2024-2025学年黑龙江省大庆市林甸一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点到准线的距离等于( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知，分别是平面，的法向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.圆和圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
5.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的一条渐近线方程为，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量不共面，则使向量共面的实数的值是( )
A. B. C. D.
8.定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差已知各项均为正数的数列是等方差数列，且公方差为，，则数列的前项的和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若为等差数列，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 是数列中的项
C. 数列的前项和 D. 数列的前项和最大
10.设，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则下列说法中正确的是( )
A. B. 的周长为
C. 的面积为 D. 点在圆上
11.如图，已知棱长为的正方体，动点是内部一点含边界，则下列选项正确的是( )
A. 动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值
B. 对于任意，平面
C. 动点到直线的距离最小值为
D. 满足的的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足：，，则 ______．
13.在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为______．
14.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，其中则的长的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：和圆：．
Ⅰ求与直线垂直且经过圆心的直线的方程；
Ⅱ求与直线平行且与圆相切的直线的方程．
16.本小题分
已知直线经过抛物线：的焦点，且与交于，两点．
求的方程；
求圆心在轴上，且过，两点的圆的方程．
17.本小题分
歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶上半部分类似于五面体形状如图所示的五面体的底面为一个矩形，，，，棱，，分别是，的中点．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知为等差数列，前项和为，是首项为且公比大于的等比数列，，，．
求和的通项公式；
求数列的前项和
19.本小题分
如图，已知椭圆：上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点．
求椭圆的方程；
若，求直线的方程；
当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
参考答案
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15.解：Ⅰ由两条直线垂直的性质，
又直线：的斜率为，可得与直线垂直的直线的斜率为，
设与直线：垂直的直线为，
圆可化为，圆心为，
又因为直线经过圆心，所以，即，
故所求直线方程为．
Ⅱ由两条直线平行的性质，
设与直线：平行的直线为．
又因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即，所以，解方程可得或，
故所求直线方程为或．
16.解：依题意，抛物线的焦点在直线上，
则，解得，
所以的方程为．
由知，抛物线的准线方程为，
设，，的中点为，
由，消去得，
则，有，，即，
因此线段的中垂线方程为，即，
令，得，设所求圆的圆心为，则，
又过的焦点，
则有，
设所求圆的半径为，则，
故所求圆的方程为．
17.解：证明：因为，为的中点，所以，
在矩形中，，分别是，的中点，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面．
在平面中，过作，为垂足，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
过作的平行线，交于点，则，，，
以为坐标原点，以，，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，．
设平面的一个法向量为，
则，则，所以，
取，解得，所以，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
所以平面的一个法向量为．
设平面与平面夹角为．
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则．
则由可得，，解得或舍去，
所以，则，．
由可得，由可得，，
又，所以．
所以，，所以，
所以．
由知，，，
所以．
所以，，，
两式作差得，，
所以，．
19.解：因为椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，
所以，
解得，
所以，
则椭圆的方程为；
因为直线的斜率为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
若，
此时，
解得或，
当时，直线的方程为，
此时直线过点，不满足条件；
当时，直线的方程为，满足条件，
所以直线的方程为；
证明：因为直线，均不与轴垂直，
所以直线不经过点和，
所以且，
由知，
．
故为定值．
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