云南大学附中星耀学校 2024-2025 学年高一下学期开学数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 20° 25° 20° 25°的值为( )
√ 2 √ 2
A. 0 B. 1 C. D.
2 2
2 1, ≤ 1
2.已知函数 ( ) = { 1 ，则 ( (3)) =( )
, > 1
1
3 10 1
A. 8 B. C. D.
4 9 2
3.已知集合 = { | ≥ 1}， = { ∈ |2 + 3 > 0}，则( )
A. B. C. ∩ = D. 0 ∈ ∪
1 1
4.若 = 23， = log 3， = 2 ，则( ) 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
5 5
5.在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点 (sin , cos )，则 =( )
3 3
√ 3 √ 3
A. √ 3 B. C. D. √ 3
3 3
6.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小乐
同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为10 / ，然
后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%，
若石片接触水面时的速度低于2 / ，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳
次数为( )
(参考数据： 2 ≈ 0.7， 3 ≈ 1.1， 5 ≈ 1.6)
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7.函数 ( ) = ( 2 2 ) 的图象大致是( )
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A. B.
C. D.
1 2 1
8.已知函数 ( ) = ，若对任意的正数 ， ，满足 ( ) + (2 1) = 0，则 + 的最小值为( ) +1
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若 > > 0，则 2 > 2
B. 若 < < 0，则 2 < < 2
1 1
C. “ > 2”是“ < ”的充要条件
2
D. “ > | |”是“ 2 > 2”的充分不必要条件
10.对于函数 ( ) = sin( + )( > 0)，下列结论正确的有( )
6
5
A. 当 = 2时， ( )的图象关于点( , 0)中心对称
12
B. 当 = 2时， ( )在区间(0, )上是单调函数
2
C. 若 ( ) ≤ ( )恒成立，则 的最小值为2
6
D. 当 = 1时， ( )的图象可由 ( ) = 的图象向右平移 个单位长度得到
3
11.设函数 ( )的定义域为 ，且满足 ( + 2) = ( )，当 ∈ ( 1,1]时， ( ) = 2 + 1，则下列结论正
确的是( )
A. ( 1) = 0
31 8
B. ( ) =
3 9
C. ( )在(6,8)上为减函数
D. 方程 ( ) = 0有且仅有5个实数根
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知幂函数 ( ) = ( 2 + 5) 的定义域是 ，则 = ．
13.已知函数 ( ) = sin2 2 ，则 (3) = ______．
2 , ≥ 0
14.已知函数 ( ) = { 2 ，若存在 1， 2， 3( 1 < 2 < 3)，使得 ( 1) = ( 2) = ( 3)，则 ( + + 4 , < 0 1
2)的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | = ln( 2 5 + 6)}， = { | 3 < < 2 + 1}．
(1)当 = 2时，求 ∩ ；
(2)已知 ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
3
(1)计算：4 √ 10 3 + 0 423 × 316 ( 3) + 16 ；
5 5
tan +tan
(2)化简求值 4 125 ；
1 tan
12
√ 5 3√ 10
(3)设 ， 为锐角，且 = ，cos = ，求 + 的值．
5 10
17.(本小题15分)
一项关于高中生上课注意力集中情况的调查研究表明，在一节课内，注意力指数 与听课时间 (单位：分钟
)之间的关系满足如图所示的曲线.当 ∈ (0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当 ∈ (14,40]时，曲线是
函数 = log ( 5) + 83( > 0且 ≠ 1)图象的一部分.根据研究得知：当注意力指数 大于80时听课效果最
佳．
(1)求 = ( )的函数解析式；
(2)在一节课的什么时间段内学生听课效果最佳？请说明理由．
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18.(本小题17分)
3 1
已知函数 ( ) = √ 3sin( + )cos( ) sin2( + ) + ．
2 2
(1)求函数 ( )的最小正周期及函数 ( )图象的对称轴；
(2)若函数 ( )在[ , ]上不单调，求 的取值范围；
(3)若 1 , 1 ∈ [0, ]，都有| ( 1) ( 2)| ≤ 恒成立，求实数 的取值范围． 2
19.(本小题17分)
2
已知偶函数 ( )和奇函数 ( )满足： ( ) + ( ) = 2 + 2 + 2 ． 2+
(1)求 ( )， ( )解析式；
(2)解不等式 ( ) < 2；
