2024-2025学年湖南省长沙市雨花区华益中学九年级（上）段考数学试卷（12月份）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦
C．明天我市会下雨是随机事件
D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种张票一定会中奖
3．（3分）已知反比例函数的图象经过点（8，﹣2）和点（﹣8，m），则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣8 C．2 D．8
4．（3分）抛物线y＝﹣x2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，DF＝3，则FC的长为（ ）
A．6 B．3 C．5 D．9
6．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，D是的中点．若∠B＝40°，则∠A的大小为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，若ab＜0，则函数y＝ax+b与的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在△ABC与△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一个条件不能使△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠BAD＝∠CAE B． C．∠C＝∠E D．
10．（3分）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则⊙O的半径是（ ）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在一个不透明的袋子中放有10个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色，再放回袋中．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球约有 个．
12．（3分）某校九年级学生做电路实验，测得电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）的数据如表，已知闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当电阻R＝150Ω时，电流I＝ A．
I（单位：A） 10 5 2.5 2
R（单位：Ω） 20 40 80 100
13．（3分）圆锥侧面积为6πcm2，侧面展开扇形的半径为3cm，则圆锥底圆半径为 cm．
14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是DC的中点，连结BE交AC于点F，FC＝3，则AF的长为 ．
15．（3分）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．已知截面圆中弦AB的长为，瓶内液体的最大深度CD＝6cm，则球形的半径为 cm．
16．（3分）定义：如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后．使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，△A1BC1是△ABC以点B为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点B为转似中心的另一个转似三角形△A2BC2（点A2、C2分别与A、C对应）的边A2C2的长为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（x+2）（2x﹣1）﹣2x（x+3），其中x＝﹣1．
19．（6分）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．
（1）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出△OAB放大后的图形△OA1B1；
（2）求△OA1B1的面积；
（3）若点D（a，b）在线段OA上，点D对应点D1的坐标为 ．
20．（8分）某校道德与法治学科实践小组放近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯；B．北斗导航；C．HarmomyOS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 a＝ ，话题D所在扇形的圆心角是 度；
（2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A.5G通讯；B．北斗导航：C．HarmomyOS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言，请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率．
21．（8分）如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）证明△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝3，AD＝6，AE＝5，求AF的长．
22．（9分）某兴趣小组在开展“探究小球与水面高度关系”的项目式学习活动中，准备了若干体积相同的大球和体积相同的小球，并尝试将球放入一个有水的高为55cm的圆柱形烧杯中（烧杯中原有水面高度是26cm），以观察放入大球和小球数量和烧杯中水面高度的变化情况，兴趣小组的同学根据水面高度的变化绘制了实验结果见图（如图）．
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）放入一个小球水面升高 cm．
A．2
B．3
C．6
D．11.5
（2）若放入大球、小球共10个，要使水面上升到50cm，求放入大球、小球各多少个？
（3）现有充足的大球和小球，要使水面上升到50cm下面的方案正确的序号是 ．
①往烧杯中放入1个大球和10个小球；
②往烧杯中放入2个大球和9个小球；
