江苏省徐州市第七中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线 2 = 4 的准线方程是( )
1 1
A. = B. = C. = 1 D. = 1
16 16
2.等比数列{ }中，已知 1 = 2， 4 = 16，数列{ }的公比为( )
1 1
A. B. 2 C. 2 D.
2 2
2 2
3.椭圆 + = 1的离心率是( )
25 16
16 9 3 4
A. B. C. D.
25 25 5 5
4.已知点 在△ 所在平面内，若对于空间中任意一点 都有 = 2 + ，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
5.两条平行直线 2 + 1 = 0与2 + 1 = 0间的距离为( )
√ 2 1 √ 2
A. B. C. D. √ 2
4 2 2
6.在棱长为1的正四面体 中， = 4 ，则 =( )
1 √ 3 1 √ 3
A. B. C. D.
8 8 4 4
2
7.已知椭圆 ： + 2 = 1的左焦点为 ，点 在 上，点 在圆 2 + 2 4√ 2 + 7 = 0上，则 + 的
9
最小值为( )
A. 3 B. 4 C. 9 D. 11
8.已知点 (0,2)，若圆( )2 + ( + 4)2 = 1上存在点 ，使得| |2 + | |2 = 34( 为坐标原点)，则
实数 的取值范围为( )
A. ( ∞, 0] ∪ [5,+∞) B. [0,5]
√ 41+3 √ 41 3 √ 41+3 √ 41 3
C. [ , 3] ∪ [0, ] D. ( ∞, ] ∪ [ ,+∞)
2 2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列{ }的通项公式为 = 2 ，前 项和为 ，则( )
A. 4 = 14 B. 数列{ }中存在三项成等比数列
C. 数列{
1
}是公差为1的等差数列 D. 数列{ }的前 项和为
+1
10.在正方体 1 1 1 1中，点 满足 = (0 ≤ ≤ 1)，则( )
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A. 1 //平面 1 1
B. 1 在 1 上的投影向量为 1
1 √ 3
C. 当 = 时，直线 1 与 1所成角的余弦值为 2 3
1
D. 1 与平面 1 所成角的正弦值的最大值为 3
11.在直角坐标系 中，已知抛物线 ： 2 = 8 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点， 是 上异于顶点的
动点，则下列结论正确的是( )
A. 若 过点 ，则∠ 为钝角
B. 若 = 2
√ 2
，则 的斜率为±
2
C. 若 ( 2,0)，则点 的横坐标为2时， 最小
D. 若四边形 为平行四边形，则 过定点(1,0)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若将公比 不为1的等比数列 1， 2， 3调整顺序后为等差数列，则 的一个值为______．
2 2
13.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过 1的直线与 的一条渐近线平行，
2
交另一条渐近线于点 ，若tan∠ 1 2 = ，则 的离心率为______． 3
14.已知正方形 和矩形 所在平面互相垂直， = √ 2， = 1，若平面 与平面 的交线为
，则点 到 的距离为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 的圆心在直线 = 2 上，且圆 与 轴相切于点(1,0)．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 过点(3,1)，且被圆 截得的弦长为2√ 3，求直线 的方程．
16.(本小题15分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 1．
(1)求{ }的通项公式；
(2)记数列{ }的前 项和为
2
，证明： < 2．
17.(本小题15分)
如图，三棱柱 1 1 1的棱长均为4， ， ， 分别是棱 ， 1， 1 1的中点， 1 ⊥平面 ．
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(1)求证： 1 ⊥ ；
(2)求二面角 的余弦值．
18.(本小题17分)
2 2 1
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，实轴长是虚轴长的2倍，且 过点(3, ). 2
(1)求 的标准方程；
(2)若直线 与 相切于第一象限内的点 ，且与 轴相交于点 ，
①证明： 平分∠ 1 2；
②过坐标原点 作 的垂线(垂足为 )，与 1相交于点 ，求△ 1 面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知数列{ }共有 ( ∈ , ≥ 3)项，且各项均为正整数，设集合 = { | = , 1 ≤ < ≤ }，记
的元素个数为 ( )．
(1)若{ }为1，2，3，5，求 及 ( )；
(2)若{ }是单调数列，求证：“{ }为等差数列”的充要条件是“ ( ) = 1”；
