河南省安阳市龙安高级中学等校 2024-2025 学年高二上学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( 1,0, 1)， = (1, , )，且 // ，则 + =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
2.已知直线 1： + (1 + ) 3 = 0与 2： 2 2 = 0互相垂直，则 =( )
A. 2或0 B. 1 C. 0 D. 2
2
3.已知函数 ( ) = + ，若 ′(1) = 0，则 =( )
A. B. C. 1 D.
2
4.设等差数列{ }的公差为 ，若 2 + 10 = 16， 6 10 = 96，则 =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5.过直线 = + 1上一动点 作圆 ：( 5)2 + 2 = 2的一条切线 ，切点为 ，则线段 长度的最小值为
( )
A. 6 B. 4 C. 3√ 2 D. √ 2
6.洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.
现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往
上数，第4层“浮雕像”的数量为( )
A. 16 B. 32 C. 48 D. 64
7.已知 是抛物线 2 = 4 上一动点，若点 到 轴的距离为 2 21，到圆 ：( + 2) + ( 2) = 1上的动点 的
距离为 2，则 1 + 2的最小值为( )
A. √ 13 1 B. 2√ 5 1 C. √ 13 2 D. 2√ 5 2
8.阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过
椭圆上任意一点 作长轴 的垂线(点 与点 ， 均不重合)，垂足为 ，
2
则 | |
1
为常数 .若 ≥ ，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
| | | | 9
√ 2 2√ 2 √ 2 2√ 2 1 √ 2
A. (0, ] B. (0, ] C. ( , ] D. ( , ]
3 3 3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知平面 过点 (1,1,1)，其法向量为 = ( 1, 1,3)，则下列各点在平面 内的有( )
A. (2,3,2) B. (2, 3,2) C. (2, 1,0) D. (1, 2,0)
10.已知数列{ }的前 项和为 ， +1 = 3 + 2，且 3 = 26，则( )
A. 1 = 2
B. { + 1}是等比数列
3
C. {
}是等差数列
2
D. 存在 ， ， 且 < < ，使得 ， ， 成等差数列
| | | |
11.已知曲线 ： = 1，则( )
4 4
A. 不经过第二象限
B. 当 ≥ 0， ≤ 0时， 上任一点到坐标原点的距离均相等
C. 上点的横坐标的取值范围是[ 2,2]
D. 上任一点到直线 = 的距离的取值范围是(0,2]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知空间中的三点 (3,0,0)， (0,3,3)， (0,1,0)，则直线 与 所成角的余弦值为______．
(1+ ) (1)
13.若 00 → 0 = 3，则 ′(1) = ______． 3 0
2
14.已知 为直线 3 = 0上一动点，过点 作椭圆 + 2 = 1的两条切线，切点分别为 ， ，若直线
3
与 轴的正半轴、 轴的负半轴分别交于点 ， ，则△ ( 为坐标原点)面积的最小值为______．
2 2
附：椭圆 0 0
2
+ 2 = 1( > > 0)在其上一点( 0, 0)处的切线方程为 + = 1．
2
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知等差数列{ }满足 2 + 5 = 12， 6 = 11，正项数列{ }满足 = 2
11
1 ．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求{ }的前 项积 ．
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 3 ( + 1) 2 + ( + 1) ( ∈ )的图象在原点处的切线的斜率为2．
(1)求 的值；
(2)若 > 0，求曲线 = ( )的过点 (1,1)的切线方程．
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17.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， = = 2√ 3， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，且平面 ⊥平面 ，
∠ = 45°， 为 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求二面角 的正弦值．
18.(本小题12分)
已知数列{ }满足 +1 ( + 1) = ( + 1)，且 1 = 1．
(1)证明{ }是等差数列，并求{ }的通项公式；
(2)若数列{ }满足
= 2 ，求{ }的前 项和 ；
1 2 2 3 +1
(3)若存在 ∈ ，使得不等式 + + + ≥ ( + 25) 成立，求实数 的取值范围．
1 2 2 3 +1
19.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 (3,0)，右顶点为 ，直线 ： = 1与 轴交于点 ，且
| |
= ．
| |
(1)求 的方程；
(2)若 为 上不同于点 的动点，直线 交 轴于点 ，过点 作 的两条切线 ， ，分别交 轴于点 ， ，
交 轴于点 ， ．
( )证明：| | = | |；
( )证明： △ = △ ( 表示面积)．
△ △
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2√ 30
12.【答案】
15
13.【答案】 9
2
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)已知等差数列{ }满足 2 + 5 = 12， 6 = 11，
设等差数列{ }的公差为 ，
∵ 2 + 5 = 12， 6 = 11，
+ + + 4 = 12
∴ { 1 1 ，
1 + 5 = 11
2 1 + 5 = 12即{ ，
1 + 5 = 11
解得{ 1
= 1
，
= 2
∴ = 1 + 2( 1) = 2 1；
