第27章 相似 单元试卷 2024-2025学年人教版数学九下
一、单选题
1．已知四条线段a，b，c，d的长度，它们成比例的是( )
A．1，2，3，4 B．16，8，10，5 C．8，5，6，10 D．5，5，6，7
2．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（ ）
A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：AD
C．AB2＝CD BC D．AB2＝BD BC
3．△ABC与△A′B′C′是相似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积比是（ ）
A．1：2 B．1： C．1：4 D．2：1
4．如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ）
A．3:2 B．3:1 C．1:1 D．1:2
5．如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么图中相似的三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，按位似比把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A．(3, 1) B．(-2, -1)
C．(3, 1)或(-3, -1) D．(2, 1)或(-2, -1)
7．如图，是的中线，点在上，，连接并延长交于点，则：的值是（ ）
A．： B．： C．： D．：
8．如图，在菱形中，，交BC的延长线于点E．连接AE交BD于点F，交CD于点G、于点H，连接CF．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是 ．
10．如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距 米.
11．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为 m．
12．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF= ．
13．如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段AB和线段CD表示两根电线杆，线段AD和BC表示两根拉紧的铁丝，AD和BC交于点P．测量得米，点P距地面的高度为3米，则CD的长为 米．
14．如图，正方形ABCD中，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ．
三、解答题
15．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
16．已知：如图，在中，点为边上的一点．
(1)过点作直线，交线段于点E．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，若，求的值．
17．王亮同学利用课余时间对学校旗杆的高度进行测量，他是这样测量的：把长为3 m的标杆垂直放置于旗杆一侧的地面上，测得标杆底端距旗杆底端的距离为15 m，然后往后退，直到视线通过标杆顶端正好看不到旗杆顶端时为止，测得此时人与标杆的水平距离为2 m，已知王亮的身高为1.6 m，请帮他计算旗杆的高度(王亮眼睛距地面的高度视为他的身高)．
18．如图，有一块三角形土地，它的底边m，高m，某单位要沿底边BC建一座是矩形的大楼，且使矩形的两个端点D、G分别在AB、AC上，当这座大楼的地基面积为1875时，求这个矩形沿BC边所占的EF的长．
19．如图，在矩形ABCD，，，点E在AD上，且．
求证：∽
与BE交于点H，求HC的长．
20．如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，.
(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对加以证明.
(2)求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围.
21．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．
参考答案
1．B
2．D
3．C
4．D
5．C
6．D
7．A
8．D
9．四边形
10．1
11．108
12．
13．12
14．4
15．（1）如图，为所作．
（2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．
16．（1）解：如图，作，交线段于点，
∴，
则直线即为所作；
（2）∵，，
∴，
∴
∴．
∴的值为．
17．解：根据题意知，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，EF＝1.6 m，CD＝3 m，FD＝2 m，BD＝15 m，过E点作EH⊥AB，交AB于点H，交CD于点G，则EG⊥CD，EH∥FB，EF＝DG＝BH，EG＝FD，CG＝CD－EF.因为△ECG∽△EAH，所以，即＝ ，所以AH＝11.9(m)，所以AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)，即旗杆的高度为13.5 m.
18．解：设DE的长为x，
∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC，
∴AM⊥DG
∴，
∴，
∴，
∴矩形DEFG面积为：，
解得：x＝30或50，
EF＝DG＝62.5或37.5．
∴当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米．
19．证明：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，，
，，
，
，
∽，
解：∽，
，
，
，
，
，
在中，
，，，
，
，
，
．
20．解：(1)，，
∵，
∴
又
∴.
(2)由(1)可知，，则有.
∴
又∵是等腰直角三角形，且，
∴，又，，
∴，即，或.
21．解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC
∴△ABC为等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴△PBD为等边三角形
∴，
∴
在和中
∴
∴
（2）过点作，如下图：
∵当α＝120°时，
∴，
∴
由勾股定理得
∴
∴
由旋转的性质可得：，
∴，
又∵
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
（3）过点作于点，过点作于点，则点D到CP的距离就是的长度
当在线段上时，如下图：
由题意可得：
∵α＝120°，
∴
在中，，∴，
在中，，，∴
∴，
由（2）得
由旋转的性质可得：
设，则
由勾股定理可得：
即，解得
则
当在线段延长线上，如下图：
则，
由（2）得，
设，则
由勾股定理可得：
即，解得
则
综上所述：点D到CP的距离为或
