2023-2024学年天津市河西区翔宇中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分，请考生用2B铅笔将答案填涂在答题卡上）
1．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．，，
C．32，42，52 D．9，40，41
3．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为（ ）
A．36° B．144° C．108° D．126°
4．（3分）如图，钓鱼竿AB的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为2m．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到AB′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为，则CC′的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，点E，F分别是BC、BD的中点，若AB＝8，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，添加选项中的条件后不能判定四边形BFDE是平行四边形的是（ ）
A．BE∥DF B．BE＝DF C．BF＝DE D．AE＝CF
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝30°，∠ADB＝100°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．35°
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（ ）
A． B． C．3cm D．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d，且c＜a＜d＜b．若a＝2，b+c＝12．则下列判断错误的是（ ）
A．d＝10
B．BD2＝12
C．四边形ABCD的面积是24
D．AD＜BC
12．（3分）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝CD；④ED⊥BD；⑤AE2+AD2＝2AC2．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，共18分，请考生将答案填写在答题纸上）
13．（3分）设n为正整数，若n＜＜n+1，则n的值为 ．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ．
15．（3分）如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 cm．
16．（3分）已知a+b＝﹣5，ab＝1，则b+a的值为
17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝OB，点E，点F分别是OA，OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，，则线段BC的长为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，CF＝BE，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则PM+PN的最小值为 ．
三、解答题
19．（6分）（1）计算：2（）+．
（2）先化简，再求值：（a﹣1+）÷（a2+1），其中a＝．
20．（7分）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB＝3，OE＝2，BF＝5，求DF的长．
21．（7分）某校八年（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米：
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米：
③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
（1）求风筝的垂直高度CE：
（2）如果小明想风筝沿CD方向再上升4米，则他应该再放出多少米线？
22．（8分）小明遇到这样一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求△ABC的面积．
小明是这样解决问题的：如图1，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形ABC（即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．
参考小明解决问题的方法，解答下列各题：
（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在图②中画出三边长分别为，2，的格点三角形DEF；
②计算①中△DEF的面积为 .（直接写出答案）
（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．
①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．
②若PQ＝，PR＝，QR＝3，直接写出六边形AQRDEF的面积为 ．
23．（8分）如图1，已知矩形ABCD，点E是边CD上一点，点F是CB延长线上一点，且BF＝DE，AF⊥AE．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）如图2，在（1）的条件下，若CD＝3DE＝6，点G是边AD上一点，连结CG交AE于点H，有∠AHG＝45°，求CG．
24．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D为平面内一点，连接DB、DC，∠BDC＝120°．
（1）如图①，当点D在BC下方时，连接AD，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE．
①求证：△ABD≌△ACE；
②如图②，过点A作AF⊥DE于点F，直接写出线段AF、BD、DC间的数量关系；
（2）若，DC＝12，直接写出点A到直线BD的距离．
2023-2024学年天津市河西区翔宇中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D D A A B C B D B C
题号 12
答案 C
一、选择题（每小题3分，共36分，请考生用2B铅笔将答案填涂在答题卡上）