(3)若{ }是由1，3，5，7，…，2 1，2 这 + 1个数组成，且这 + 1个数在{ }中都至少出现一次， =
2 + 1，求 ( )的所有可能值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】 2或
2
13.【答案】√ 5
2√ 6
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)圆 的圆心在直线 = 2 上，且圆 与 轴相切于点(1,0)，
设圆心 ( , 2 )，可得 = |2 | = √ ( 1)2 + (2 0)2，解得 = 1，
可得圆心 (1,2)，可得半径 = 2，
所以圆 的方程为( 1)2 + ( 2)2 = 4；
(2)当直线 的斜率不存在时，则过点(3,1)直线 的方程为 = 3，可得圆心 到直线 的距离 = 2 = ，
此时直线 与圆相切；
当直线 的斜率存在时，设过点(3,1)的直线 1 = ( 3)，即 3 + 1 = 0，
| 2 3 +1| |2 +1|
则圆心 (1,2)到直线的距离 = = ，
√ 2 2 +( 1) √ 2 +1
由题意可得2√ 3 = 2√ 2 2 = 2√ 4 2，可得 2 = 1，
|2 +1|
所以( )2 = 1，
√ 2 +1
整理可得：3 2 + 4 = 0，
4
可得 = 0或 = ，
3
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4
所以直线 的方程为 = 1或 1 = ( 3)，
3
即 = 1或4 + 3 15 = 0．
16.【答案】解：(1)由 = 2 1，得 1 = 1 = 2 1 1，即 1 = 1，
当 ≥ 2时，则 1 = 2 1 1，
两式作差得： = 2 2 1，即 = 2 1， ≥ 2，
则数列{ }是以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴ = 2 1 ；
证明：(2) ∵ = ， 2 2
1 2 3 1
∴数列{ }的前 项和为 = + + +. . . + + ，
2 1 2 3 1 2 2 2 2 2
1 1 2 1
= 2 + 3 +. . . + + +1， 2 2 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1 (1 )2 1
∴ = + 2 + 3 +. . . +
2
+1 = 1 +1 = 1 2 2 2 2 2
2 +1
，
1 2 2 2
2
1
则 = 2 ( + ) < 2．
2 1 2
17.【答案】(1)证明：因为 1 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
因为△ 为等边三角形，且 为 中点，
所以 ⊥ ，故 DB， ， 1两两互相垂直，
以{ , , 1}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， 1(0,4,2√ 3)， (0, 2,0)， (2√ 3, 0,0)， (0, 1, √ 3)，
所以 = (2√ 3, 1, √ 3)， 1 = (0,6,2√ 3)，
所以 1 = 2√ 3 × 0 + 1 × 6 √ 3 × 2√ 3 = 6 6 = 0，
所以 ⊥ 1，即 ⊥ 1 ；
(2)解：因为2 1 = = 1 1 = (2√ 3, 2,0)，所以 1 = (√ 3, 1,0)，
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而 1(0,0,2√ 3)，所以 (√ 3, 1,2√ 3)，则 = (√ 3, 1,2√ 3)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
⊥ = 0 2 3 = 0则由{ ，可得{ ，即{ √ ，
⊥ = 0 √ 3 + + 2√ 3 = 0
1
令 = √ 3，则 = 0， = ， 2
1
所以平面 的一个法向量为 = (0,√ 3, )，
2
又因为平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
1
| | √ 13
所以|cos < , > | = =
2 =
| || | 1 13 ， √ 3+
4
由图形可知，二面角 的余弦值为√ 13．
13
1
18.【答案】解：(1)因为双曲线 过点(3, )且实轴长是虚轴长的2倍，
2
= 2
1
所以{ 9 4 ，
2
2 = 1
2 + 2 = 2
解得 2 = 8， 2 = 2，
2 2
则双曲线 的标准方程为 = 1；
8 2
(2)①证明：设 ( 0, 0)，
因为点 在双曲线上，
所以 20 4
2
0 = 8，
设切线 的方程为 0 = ( 0)，
2 2
= 1
联立{ 8 2 ，消去 并整理得(1 4 2) 2 8 ( 0 0) 4( 0
2
0) 8 = 0，
0 = ( 0)
此时 = 0，
解得 = 0 ，
4 0
所以直线 的方程为 00 = ( 4 0)， 0
令 = 0，
8
解得 = ，
0
8
即 ( , 0)，
0
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直线 01的方程为 = ( + √ 10)， 0+√ 10
即 0( + √ 10) ( 0 + √ 10) = 0，
8 √ 2
| 00( +√ 10)| | (√ 5 0+4√ 2)| 2√ 2
