，
解得 < 1，
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则 (2 1) + ( 2) < 0的解集为( ∞, 1)；
(3)因为 ( ) = 2 (2 ) 2 ( ) 3的图象在区间[0, 2]上与 轴有2个交点，
所以 ( 2 + 2 ) ( ) 3 = 0在 ∈ [0, 2]有2个实数根，
( )+3
即 = 2 2 在 ∈ [0, 2]有2个实数根， +
令( ) + 3 = ，
易知 = ( ) + 3在[0, 2]上单调递增，
9
所以 ∈ [3, ]，
2
( )+3
此时 =
2 2
，
+
2
即1 6 +11 11= = + 6，
11 9
设 ( ) = + 6，函数定义域为[3, ]，
2
9
易知函数 ( )在[3, √ 11)上单调递减，在(√ 11, ]上单调递增，
2
2 9 17
又 (3) = , (√ 11) = 2√ 11 6, ( ) = ，
3 2 18
1 2 11 1
当2√ 11 6 < ≤ 时，函数 ( ) = + 6与直线 = 有两个交点，
3
即函数 ( )的图象在区间[0, 2]上与 轴有2个交点，
所以3 √ 11+3≤ < ．
2 4
则实数 的取值范围为 3 √ 11+3[ , )．
2 4
第 8 页，共 8 页