1．【解答】解：A．的被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．＝＝2，的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意；
B、，，不都是正整数，本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意；
C、∵（32）2+（42）2＝81+256＝337，（52）2＝625，
∴（32）2+（42）2≠（52）2，
∴本选项中一组数据不是勾股数，不符合题意；
D、∵92+402＝81+1600＝1681，412＝1681，
∴92+402＝412，
∴正整数9，40，41是勾股数，符合题意；
故选：D．
3．【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC，
∵∠1＝∠B′AC+∠DCA，
∴∠1＝2∠BAC＝36°，
∴∠BAC＝18°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°，
故选：D．
4．【解答】解：由题意可得：AB′＝AB＝6m，BC＝2m，
则AC＝＝＝4（m），
AC′＝＝＝3（m），
故CC′的长为：AC﹣AC′＝4﹣3＝（m）．
故选：A．
5．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AB＝8，
则CD＝AB＝×8＝4，
∵点E，F分别是BC，BD的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝CD＝2，
故选：A．
6．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
由BE＝DF，不能判定四边形BFDE是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BF＝DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
7．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°，
∵AB＝2，∠ABE＝45°，
∴AE＝AB＝2，
∴BE＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BC＝BE＝2，
∴AD＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣2，
故选：C．
8．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF＝5，AE＝CF，
∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，
∵ ABCD的周长为30，
∴2AB+2CB＝30，
∴AB+CB＝15，
∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25，
∴四边形ABFE的周长是25，
故选：B．
9．【解答】解：∵点P是BD的中点，点E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，PE∥AD，
∴∠EPD＝180°﹣∠ADB＝80°，
同理可得，PF＝BC，PF∥BC，
∴∠FPD＝∠CBD＝30°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠FPD＝110°，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝×（180°﹣110°）＝35°，
故选：D．
10．【解答】解：连接BH，如图所示：
根据作图可知，EF垂直平分AB，
∴BH＝AH，AD＝BD，
∵△ABC为直角三角形，
∴，
∴CG＝CD＝5cm，
根据勾股定理得：，
∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm），
设AH＝BH＝x cm，则CH＝（8﹣x）cm，
根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得：，
∴，
故选：B．
11．【解答】解：如图，连接BD，
根据题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝DC2，d＝AD2，
∵c＜a＜d＜b，
∴AD＜BC，故选项D正确，不符合题意；
在Rt△ABD与Rt△BCD中，
∵BD2＝AB2+AD2，BD2＝DC2+BC2，
∴a+d＝b+c，
∵a＝2，b+c＝12，
∴d＝10，故选项A正确；
∴BD2＝a+d＝12，故选项B正确；
∵，
∴，即，
∵a＝2，d＝10，
同理，
∴，
6＜24，
故选项C不正确，符合题意，
故选：C．
12．【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，
∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
所以①正确，符合题意；
∵∠DAC＝∠E+∠ACE，
即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，
∵∠BAC＝∠E＝45°，
∴∠DAB＝∠ACE，
所以②正确，符合题意；
∵AE+AC＞CE，CE＝CD，
∴AE+AC＞CD，
所以③错误，不符合题意；
∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC＝∠E＝45°，
∵∠CDE＝45°，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，
∴ED⊥BD，
所以④正确，符合题意；
∴△ADB是直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，
∴AD2+AE2＝AB2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB2＝2AC2，
∴AE2+AD2＝2AC2，
故⑤正确，符合题意；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分，请考生将答案填写在答题纸上）
13．【解答】解：∵1＜＜2，
∴n＝1，
故答案为：1．
14．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝ AF BC＝10．
故答案为：10．
15．【解答】解：设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，根据勾股定理，得：
c2＝a2+b2，故：c＝＝＝13cm，h＝24﹣13＝11cm．