③往烧杯中放入4个大球和7个小球；
④往烧杯中放入6个大球和3个小球；
⑤往烧杯中放入8个大球．
A．①②④⑤
B．②④⑤
C．①④⑤
D．②③④
23．（9分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，半径OE⊥AB，CE交AB于点F，点D在AB的延长线上，且DC＝DF．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠OEC＝15°，OE＝3，求图中阴影部分的面积．
24．（10分）我们约定：在平面直角坐标系中，如果两个函数图象有且只有一个公共点，我们就称这两个函数互为“相依函数”，这个公共点称为“相值点”．
（1）试判断一次函数y＝﹣x+1与反比例函数是否为“相依函数”，并说明理由；
（2）若函数y1＝kx+b与函数y2互为“相依函数”，“相依点”为（a，a+1）且在第一象限，求函数y1的解析式；
（3）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，△ABC为直角三角形，且4OA＝OB，一次函数与二次函数y＝ax2+bx+c互为“相依函数”，点C为“相依点”，一次函数图象交x轴于点P，若△OPC的外心在反比例函数上，求二次函数解析式．
25．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是中心，点P是边AB上一动点，连接PM并延长交CD于点E，将△CPE沿PE翻折得到△C′PE，作△C′PE的外接圆⊙O交边AD于点F，交PC于点G．
（1）求证：△CEG为等腰三角形；
（2）当⊙O与CD相切时，求的值；
（3）若正方形的边长为6，设BP＝x，当点P在边AB上运动时，
①求证：点A始终在⊙O上；
②设DF＝y，当0＜x＜3时，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．
2024-2025学年湖南省长沙市雨花区华益中学九年级（上）段考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D A A C A D B
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．【解答】解：A、三点确定一个圆，说法错误，应为不在同一直线上的三点确定一个圆；
B、平分弦的直径垂直于弦，说法错误，应为平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；
C、明天我市会下雨是随机事件，说法正确；
D、某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种张票一定会中奖，说法错误；
故选：C．
3．【解答】解：设反比例函数的解析式为，
∵点（8，﹣2）在反比例函数图象上，
∴k＝﹣16，
∴，
当x＝﹣8时，y＝2，
故m＝2．
故选：C．
4．【解答】解：抛物线顶点坐标是（0，﹣2），
故选：D．
5．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD，
∴AD∥EF∥BC，
∴，
即，
解得FC＝6，
故选：A．
6．【解答】解：将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，
∴∠A′CA＝40°，
∵AC⊥A′B′，
∴∠A′＝90°﹣40°＝50°，
由对应角相等，得∠BAC＝∠A′＝50°．
故选：A．
7．【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵D是的中点，
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC40°＝20°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝70°．
故选：C．
8．【解答】解：∵ab＜0，
①若a＞0，b＜0，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限，
②若a＜0，b＞0，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限，
只有选项A符合题意，
故选：A．
9．【解答】解：A、∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∵∠B＝∠D，
∴△ADE∽△ABC，不合题意；
B、∵，∠B＝∠D，
∴△ADE∽△ABC，不合题意；
C、∵∠B＝∠D，∠E＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，不合题意；
D、无法得出△ABC与△ADE相似，符合题意．
故选：D．
10．【解答】解：⊙O是四边形ABCD的内切圆，设切点分别为：F，G，M，E，
连接FO，OA，OG，OC，OM，OB，OE，OD，⊙O的半径为r，
∴FO＝OG＝OM＝OE＝r，
∴四边形ABCD的面积EO ADOMDCGO BCFO AB
（AD+AB+BC+DC）r
24r
＝36，
解得：EO＝3．
故⊙O的半径为3．
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，
∴摸到白球的概率为0.25，
∴小球的总数约为：10÷0.25＝40（个），
则红球的个数为：40﹣10＝30（个）．
故答案为：30．
12．【解答】解：设，
∴把I＝10A，R＝20Ω代入，
得，
解得k＝200，
∴，
把R＝150Ω代入，
∴．
故答案为：．
13．【解答】解：设圆锥底圆半径为r cm，由条件可知：
2π×r×3＝6π，
∴r＝2，
故答案为：2．
14．【解答】解：由题意可得：AB＝DC，AB∥CD，
∵E是DC的中点，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴．
∴，
∴AF＝6．
15．【解答】解：设OA＝OD＝r cm．
根据题意，得AB⊥OD，
∵AB＝12cm，
∴ACAB126（cm），
∵CD＝6cm，
∴OC＝OD﹣CD＝（r﹣6），
在Rt△ACO中利用勾股定理，得AC2+OC2＝OA2，
∴（6）2+（r﹣6）2＝r2，
∴r＝9，
