3 匀变速直线运动位移与时间的关系
［学习目标］ 1.理解匀变速直线运动位移与时间的关系，会用位移公式x=v0t+at2解决匀变速直线运动的相关问题。2.知道v-t图像中的“面积”与位移的对应关系，并会用此关系推导位移和时间关系式。
一、匀变速直线运动位移与时间的关系
1.物体做匀速直线运动，其v-t图像中图线与t轴围成的矩形面积有什么意义？
2.如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v-t图像。
(1)如图甲所示，把物体的运动分成5段，每一段时间内，看成匀速直线运动，试着在图中画出这5小段的位移之和。
(2)如图乙所示，如果把过程分割为更多的小段，和甲图相比，哪种情形更接近整个过程的位移？
(3)依次类推，如果把过程分割成无数个小段，能否用梯形的面积代表物体在这段时间的位移？
(4)梯形面积为多少？试结合vt=v0+at推导出位移x与时间t的关系。
1.利用v-t图像求位移(如图)
v-t图像中，对应时间t的速度图像与两个坐标轴所围成的“ ”，在数值上等于在时间t内的位移值。
2.匀变速直线运动的位移与时间的关系式(位移公式)： 。
说明：(1)公式只适用于匀变速直线运动。
(2)公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向。
3.当v0=0时，x= ，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成 比。
根据前面已学公式证明：做匀变速直线运动的物体，某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，即==。
例1 (2024·曲靖市高一期中)航空母舰的舰载机既要在航母上起飞，也要在航母上降落。
(1)某舰载机起飞时，采用弹射装置使飞机获得10 m/s的速度后，由机上发动机使飞机获得25 m/s2的加速度在航母跑道上匀加速前进，2 s后离舰升空，飞机匀加速滑行的距离是多少？
(2)飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为80 m/s，飞机钩住阻拦索后经过2 s停下来。将这段运动视为匀减速直线运动，此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各是多少？
例2 一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0=5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)物体在前3 s内的位移大小；
(2)物体在第3 s内的位移大小。
应用位移与时间的关系式解题的步骤：
(1)规定正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示。
(3)根据位移与时间的关系式或其变形公式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小和方向。
二、刹车中的位移问题
一汽车在水平路面上匀速行驶，速度v0=10 m/s，突然前方出现紧急情况，司机以5 m/s2的加速度刹车，求汽车开始刹车后3 s内的位移。
刹车类问题的分析思路：
汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动，当速度减小到零后，就停止运动，在计算这类运动的位移时，应先计算出速度减小到零所用的时间t0。
(1)如果t0
例3 以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m(制动3 s时汽车未停止)。求：
(1)汽车的加速度及制动后5 s内发生的位移大小；
(2)汽车在最后1 s内位移的大小。
逆向思维法的应用
刹车类问题末速度为零时，可以采用逆向思维法，将汽车匀减速到零的运动看成是逆向的初速度为零的匀加速运动，从而使问题的解答更简便。
三、v-t图像看位移
某一做直线运动物体的v-t图像如图所示：
(1)物体在0~2t0时间内的位移为多少？
(2)物体在0~2t0时间内的路程为多少？
1.对于任意形状的v-t图像，其与时间轴围成的“面积”表示物体的 。
2.“面积”在时间轴上方表示位移为 ，“面积”在时间轴下方表示位移为 (选填“正”或“负”)。
例4 (2024·惠州市高一期中)某一做直线运动的物体，其v-t图像如图所示，根据图像求：
(1)第1 s内物体的加速度大小；
(2)物体距出发点最远的距离；
(3)前4 s物体的位移大小。
答案精析
一、
1.做匀速直线运动的物体在时间t内的位移大小对应着v-t图线与t轴围成的矩形面积,即v-t图像中图线与t轴围成的矩形面积表示物体的位移大小。
2.(1)位移为图中矩形面积之和,如图所示。
(2)乙图的情形更接近整个过程中的位移。
(3)可以。
(4)S=t=t=v0t+at2,则x=v0t+at2。
梳理与总结
1.面积 2.x=v0t+at2
3.at2 正
讨论交流
方法一:公式法
