四川省资阳市 2024-2025 学年高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2,3}, = { ∣ 4 1 > 0, ∈ }，则 ∩ =( )
A. {2,3} B. {1,2,3} C. {0,1,2,3} D. { 1,0,1,2,3}
3
2.已知cos = ，且 为第二象限角，则tan =( )
5
3 3 4 4
A. B. C. D.
4 4 3 3
3.命题“ ∈ , 3 > 2 + 2”的否定是( )
A. , 3 ≤ 2 + 2 B. ∈ , 3 ≤ 2 + 2
C. ∈ , 3 ≤ 2 + 2 D. , 3 ≤ 2 + 2
4.“角 为第三象限角”是“tan > 0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
( +3
3
5.函数 ) = 的图象大致为( ) +
A. B.
C. D.
6.下列不等式成立的是( )
2 3
4 3 4 4
A. ( ) < ( ) . B. 1. 70.3 < 0. 93.1． C. 37 > 57 D. 23 < 7 5 5 4
1+sin 1 sin
7.已知 是第三象限角，则√ √ 化简结果为( )
1 sin 1+sin
2 2
A. B. C. 2cos D. 2tan
cos tan
8.已知函数 ( )是定义域为 的偶函数，且 (1 + ) + (1 ) = 0，若 1 ≤ ≤ 0时， ( ) = 2(3 + 2 )，
则 (
57) =( )
2
1 1
A. 1 B. C. D. 1
4 2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数 , 满足0 < < ，则下列不等式中一定成立的是( )
1 1
A. > B. 2 > 2
+2
C. < D. √ + 1 > √ + 1
+2
10.已知关于 的不等式 ( 2)( + 1) + 1 > 0的解集是( 1, 2)，其中 1 < 2，则下列结论中正确的是( )
A. 1 + 2 = 1 B. 1 2 + 2 < 0
C. 1 < 1 < 2 < 2 D. | 1 2| > 3
2
11.已知函数 ( ) = {2 , ≥ 0, 实数 , , 满足 ( ) = ( ) = ( ) = ，且 < < ，则( ) 2 1, < 0,
A. [ ( 3)] = 35
3
B. ∈ (1, )
2
C. + + ∈ (1,2)
D. 函数 = [ ( )] 有5个互不相等的零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
( ) 412.函数 = + ( > 0)的最小值为 ．
1
13.若tan = ，则 = ．
3
14.根据调查统计，某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型 = ，其中 为饱和度， 为初
1+( 1)
0
0
始值，此后第 年底新能源汽车的保有量为 (单位：万辆)， 为年增长率.若该地区2024年底的新能源汽车
保有量约为20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为10%，饱和度为1020万辆，那么2030年底该地区
新能源汽车的保有量约 万辆. (结果四舍五入保留到整数；参考数据：ln0.61 ≈ 0.5, ln0.55 ≈
0.6, ln0.49 ≈ 0.7)
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { ∣ 2 6 ≥ 0}, = { ∣ 5 < < 2 + 1, ≥ 0}．
(1)若 = 0，求( ) ∩ ；
(2)若 ∪ = ，求 的取值范围．
16.(本小题12分)
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在直角坐标系内，已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点
(
2√ 5 √ 5
, )．
5 5
sin cos
(1)求值： ；
tan
sin(2 )sin( + )sin(
11
5 )cos( )
(2)先化简再求值： 29 ．
cos ( )sin(3 )sin( + )sin( + )
2
17.(本小题12分)
求下列各式的值：
3
(1)2 3 × 3 √1.5 × 6√ √12；
(2) 525 2( 216) + 25 × 59 × ( 38 34)．
18.(本小题12分)
2
已知函数 ( ) = ( 为实数)是奇函数．
2+2 +1
(1)求 的值；
1
(2)解不等式： ( ) > ；
4
(3)若实数 满足 (2 2 3) + (1 3 ) > 0，求 的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数 (
2+
) = + 1 ln ，其中 < 0．
2
(1)证明：函数 ( )的图象是中心对称图形；
(2)设 2 < < 0，证明： ( ) > 1；
(3)令 ( ) = 2 + 2 + 2 ，若 1 ∈ [ 1,1], 2 ∈ [ 1,1]，使得 ( 1) ≤ ( 2)，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4