∴球形的半径为9cm．
故答案为：9．
16．【解答】解：根据题意作图如下，
∵△ABC∽△A2BC2，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：原式．
18．【解答】解：（x+2）（2x﹣1）﹣2x（x+3）
＝2x2﹣x+4x﹣2﹣2x2﹣6x
＝﹣3x﹣2，
当x＝﹣1时，
原式＝﹣3×（﹣1）﹣2＝1．
19．【解答】解：（1）△OA1B1如图所示：
（2）△OA1B1的面积＝4×66×24×22×4＝10；
（3）由图可得：点D（a，b）在线段OA上，点D对应点D1的坐标为（﹣2a，﹣2b），
故答案为：（﹣2a，﹣2b）．
20．【解答】解：（1）调查的学生共有：60÷30%＝200（人），
选择C的学生有：200×15%＝30（人），
∴选择A的学生有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
，
，
故答案为：200，25，36；
（2）补全的条形统计图如图1；
（3）画树状图如图2：
共有6个等可能的结果，甲、乙两个小组选择A、B话题发言的结果有2个，
∴两个小组选择A、B话题发言的概率为．
21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，BC∥AD，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE于点F，
∴∠AFD＝90°，
∴∠B＝∠AFD，
∴△ABE∽△DFA．
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝3，AE＝5，
∴EB4，
∵△ABE∽△DFA，AD＝6，
∴，
∴AFEB4，
∴AF的长是．
22．【解答】解：（1）由题意，根据图中数据可得，（32﹣26）÷3＝2．
故答案为：2；
（2）设放入大球x个，则放入小球（10﹣x）个，
则26+3x+2（10﹣x）＝50．
∴x＝4．
∴10﹣x＝6．
答：放入大球4个，则放入小球6个．
（3）设放入小球x个，大球y个，则2x+3y＝50﹣26．
∴方程的非负整数解为：，，，．
故答案为：B．
23．【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵CD＝DF，
∴∠DCF＝∠DFC＝∠EFO，
∵OE⊥AB，
∴∠EOF＝90°，
∴∠E+∠OFE＝90°，
∴∠OCF+∠DCF＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OEC＝15°，∠EOF＝90°，
∴∠OFE＝∠DFC＝∠DCF＝75°，
∴∠D＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OE＝3，
∴CD，
∴图中阴影部分的面积＝△COD的面积﹣扇形COB的面积3×3．
24．【解答】解：（1）两个函数不是“相依函数”，理由：
联立两个函数表达式得：﹣x+1，
则Δ＝1﹣8≠0，
故两个函数不是“相依函数”；
（2）由题意得：a（a+1）＝6，则a＝﹣3（舍去）和2，
则“相依点”为（a，a+1）为（2，3），
则一次函数的表达式为：y＝k（x﹣2）+3，
联立两个函数表达式得：k（x﹣2）+3，
则Δ＝（3﹣2k）2+24k＝0，则k，
则y1的解析式为y1x+6；
（3）设点A（﹣t，0），则点B（4t，0），
∵△ABC为直角三角形，则CO2＝OA OB＝4t2，
则OC＝2t，即点C（0，2t），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+t）（x﹣4t），
将点C的坐标代入上式并解得：a，
则哦微信的表达式为：y（x+t）（x﹣4t），
设一次函数的表达式为：y＝kx+2t，
联立两个函数表达式得：（x+t）（x﹣4t）y＝kx+2t，即x2+（2kt﹣3t）x＝0，
则Δ＝（2kt﹣3t）2＝0，则k，
则一次函数表达式为：yx+2t，则点P（t，0），
则OP的中点为（t，0），OC的中点为（0，t），
则外心为（t，t），则t×t＝﹣6，则t＝2（负值已舍去），
则抛物线的表达式为：yx2x+4．
25．【解答】（1）证明：∵四边形GEC′P为⊙O内接四边形，
∴∠PGE+∠PC′E＝180°，
又∵∠PGE+∠CGE＝180°，
∴∠PC′E＝∠CGE．
根据题意△CPE≌△C′PE，则∠PCE＝∠PC′E．
∴∠PCE＝∠CGE，
∴△CEG为等腰三角形．
（2）解：连接EO并延长交⊙O于点H，作PI⊥CD，I为垂足．
∵EH是⊙O的直径，
∴∠EGH＝90°，
由于⊙O与CE相切，∠CEH＝90°，根据同角的余角相等可得∠CEG＝∠GHE．
∵∠CPE＝∠GHE，
∴∠CPE＝∠CEG，
又∵∠ECP＝∠GCE，
∴△CPE∽△CEG．
由（1）知△CEG为等腰三角形，则△CPE也为等腰三角形，CP＝PE．
由等腰三角形的性质可得CI＝IE，
根据平行线间距离相等可得BP＝CI，根据正方形的性质，由BP和DE关于点M中心对称可得BP＝ED．
∴AB＝CD＝CI+IE+ED＝3ED＝3BP．
∴．
（3）①证明：如图，连接正方形ABCD的对角线AC，CM＝AM．
∵正方形是中心对称图形，AP和CE关于点M中心对称，
∴MP＝ME，CE＝PA．
由翻折图形关于折线轴对称的性质可得CM＝C′M，CE＝C′E．
∴PA＝C′E，AM＝C′M．
在△APM和△C′EM中，MP＝ME，PA＝C′E，AM＝C′M，则△APM≌△C′EM（SSS）．
∴∠AMP＝∠C′ME．
∵点M是⊙O中弦PE的中点．
∴OM⊥PE．
根据等角的余角相等可得∠AMO＝∠C′MO．
在△AMO和△C′MO中，OM＝OM，∠AMO＝∠C′MO，AM＝C′M，则△AMO≌△C′MO（SAS）．
∴AO＝C′O，
∴点A在⊙O上．
②如图，作PI⊥CD，I为垂足，连接EF，PF．
∵∠PAF＝90°，
∴PF为⊙O的直径．
∴∠PEF＝90°．
∴∠DEF+∠PEI＝90°，
∵∠IPE+∠PEI＝90°，
∴∠DEF＝∠IPE．
∴Rt△DEF∽Rt△IPE．
∴．
∵PI＝BC＝6，DE＝BP＝x，DF＝y，IE＝CD﹣CI﹣DE＝6﹣2DE＝6﹣2x
∴y（6﹣2x）x（x）2．
当x时，符合x所在范围，y有最大值．
故yx，y最大值为．