16．【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
∴b+a＝﹣﹣
＝﹣（+）
＝﹣
＝﹣23，
故答案为23．
17．【解答】解：设EF＝x，
∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，
∴AD＝2x，AD∥EF，
∴∠CAD＝∠CEF＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，
∴∠ACB＝∠CAD＝45°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMC＝90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴∠CEM＝45°，
连接BE，
∵AB＝OB，AE＝OE，
∴BE⊥AO，
∴∠BEM＝45°，
∴BM＝EM＝MC＝x，
∴BM＝FE，
∵∠ENF＝∠MNB，
∴△ENF≌△MNB（AAS），
∴EN＝MN＝x，BN＝FN＝4，
Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2，
∴（4）2＝x2+，
解得x＝8或﹣8（舍），
∴BC＝2x＝16．
故答案为：16．
18．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝∠ABC，AB＝BC，
∵CF＝BE，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠CBF＝∠BAE，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
由等腰三角形三线合一的性质，可得BG＝MG，
∴点M关于AE的对称点为点B．
过点B作BN'⊥AM，交AE于点P'，
则PM+PN的最小值即为BN'的长．
∵正方形ABCD的对角线相互垂直且平分，
∴BN'＝AC，
∵AB＝BC＝6，
∴AC＝6，
∴BN'＝3．
故答案为：3．
三、解答题
19．【解答】解：（1）原式＝（2﹣5）+2
＝2×+1
＝﹣18+1
＝﹣17；
（2）原式＝
＝
＝，
当a＝时，
原式＝＝．
20．【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝BC＝EF，
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形AEFD为矩形，
∴DF＝AE，AF＝DE＝2OE＝4，
∵AB＝3，DE＝4，BF＝5，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴S△ABF＝，
∴AB×AF＝BF×AE，
即3×4＝5AE，
∴AE＝，
∴DF＝AE＝．
21．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝202﹣122＝256，
所以，CD＝16（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝16+1.62＝17.62（米），
答：风筝的高度CE为17.62米；
（2）如图所示：延长DC至M，连接BM，
由题意得，CM＝4米，
∴DM＝20米，
∴（米），
∴米，
∴他应该再放出米．
22．【解答】解：（1）①如图所示：
②△DEF的面积为4×5﹣×2×3﹣×2×4﹣×2×5＝8；
故答案为：8；
（2）①如图3，
△PEF的面积为6×2﹣×1×6﹣×1×3﹣×3×2＝，
△PQR的面积为×3×3＝，
∴△PQR与△PEF面积相等；
②六边形AQRDEF的面积为（）2+++（）2＝13+9+10＝32．
故答案为：32．
23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE＝90°，
∴∠EAD+∠BAE＝∠FAB+∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠EAD，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）解：过点A作AM∥CG交BC于点M，连接ME，如图所示：
∴∠MAE＝∠AHG＝45°，
∵∠FAE＝90°，
∴∠MAF＝90°﹣45°＝45°，
∵△ABF≌△ADE，
∴AF＝AE，
在△MAF和△MAE中，
，
∴△MAF≌△MAE（SAS），
∴FM＝EM，
设BM＝x，
∵CD＝3DE＝6，
∴BC＝CD＝6，BF＝DE＝2，
∴EM＝FM＝2+x，CM＝6﹣x，CE＝4，
∵∠BCD＝90°，
根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（2+x）2，
解得x＝3，
∴BM＝3，
∵AB＝CD＝6，
根据勾股定理，得AM＝＝＝，
∵AM∥CG，AG∥CM，
∴四边形AMCG是平行四边形，
∴CG＝AM＝．
24．【解答】证明：（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵∠ABD+∠BDC+∠ACD+∠BAC＝360°，∠BDC＝120°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ACE＝∠ABD，
又∵AB＝AC，BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②∵△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝ED，
∵AF⊥DE，AD＝AE，
∴DF＝DE＝AD，∠DAF＝30°，
∴AF＝DF＝AD，
∵DE＝CD+CE＝CD+BD，
∴AF＝AD＝（CD+BD）；
（2）如图②，若点D在BC下方时，
∵△ABD≌△ACE，
∴点A到直线BD的距离＝点A到直线CE的距离，
设DF＝x，则AF＝2x，
∵AC2＝AF2+CF2，
∴104＝6x2+（12﹣x）2，
∴x1＝8，x2＝﹣2（舍去），
∴AF＝8，
如图3，若点D在BC上方时，过点C作CH⊥BD交BD延长线于H，过点D作DF⊥BC于F，过点A作AN⊥BD，交BD的延长线于N，
∵∠BDC＝120°，
∴∠CDH＝60°，
∵CH⊥BD，
∴∠DCH＝30°，CD＝12，
∴DH＝6，CH＝2，DH＝6，
∵BH＝＝＝10，
∴BD＝BH﹣DH＝4，
∵S△BDC＝BD×CH＝×BC×DF，
∴4×6＝4×DF，
∴DF＝，
∵∠BDC＝120°，
∴∠DBC+∠DCB＝60°，
又∵∠ABD+∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠DCB，
∴sin∠ABD＝sin∠DCB＝，
∴
∴AN＝2，
综上所述：点A到直线BD的距离为8或2．