所以点 到直线 1的距离 1 =
0 = 0 = | 01 |，
√ 2
2
+( +√ 10) |√ 5 0+4√ 2|
0
0 0 2
8 √ 2
| 0( √ 10)| |
0(√ 5 0 4√ 2)| 0 2√ 2 同理得点 到直线 2的距离 2 = =
0 0
2 1
= | |，
√ 2+( √ 10) |√ 5 0 4√ 2|
0
0 0 2
所以 1 = 2，
则 平分∠ 1 2；
4
②由①知 的方程为 = 0 ，
0
4
= 0
联立{ 0 ，
= 0 ( + √ 10)
0+√ 10
4√ 2
解得 =
0 ，
√ 5 0+4√ 2
4
= 0
联立{ 0 ，
= 00 ( 4 0)0
32 32
解得 =
0
2 =
0 ，
0+16
2 5 20 0 32
4√ 2 0 32 0 4√ 10| 0| 所以| | = | + | =
0
√ 5 0+4√ 2 5
2
0 32 5
2
0 32
4√ 10| 0 0| 4√ 10| = ≤ 0 0
| √ 10
= ，
20+16
2 2
0 2√ 16 2 20 0
当且仅当 20 = 16
2
0时，等号成立，
1 1 √ 10 5
则△ 1 的面积 = × | 2 1|| | ≤ × √ 10 × = ． 2 2 2
5
故 1 面积的最大值为 ． 2
19.【答案】解：(1) ∵ 1 = 1， 2 = 2， 3 = 3， 4 = 5，
∴ = ，1 ≤ < ≤ 的可能情况有：
2 1 = 1， 3 1 = 2， 4 1 = 4， 3 2 = 1， 4 2 = 3， 4 3 = 2，
∴ = {1,2,3,4}，
∴ ( ) = 4．
(2)证明：设{ }为递增数列．
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必要性：若{ }是递增等差数列，设公差为 ，则 > 0，
则当 > 时， = 9 ) ，
∴ = { , 2 , … , ( 1) }， ( ) = 1．
充分性：若 ( ) = 1，
∵ { }是递增数列，∴ 2 1 < 3 1 < < 1，
∴ 2 1， 3 1，…， 1 ∈ ，且互不相等，
∴ = { 2 1, 3 1, … , 1}，
∵ 3 2 < 4 2 < < 1 2 < 1，
∴ 3 2， 4 2，…， 2， 1 ∈ ，且互不相等，
∴ 3 2 = 2 1， 4 2 = 3 1，…， 2 = 1 1，
∴ 2 1 = 3 2 = = 1，
∴ { }为等差数列，
{ }为递减数列时，同理可证．
综上，“{ }为等差数列”的充要条件是“ ( ) = 1”．
(3) ∵数列{ }由1，3，5，…，2 1，2 这 + 1个数组成，
任意两个不同的数作差，
差值只可能为±2，±4，±6，…，±(2 1)和±(2 1)，±(2 3)，…，±1，
共有2( 1) + 2 = 4 2个不同的值，
且对任意的 = 1，2，3，…，2 1，
和 这两个数中至少有一个在 中，
∵ 1，3，5，…，2 1，2 这 + 1个数中在数列{ }中出现2 + 1次，
∴数列{ }中存在 = ( ≠ )，
∴ 0 ∈ ，
综上，2 ≤ ( ) ≤ 4 1，
设数列{ }：1，1，3，3，5，5，…，2 1，2 1，2 ，
此时 = {0,1,2,… ,2 1}， ( ) = 2 ，
现对数列{ }分别作如下变换，
把1个1移动到3，5之间，得到数列：1，3，3，1，5，5，…，2 1，2 1，2 ，
此时 = {0,1,2,3,… ,2 1, 2}， ( ) = 2 + 1，
把一个1移动到5，7之间，得到数列：1，3，3，5，5，1，7，7，…，2 1，2 1，2 ，
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此时 = {0,1,2,3,… ,2 1, 2, 4}， ( ) = 2 + 2，
……
把一个1移动到2 3，2 1之间，得到数列：
1，3，3，5，5，…，2 3，2 3，1，2 1，2 1，2 ，
此时 = {0,1,2,3,… ,2 1, 2, 4, 6,… ,4 2 }， ( ) = 2 + 2 = 3 2，
把一个1移动到2 1，2 之间，得到数列：1，3，3，…，2 1，2 1，1，2 ，
此时 = {0,1,2,3,… ,2 1, 2, 4,… ,2 2 }， ( ) = 2 + 1 = 3 1，
再对数列{ }依次作如下变换：
把一个1移为2 的后一项，得到新数列：
1，3，3，5，5，7，7，…，2 1，2 1，2 ，1，
此时 = {0,1,2,3,… ,2 1, 2, 4, 6,… ,2 2 , 1 2 }， ( ) = 3 ，
再把一个3移为2 的后一项，得到新数列：1，3，5，5，…，2 1，2 1，2 ，3，1，
此时 = {0,1,2,… ,2 1, 2, 4,… ,2 2 , 1 2 , 3 2 }， ( ) = 3 + 1，
依此类推，最后把一个2 1移为2 的后一项，得到数列：
1，3，5，7，…，2 1，2 ，2 1，2 3，…，3，1，
此时 = {0,1,2,3,… ,2 1, 2, 4,… ,2 2 , 1 2 . 3 2 ,… , 1}， ( ) = 4 1，
综上， ( )可以取到从2 到4 1的所有2 个整数值，
∴ ( )的所有可能值为2 ，2 + 1，2 + 2，…，4 1．
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