(2)由(1)可知 = 2 1，
又正项数列{ }满足
11
1 = 2 ，
∴ 1 = 2
11 = 211 (2 1) = 212 2 ，
当 = 1时， 2 = 2101 ，
又∵ 1 > 0，
所以 51 = 2 ，
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所以 7 2 = 2 ，
则 = = 25 23 21 27 2
2
1 2 3 = 2
5+3+1+ +(7 2 ) = 2 +6 ．
16.【答案】解：(1)由 ( ) = 3 ( + 1) 2 + ( + 1) ，
得 ′( ) = 3 2 2( + 1) + ( + 1)，
由题意得 ′(0) = ( + 1) = 2，解得 = 2或1；
(2) ∵ > 0，∴ = 1，
则 ′( ) = 3 2 4 + 2，
设切点坐标为( , 3 2 2 + 2 )，则切线的斜率 = 3 2 4 + 2，
∴切线方程为 ( 3 2 2 + 2 ) = (3 2 4 + 2)( )，
把点 (1,1)代入，可得1 ( 3 2 2 + 2 ) = (3 2 4 + 2)(1 )，
1
得( 1)2(2 1) = 0，解得 = 或 = 1，
2
∴切线方程为3 4 + 1 = 0或 = 0．
17.【答案】解；(1)证明：由 = ， 为 的中点，可得 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)如图，过点 在平面 内作 的垂线，交 于点 ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系．
在 △ 中， = √ 2 + 2 = 2√ 6 = 2 ，
在梯形 中，∠ = 45°，所以 = = √ 6，
故 ( √ 6, 0,0)， (0,0,√ 6)， (0,√ 6, 0)，
则 = (√ 6, 0, √ 6)， = (√ 6,√ 6, 0)．
易知平面 的一个法向量为 = (0,1,0)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
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⊥ = √ 6 + √ 6 = 0
则{ ，则{ ，
⊥ = √ 6 + √ 6 = 0
令 = 1，得 = 1， = 1，则 = (1, 1, 1)．
设二面角 的平面角为 ，
| | | 1| √ 3
则| | = = = ，
| | | | √ 3 3
故 √ 6 = √ 1 cos2 = ，
3
√ 6
即二面角 的正弦值为 ．
3
18.【答案】解：(1)证明：数列{ }满足 +1 ( + 1) = ( + 1)，
两边同时除以 ( + 1)，可得 +1 = 1，
+1
又 1
= 1，所以{ }是首项和公差均为1的等差数列，
1
由等差数列的通项公式，可得 = 1 + ( 1) × 1 = ，所以 = 2 ；
(2)数列{ }满足 = 2 = × 2 ，
所以 = 1 × 2 + 2 × 2
2 + 3 × 23 + + × 2 ，
2 2 = 1 × 2 + 2 × 2
3 + 3 × 24 + + ( 1) × 2 + × 2 +1，
两式相减，得 = 2 + 22 + 23 +1
2(1 2 )
+ + 2 × 2 = × 2 +1 = (1 ) × 2 +1 2， 1 2
故 = ( 1) × 2
+1 + 2；
1
(3)由(1)知 = ，
1 2 2 3 +1 1 1 1 1 1 1
所以 × + × + + × = × + × + + ×
1 2 2 3 +1 1 2 2 3 +1
1 1 1 1 1 1
= 1 + + + = 1 = ，
2 2 3 +1 +1 +1
1 2 2 3 +1
由存在 ∈ ，使得不等式 + + + ≥ ( + 25) 成立，
1 2 2 3 +1
即有存在 ∈ ，使得 ≥ ( + 25) 成立，
+1
所以 ≤ [ ]
( +1)( +25)
，
1 1 1
因为 = = ≤ = ，
( +1)( +25) 2+26 +25 25 + +26 25 36
2√ × +26
25 1
当且仅当 = ，即 = 5时，等号成立，所以 ≤ ，
36
1
故实数 的取值范围是( ∞, ]．
36
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19.【答案】解：(1)易知 ( , 0)，
| |
因为直线 ： = 1与 轴交于点 ，且 = ，
| |
所以 | 1| = 3 ．
若 ≤ 1，
此时 (1 ) = 3 ，
即 2 2 + 3 = 0，该方程无解，
若 > 1，
此时 ( 1) = 3 ，
即 2 = 3，
所以 = √ 32 2 = √ 9 3 = √ 6，
2 2
则双曲线 的方程为 = 1．
3 6
(2)证明：设 (1, )，
易知过点 且与 相切的直线的斜率存在且不等于0和±√ 2，
设切线的方程为 = ( 1) + ( ≠ 0,±√ 2)，
= ( 1) +
联立{ 2 2 ，消去 并整理得(2 2) 2 2 ( ) ( )2 6 = 0，
= 1
3 6
此时 = 4 2( )2 4(2 2)[ ( )2 6] = 0，
整理得2 2 + 2 2 6 = 0．
设切线 ， 的斜率分别为 1， 2，
则 1 + 2 = ；
( )易知直线 的方程为 = ( 3)，
2
令 = 0，
3
解得 = ． 2
因为直线 的方程为 = 1( 1) + ，直线 的方程为 = 2( 1) + ，
所以 = 1 + ， = 2 + ，
所以 + = ( 1 + 2) + 2 = + 2 = 3 = 2 ，
则 是 的中点，
故| | = | |；
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( )易知 (1,0)， (3,0)， (1 , 0)， (1 , 0) ， 1 2
所以| | = | |, | | = | | | | = | + 2| | | = | + 2| 1
，
2
，
1
，
2
因为 1 + 2 = ，
| | | | 1 | | | ( 1+ 2)| | + |所以 = = = =
1 2 ，
| | | +2| | +2 1| | ( 1+ 2)+2 1| | 1 2| 1
| | | | 2 | | | ( 1+ 2)| | + = = = = 1 2
|
| |
，
| +2| | +2 2| | ( 1+ 2)+2 2| | | 1 22
| | | |
则 = ，
| | | |
因为△ ，△ ，△ ，△ 的高相等．
所以 △
= △ ．
△ △
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