3
13.【答案】
10
14.【答案】36
15.【答案】(1)因为 2 6 ≥ 0，所以 ≥ 3或 ≤ 2，
所以 = { | ≤ 2或 ≥ 3}，所以 = { | 2 < < 3}，
当 = 0时， = { ∣ 5 < < 1}，所以( ) ∩ = { | 2 < < 1}；
(2)当 ≥ 0时， 5 < 2 + 1， = { ∣ 5 < < 2 + 1}，
5 ≤ 2
又 = { | ≤ 2或 ≥ 3}， ∪ = ，所以{3 ≤ 2 + 1 ，解得1 ≤ ≤ 3，
≥ 0
所以 的取值范围为1 ≤ ≤ 3．
√ 5 2√ 5 1
16.【答案】(1)由三角函数的定义可得sin = , cos = , tan = ，
5 5 2
√ 5 ( 2
√ 5
)
sin cos 5 5 2√ 5
所以 = 1 = ； tan 5
2
11
sin(2 )sin( + )sin(5 )cos ( 2
)
(2)
9
cos( )sin(3 )sin( + )sin ( 2 +
)
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( sin )( sin )sin ( sin ) sin sin 1
= = = 2 = ．
( cos )sin ( sin )cos cos cos 4
1
3 3 3 1 1 1 1 16
17.【答案】1)2√ 3 × 3 √1.5 ×
6
√12 = 2 × 32 × 3 × √ × √22 × 3 = 2 × 32 × 3 × 3
3 × 2 3 × 23 × 36 =
2
1 1 1 1 1
21 +3 3 × 3 +1+ +2 3 6 = 18；
( ) ( ) lg5 lg9(2) 525 2 216 + 25 × 59 × 38 34 = 2 24 + × × 32 = 2 2 +lg2 lg5
2lg3 lg2
× = 2．
lg2 lg3
18.【答案】(1)由题意函数 ( )是定义在 上的奇函数，所以 ( ) = ( )，
1
2 2
1 2 2
即 2 = +1，整理得 = 恒成立，即(1 )(2
+ 1) = 0．
2+ 2+2 2 2
+2 2+2 2
2
所以 = 1；
( ) 1 2
( ) 1 1 2
1
(2)由(1)知 = +1，则 > > 2
< 3，
2+2 4 1+2 2
所以2 < 3 = 2 23，由函数单调递增得 < 23，所以原不等式的解集为( ∞, 23)；
1 2 1 1 2 1 2
(3)由(1)可得 ( ) = +1 = × = ( 1 + )； 2 +2 2 1+2 2 1+2
取任意 1, 2 ∈ ，且 1 < 2，
则 ( 1) ( 2)
1 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1= 1 + 1 + = (
2 2
)
2 1+2 1 2 1+2 2 2 1+2 1 1+2 2
1 1 1+2 2 (1+2 1) 2 2 2 1
= = = ， 1+2 1 1+2 2 (1+2 1)(1+2 2) (1+2 1)(1+2 2)
因为 1 < 2，所以2
2 2 1 > 0，又易知(1 + 2 1 )(1 + 2 2 ) > 0，
所以 ( 1) ( 2) > 0，即 ( 1) > ( 2)；
因此函数 ( )为单调递减函数；
由 (2 2 3) + (1 3 ) > 0可得 (2 2 3) > (1 3 ) = (3 1)；
由 ( )为单调递减可知2 2 3 < 3 1，即2 2 3 2 < 0，
1 1
解得 < < 2，所以 的取值范围为( , 2)．
2 2
2+
19.【答案】(1)由题意可得 > 0，即(2 + )(2 ) > 0，即 2 < < 2，
2
( 2 2+ 2 2+ ) + ( ) = + 1 ln + + 1 ln = 2 ln ( ) ( ) = 2，
2+ 2 2+ 2
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故 ( )关于(0,1)中心对称；
2+ 2+4 4
(2)当 2 < < 0时， = = 1 ∈ (0,1)，
2 2 2
( 2+ 2+ 则 ) 1 = ln = ln > ln1 = > 0，
2 2
故当 2 < < 0时， ( ) > 1；
( ] 2+ 2+4 4(3)当 ∈ 0,1 时， = 单调递减， = = = 1单调递增，
2 2 2
则 ( )单调递减，又 ( )关于(0,1)中心对称，故 ( )在[ 1,1]上单调递减，
则 ( )
2 1
max = ( 1) = + 1 ln = 1 + ln3 ， 2+1
1 1
当 ∈ [ 1,1]，令 = 2 ∈ [ , 2]，则 ( ) = 2 + 2 + 2 = + + 2 ，
2
1 1
由对勾函数性质可得函数 = + 在( , 1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，
2
1 1 5 1 5 5
又当 = 时， = 2 + = ，当 = 2时， = 2 + = ，故 ( ) = + 2 ，
2 2 2 2 2 max 2
5 ln3 1 ln3 1
则有1 + ln3 ≤ + 2 恒成立，即 ≥ ，故 ≤ < 0．
2 3 2 3 2
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