设初始时刻速度为v0,加速度为a,在一段时间t内,根据速度公式,在时刻,速度为=v0+a·
根据位移公式,时间t发生的位移x=v0t+at2,这段时间内的平均速度===v0+at
因此得证==。
方法二:图像法
初速度为v0,加速度为a的匀变速直线运动的v-t图像如图所示,时间t内的位移x在数值上等于图中梯形OABD的“面积”。时刻的速度为,若以此速度做匀速运动,时间t内的位移在数值上等于矩形OEFD的“面积”。由几何关系可知,图中△BCF与△ECA全等,可以设想把△BCF割下补到△ECA处,从而梯形OABD变成了矩形OEFD,二者“面积”相等,因此这段时间内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度的结论成立。
例1 (1)70 m (2)40 m/s2 80 m
解析 (1)飞机起飞前做匀加速直线运动，由位移时间关系可得
x1=v0t1+a1=10×2 m+×25×22 m=70 m
(2)飞机降落时做匀减速直线运动
a2== m/s2=-40 m/s2，即加速度大小为40 m/s2；
x2=vt2+a2=80×2 m-×40×22 m=80 m
例2 (1)12.75 m (2)3.75 m
解析 (1)取初速度方向为正方向
v0=5 m/s，a=-0.5 m/s2
前3 s内物体的位移x3=v0t3+a=5×3 m+×(-0.5)×32 m
=12.75 m。
(2)同理，前2 s内物体的位移
x2=v0t2+a=5×2 m+×(-0.5)×22 m=9 m
因此第3 s内物体的位移x=x3-x2=12.75 m-9 m=3.75 m。
二、
首先根据v=v0+at0
求开始刹车到停止所用时间为
t0== s=2 s,因t>t0,
故x=v0t0+a=10×2 m-×5×4 m=10 m。
例3 (1)4 m/s2，方向与初速度方向相反 40.5 m (2)2 m
解析 (1)初速度v0=18 m/s，
时间t=3 s，位移x=36 m
根据x=v0t+at2，得a== m/s2=-4 m/s2，则加速度大小为4 m/s2，方向与初速度方向相反。
根据v=v0+at， 汽车停止运动的时间t'== s=4.5 s
故汽车在制动后5 s内的位移与4.5 s内的位移相等
x'=v0t'+at'2=(18×4.5-×4×4.52) m=40.5 m。
(2)最后1 s内速度减为0，可以把这一过程看成逆向的初速度为0的匀加速直线运动，故最后1 s内的位移
x″=×4×12 m=2 m。
三、
(1)方法一 0~t0时间内的位移x1=v0t0
t0~2t0时间内的位移x2=-v0t0
x总=x1+x2=0
方法二 x=·2t0=0
(2)s=|x1|+|x2|=v0t0。
梳理与总结
1.位移 2.正 负
例4 (1)4 m/s2 (2)6 m (3)5 m
解析 (1)第1 s内物体的加速度为
a1== m/s2=4 m/s2
(2)由题图可知3 s末物体离出发点最远，故物体距出发点最远的距离为x=×3×4 m=6 m
(3)因为v-t图像与t轴围成的面积表示位移，则前4 s物体的位移为
x'=×3×4 m-×1×2 m=5 m。(共60张PPT)
DIERZHANG
第二章
3 匀变速直线运动位移与
时间的关系
1.理解匀变速直线运动位移与时间的关系,会用位移公式x=
v0t+at2解决匀变速直线运动的相关问题。
2.知道v-t图像中的“面积”与位移的对应关系,并会用此关系推导位移和时间关系式。
学习目标
一、匀变速直线运动位移与时间的关系
二、刹车中的位移问题
课时对点练
三、v-t图像看位移
内容索引
匀变速直线运动位移与时间的关系
一
1.物体做匀速直线运动,其v-t图像中图线与t轴围成的矩形面积有什么意义
答案 做匀速直线运动的物体在时间t内的位移大小对应着v-t图线与t轴围成的矩形面积,即v-t图像中图线与t轴围成的矩形面积表示物体的位移大小。
2.如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v-t图像。
(1)如图甲所示,把物体的运动分成5段,每一段时间内,看成匀速直线运动,试着在图中画出这5小段的位移之和。
答案 位移为图中矩形面积之和,如图所示。
(2)如图乙所示,如果把过程分割为更多的小段,和甲图相比,哪种情形更接近整个过程的位移
答案 乙图的情形更接近整个过程中的位移。
(3)依次类推,如果把过程分割成无数个小段,能否用梯形的面积代表物体在这段时间的位移
答案 可以。
(4)梯形面积为多少 试结合vt=v0+at推导出位移x与时间t的关系。
答案 S=t=t=v0t+at2,则x=v0t+at2。
1.利用v-t图像求位移(如图)
面积
梳理与总结
v-t图像中,对应时间t的速度图像与两个坐标轴所围成的“ ”,在数值上等于在时间t内的位移值。
2.匀变速直线运动的位移与时间的关系式(位移公式): 。
x=v0t+at2
说明:(1)公式只适用于匀变速直线运动。
(2)公式中x、v0、a都是矢量,应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。当物体做匀减速直线运动时,a取负值,计算结果中,位移x的正负表示其方向。
