2024-2025学年甘肃省临夏州高中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题：，使，则命题为( )
A. ，使 B. ，使
C. ，使 D. ，使
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条
4.函数的图象关于( )
A. 轴对称 B. 轴对称 C. 原点对称 D. 直线对称
5.已知幂函数，则函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
6.若，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，矩形在圆外的面积为，，则矩形截圆所得的的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，若集合其中且，则集合的真子集个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若实数，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则( )
A. 可能为
B. 是图象的一条对称轴
C. 为图象的一个对称中心
D. 在上的值域为
11.已知函数若关于的方程有三个不同的实数根，，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为则 ______．
13.已知集合，集合，若，则实数 ______．
14.已知，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点，且点的坐标为．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知函数．
判断的奇偶性，并加以证明；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若，且，，求的最小值；
若，解关于的不等式．
18.本小题分
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
求实数，，和函数的解析式．
若函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象．
求的单调递减区间；
若存在，使得不等式成立，求的取值范围．
19.本小题分
悬链线原理广泛应用于设计桥梁、电缆、建筑物支撑结构等各个领域年，莱布尼茨等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数常数是自然对数的底数．
证明：；
判断函数在上的单调性并用定义法证明；
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.角是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点，
所以，由，可得，
由三角函数的定义得：；
原式
．
16.解：为奇函数，
证明如下：
函数．
则且，解得，
所以函数定义域为；
因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为奇函数．
若，函数，
则，
因为在上单调递增，
所以，解得：．
实数的取值范围为．
17.解：因为，则，且，，
可得，
当且仅当即，时，等号成立，
所以的最小值为；
因为，所以，即，
当时，，所以不等式的解集为；
当时不等式的解集为；
当时，方程的根为或，
不等式的解集为；
综上：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时不等式的解集为；
18.解：由表可知，过点，且其最大值为，
故A，，
解得，故，
所以，解得，
，解得，
，解得．
，
令，解得，
所以的单调递减区间．
存在，使得不等式成立，
即，
因为，所以，
所以当，即时，，
所以，解得．
故的取值范围为．
19.解：证明：函数在上的单调递增，证明如下：
，
所以．
函数在上的单调递增，证明如下：
令，
任取，所以
，
因为在上的单调递增，所以，则，
又，所以，即，
所以函数在上的单调递增．
对任意恒成立，
又，，
所以，
即，
因为由知函数在上是增函数，
令，则函数在上是增函数，
当时，，且，则，
于是有，即对任意的恒成立，
令，其中，
当时，即当时，函数在上单调递增，
则，解得，此时，；
当时，即当时，只需，
解得，此时，；
当时，即当时，函数在上单调递减，
则，解得，此时，．
综上，．
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