(3)存在实数 ， ， ∈ [0, ]满足5| ( ) ( )| < 4 ( )， ( )存在最值大值，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
3
13.【答案】
10
14.【答案】( ∞, 4)
15.【答案】解：(1)因为 = { | = ln( 2 5 + 6)} = { | 2 5 + 6 > 0} = { | < 2或 > 3}，
当 = 2时， = { | 1 < < 5}，
所以 ∩ = { | 1 < < 2或3 < < 5}；
(2)因为 ∪ = ，所以 ，
当 = 时， 3 ≥ 2 + 1，
解得 ≤ 4，
3 < 2 + 1 3 < 2 + 1
当 ≠ 时，{ 或{ ，
2 + 1 ≤ 2 3 ≥ 3
1
解得 4 < ≤ 或 ≥ 6，
2
1
综上，实数 的取值范围为{ | ≤ 或 ≥ 6}．
2
3
16.【答案】解：(1)4 √ 10 3 + 23 × 316 ( 3)
0 + 164
3 16
= 2 3 + × 1 + 8 = 2 3 + 4 1 + 8 = 10．
2 3
5 5 5
tan +tan tan +tan
(2) 4 12 = 4 12
2
5 5 = tan = √ 3；
1 tan 1 tan tan 3
12 4 12
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√ 5 3√ 10 2√ 5 √ 10
(3)由于 ， 为锐角，且 = ，cos = ，故 = √ 1 sin2 = ， = √ 1 cos2 = ；
5 10 5 10
6√ 50 √ 50 √ 2
所以cos( + ) = = = ，
50 50 2
由于 ， 为锐角，所以0 < + < ；
故 + = ．
4
17.【答案】解：(1)根据题意，当 ∈ (0,14]时，设 = ( ) = ( 12)2 + 82( < 0)，
1
将点(14,81)代入得 = ，
4
1
∴当 ∈ (0,14]时， = ( ) = ( 12)2 + 82，
4
1
当 ∈ (14,40]时，将点(14,81)代入 = log ( 5) + 83，解得 = ， 3
1
( 12)2 + 82,0 < ≤ 14
综上所述， ( ) = { 4 ；
1( 5) + 83,14 < ≤ 40
3
1
( 12)2 + 82,0 < ≤ 14
(2)根据题意， = ( ) = { 4 ，
1 ( 5) + 83,14 < ≤ 40
3
1
( 12)2 + 82 > 80 1( 5) + 83 > 80若 > 80，即{ 4 ①或{ 3 ②，
0 < ≤ 14 14 < ≤ 40
解①可得：12 2√ 2 < ≤ 14，
解②可得：14 < < 32，
综合可得：12 2√ 2 < < 32，即在(12 2√ 2, 32)内，听课效果最佳．
3 1
18.【答案】解：(1)函数 ( ) = √ 3sin( + )cos( ) sin2( + ) +
2 2
1
= √ 3 cos2 +
2
√ 3 1
= 2 2
2 2
= sin(2 )，
6
2
所以函数 ( )的最小正周期 = = ，
2
令2 = + ， ∈ ，解得 = + ， ∈ ，
6 2 3 2
即函数 ( )图象的对称轴为 = + ， ∈ ．
3 2
(2)当 ∈ [ , ]时，2 ∈ [ 2 , 2 ]，
6 6 6
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由 > 0，可得 2 < ，2 > ，
6 6 6 6
因为函数 ( )在[ , ]上不单调，
所以 2 < 或2 > ，解得 > ，
6 2 6 2 6
即 的取值范围是( , +∞)．
6
(3)若 1 , 1 ∈ [0, ]，都有| ( 1) ( 2)| ≤ 恒成立， 2
则 ≥ ( ) ( ) ，
5
当 ∈ [0, ]时，2 ∈ [ , ]，
2 6 6 6
1
所以 ( ) ∈ [ , 1]，
2
1 3
所以 ≥ 1 ( ) = ，
2 2
3
即 的取值范围是[ , +∞)．
2
19.【答案】解：(1) ∵ ( )为奇函数， ( )为偶函数，
∴ ( ) + ( ) = 0， ( ) = ( )，
2
∵ ( ) + ( ) = 2 + 2 + 2 ，① 2+
∴ ( ) + ( ) = 2
2+
+ 2 + 2 ， 2
2+
∴ ( ) ( ) = 2 + 2 + 2 ，② 2
2
联立①②得， ( ) = 2 + 2 ， ( ) = 2 , ∈ ( 2,2)． 2+
2
(2) ∵ ( ) = 2 < 2, ∈ ( 2,2)， 2+
2 1
∴ 2 < 2+ 2
，
4
2 1 6
∴ < ，解得 < < 2，
2+ 4 5
6
不等式 ( ) < 2的解集为( , 2)．
5
(3) ∵ ( ) = 2 + 2 ， ∈ ( 2,2)，
当 ∈ [0,2)时，令 = 2 ∈ [1,4)为增函数，
1
由 = + 在[1,4)上单调递增知，知 ( )在[0,2)单调递增，
∴ ( )的最小值为 (0) = 2．
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2 4
∵ ( ) = 2 = 2( 1 + ), ∈ ( 2,2)， 2+ +2
可知 ( )在[0,2)单调递减， ( )的最大值为 (0) = 0，
∴当 ∈ [0,2)时， ( ) > ( )，
∵存在实数 ， ， ∈ [0, ]满足5| ( ) ( )| < 4 ( )，
∴ 5| ( ) ( )| < 4 ( ) ，
5
∴ 10 < 4 ( ) ， ( ) > ， 2
∵ ， ， ∈ [0, ]，∴ > 0，
∵ ( )在[0, ]取到最大值，∴ < 2，
∴ 2
5
+ 2 > ，解得 < 1，或 > 1．
2
综上所述， 的取值范围为(1,2)．
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