3.当v0=0时,x=_______,即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式,位移x与t2成 比。
at2
正
根据前面已学公式证明:做匀变速直线运动的物体,某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度,即==。
讨论交流
答案 方法一:公式法
设初始时刻速度为v0,加速度为a,在一段时间t内,根据速度公式,在时刻,速度为=v0+a·
根据位移公式,时间t发生的位移x=v0t+at2,这段时间
内的平均速度===v0+at
因此得证==。
方法二:图像法
初速度为v0,加速度为a的匀变速直线运动的v-t图像如图所示,时间t内的位移x在数值上等于图中梯形OABD的“面积”。时刻的速度为,若以此速度做匀速运动,时间t内的位移在数值上等于矩形OEFD的“面积”。
由几何关系可知,图中△BCF与△ECA全等,可以设想把△BCF割下补到△ECA处,从而梯形OABD变成了矩形OEFD,二者“面积”相等,因此这段时间内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度的结论成立。
(2024·曲靖市高一期中)航空母舰的舰载机既要在航母上起飞,也要在航母上降落。
(1)某舰载机起飞时,采用弹射装置使飞机获得10 m/s的速度后,由机上发动机使飞机获得25 m/s2的加速度在航母跑道上匀加速前进,2 s后离舰升空,飞机匀加速滑行的距离是多少
例1
飞机起飞前做匀加速直线运动,由位移时间关系可得
x1=v0t1+a1=10×2 m+×25×22 m=70 m
答案 70 m
(2)飞机在航母上降落时,需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为80 m/s,飞机钩住阻拦索后经过2 s停下来。将这段运动视为匀减速直线运动,此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各是多少
飞机降落时做匀减速直线运动
a2== m/s2=-40 m/s2,即加速度大小为40 m/s2;
x2=vt2+a2=80×2 m-×40×22 m=80 m
答案 40 m/s2 80 m
一物体做匀减速直线运动,初速度大小为v0=5 m/s,加速度大小为0.5 m/s2,求:
(1)物体在前3 s内的位移大小;
例2
取初速度方向为正方向
v0=5 m/s,a=-0.5 m/s2
前3 s内物体的位移x3=v0t3+a=5×3 m+×(-0.5)×32 m=12.75 m。
答案 12.75 m
(2)物体在第3 s内的位移大小。
同理,前2 s内物体的位移
x2=v0t2+a=5×2 m+×(-0.5)×22 m=9 m
因此第3 s内物体的位移
x=x3-x2=12.75 m-9 m=3.75 m。
答案 3.75 m
总结提升
应用位移与时间的关系式解题的步骤:
(1)规定正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负,并用带有正、负号的数值表示。
(3)根据位移与时间的关系式或其变形公式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小和方向。
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刹车中的位移问题
二
一汽车在水平路面上匀速行驶,速度v0=10 m/s,突然前方出现紧急情况,司机以5 m/s2的加速度刹车,求汽车开始刹车后3 s内的位移。
答案 首先根据v=v0+at0
求开始刹车到停止所用时间为
t0== s=2 s,因t>t0,
故x=v0t0+a=10×2 m-×5×4 m=10 m。
刹车类问题的分析思路:
汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动,当速度减小到零后,就停止运动,在计算这类运动的位移时,应先计算出速度减小到零所用的时间t0。
(1)如果t0
提炼·总结
以18 m/s的速度行驶的汽车,制动后做匀减速直线运动,在3 s内前进36 m
(制动3 s时汽车未停止)。求:
(1)汽车的加速度及制动后5 s内发生的位移大小;
例3
答案 4 m/s2,方向与初速度方向相反 40.5 m
初速度v0=18 m/s,时间t=3 s,
位移x=36 m
根据x=v0t+at2,得a== m/s2=-4 m/s2,则加速度大小为4 m/s2,方向与初速度方向相反。
根据v=v0+at, 汽车停止运动的时间t'== s=4.5 s
故汽车在制动后5 s内的位移与4.5 s内的位移相等
x'=v0t'+at'2=(18×4.5-×4×4.52) m=40.5 m。
(2)汽车在最后1 s内位移的大小。
答案 2 m
最后1 s内速度减为0,可以把这一过程看成逆向的初速度为0的匀加速直线运动,故最后1 s内的位移x″=×4×12 m=2 m。
