2025年四川省乐山市第一中学校高2022级高三二模测试
数 学
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的焦距为，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．0
5．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．30 B．50 C．20 D．40
6．已知圆锥的底面半径为1，高为，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3， 4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
10．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C．当时，取得最小值 D．记，则数列的前项和为
11．如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得
C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量， ，则在方向上的投影向量等于 .
13．已知的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数等于 .
14．抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题13分）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)若不等式在上恒成立，求m的取值范围.
16．（本题15分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形．过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断是否存在实数，使得为定值．若存在，求出的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
17．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形.
(1)证明：平面.
(2)若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.
18．（本题17分）已知函数（）．
(1)若，求的图象在处的切线方程；
(2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围；
(3)若数列满足且（），记数列的前n项和为，求证：．
19．（本题17分）已知函数，．
(1)对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
(2)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，…，求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B B A A C ABD BCD
题号 11
答案 ABD
12．
13．
14．9
15．（1）由函数图象可知，，
则，因为，所以．
由，得，
即，
因为，所以，所以．
（2）由，得，
所以的单调递减区间为．
（3）因为不等式在上恒成立，所以，
因为，所以，
当时，，
则，即m的取值范围为．
16．（1）由题意可知，，且，
又因为，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，
设，
与椭圆的方程联立，，消去，整理得，
设，，
则，，
因为，
所以，，
则，
将，代入上式，
整理得，
若对任意，为定值，
则或，
因为，
所以，
此时．
17．（1）记为的中点，连接.
因为为等边三角形，所以，
因为，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
又平面，
所以平面.
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为为等边三角形，，所以到底边的距离为，
因为为等边三角形，，所以到底边的距离为，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，故，
设平面的法向量为，则即，
令，则，故，
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．（1）当时，，
则，得，又，
所以在处的切线为；
（2）对恒成立，
，
设，则，
当即时，在上单调递增，
且，所以，即，
此时在上单调递增，且，
所以对恒成立.
当即时，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，又，
所以在上恒有，即，
函数在上单调递减，且，
则在上有，不符合题意.
综上，，即实数a的取值范围为
（3）由，得，又，
所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，
故，所以.
当时，恒成立；
当时，先证：，即证，
设，则，即证（），
令，则，
所以在上单调递减，故，
即，即.
所以当时，
.
综上，.
19．（1），对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，则有对任意的恒成立；
当时，，则，令，其中，
，
且不恒为零，
故函数在上单调递增，则，故．
综上所述，．
（2）由可得，
令，则．
因为，则，
所以，，所以，函数在上单调递减．
因为，
所以，存在唯一的，使得．
所以，，则，
所以，
，
因为函数在上单调递减，
故，即．
