2024-2025学年山东省泰安市某校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.已知为等差数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为( )
A. B. C. D.
4.直线与直线平行，则两直线间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，，设，则( )
A. B. C. D.
6.一条光线从点射出，经直线：反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A. 或 B. 或 C. D. 不存在
7.如图，在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与平面所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知抛物线：，圆：，过圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为，，，，若，，成等差数列，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线，则下列说法正确的为( )
A. 若该曲线是双曲线方程，则，或
B. 若则该曲线为椭圆
C. 若该曲线离心率为，则
D. 若该曲线为焦点在轴上双曲线，则离心率
10.设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. 的最大值为 D.
11.已知在三棱台中，平面，，，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则( )
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知数列满足，且，若，则正整数为______．
14.如图，椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于，两点，点是点关于原点的对称点，若且，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过点和，且圆心在直线：上．
求圆的标准方程；
若过点作圆的切线，求该切线方程．
16.本小题分
已知正三棱柱中，，，，分别为，，的中点．
证明：平面平面．
求二面角的正弦值．
17.本小题分
双曲线：，已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为．
Ⅰ求双曲线的离心率；
Ⅱ若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设是首项为，公比为的等比数列，
求数列的前项和；
若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
19.本小题分
已知椭圆的离心率是，且过点．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值．
参考答案
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15.解：因为点和，所以线段的中点为，，
则线段的中垂线方程为，即 ，
由，解得，则圆心为，，
所以圆的方程为：；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
则圆心到直线的距离，符合题意；
当直线的斜率存在时，设过点直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
解得，此时切线方程为：，即．
所以切线方程为；或．
16.证明：在正中，为的中点，则，
因为平面，平面，所以，
而，，面，所以平面，又，平面，
所以，，
所以为二面角的平面角，
，，分别为，，的中点．，
所以，，所以，
所以
所以二面角为直二面角，
所以平面平面．
以为坐标原点，，，为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
由知，平面的一个法向量为，
设面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，，
所以二面角的正弦值为．
17.解：Ⅰ，是双曲线上一点，
可得，即为，
由题意可得，，
，
可得，即有；
Ⅱ由题意可得，，
双曲线的方程为，
设直线的方程为，，联立双曲线的方程，
可得，
设，，
则，，
又，可得，
由可得，，
代入可得，解得，
则直线的方程为．
18.解：依题意得，，
即有，解得，
，即．
，，
，
，
所以
．
．
由易求得，
所以不等式对一切恒成立，
即转化为对一切恒成立，
令，则，
又，
当时，；时，，
所以，且，
则．
所以实数的最大值为．
19.解：Ⅰ由题知，解得，
因此，椭圆的标准方程为
Ⅱ当轴时，位于轴上，且，
由，将代入方程，可得，则，
此时；
当不垂直轴时，设直线的方程为，，，
由，得．
，
得，，
从而，
已知，则，可得，
，
设到直线的距离为，则，
结合，
化简得，
当且仅当即时取等号，
此时，满足，
此时的面积的最大值为，
综上，的面积的最大值为
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