总结提升
逆向思维法的应用
刹车类问题末速度为零时,可以采用逆向思维法,将汽车匀减速到零的运动看成是逆向的初速度为零的匀加速运动,从而使问题的解答更简便。
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v-t图像看位移
三
某一做直线运动物体的v-t图像如图所示:
(1)物体在0~2t0时间内的位移为多少
方法一 0~t0时间内的位移
x1=v0t0
t0~2t0时间内的位移x2=-v0t0
x总=x1+x2=0
方法二 x=·2t0=0
答案 0
(2)物体在0~2t0时间内的路程为多少
s=|x1|+|x2|=v0t0。
答案 v0t0
1.对于任意形状的v-t图像,其与时间轴围成的“面积”表示物体的______。
2.“面积”在时间轴上方表示位移为 ,“面积”在时间轴下方表示位移为 (选填“正”或“负”)。
梳理与总结
位移
正
负
(2024·惠州市高一期中)某一做直线运动的物体,其v-t图像如图所示,根据图像求:
(1)第1 s内物体的加速度大小;
例4
答案 4 m/s2
第1 s内物体的加速度为
a1== m/s2=4 m/s2
(2)物体距出发点最远的距离;
答案 6 m
由题图可知3 s末物体离出发点最远,
故物体距出发点最远的距离为x=×3×4 m=6 m
(3)前4 s物体的位移大小。
答案 5 m
因为v-t图像与t轴围成的面积表示位移,则前4 s物体的位移为
x'=×3×4 m-×1×2 m=5 m。
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课时对点练
四
考点一 x-t关系
1.(2023·宿迁市实验高级中学高一期末)一质点在t=0时刻开始做初速度为2 m/s、加速度为4 m/s2的匀加速直线运动,在0~2 s内质点的位移大小为
A.10 m B.12 m
C.14 m D.16 m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
基础对点练
√
根据匀变速直线运动位移与时间的关系式得
x=v0t+at2=2×2 m+×4×22 m=12 m,故B正确。
2.(2024·徐州市高一期中)骑自行车的人以5 m/s的初速度沿足够长的斜坡向上做减速运动,加速度大小是0.4 m/s2,经过5 s,他在斜坡上通过的距离是
A.30 m B.25 m
C.20 m D.15 m
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由位移与时间关系式x=v0t+at2可知x=20 m。故选C。
考点二 刹车问题
3.(2023·成都市高一期末)某车以18 km/h的速度匀速驶入高速公路ETC收费通道时,ETC天线完成对车载电子标签的识别后发出“滴”的一声,同时自动栏杆开始抬起,栏杆完全抬起需要用时1 s,此时车头距栏杆只有3 m,为了避免撞杆,司机制动刹车,若不计司机的反应时间,刹车的加速度大小至少为
A.2 m/s2 B.4 m/s2 C. m/s2 D.6 m/s2
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√
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2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
根据位移时间关系式可知x=v0t+at2,解得a==-4 m/s2,其中负号表示与速度方向相反,故选B。
4.(多选)(2023·宜宾市叙州区第一中学高一开学考试)以v0=12 m/s速度匀速行驶的汽车,突然刹车,刹车过程中汽车以大小为2 m/s2的加速度继续前进,则刹车后
A.7 s内的位移是36 m B.7 s内的位移是35 m
C.1 s末的速度是10 m/s D.1 s末的速度是14 m/s
√
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
12
√
汽车速度减为零的时间t0== s=6 s,所以7 s内的位移是刹车总位移x=t0=×6 m=36 m,故A正确,B错误;
刹车后1 s末的速度v1=v0+at1=(12-2×1) m/s=10 m/s,故C正确,D错误。
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12
5.(多选)(2023·南充市高一期末)做匀变速直线运动的汽车的位移随时间变化的规律是x=24t-1.5t2(m),以下说法正确的
A.汽车的加速度大小为3 m/s2
B.任意1 s时间内速度改变量大小为1.5 m/s
C.第2 s末质点的速度为18 m/s
D.当t为10 s时,汽车的位移为90 m
1
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√
√
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12
根据位移随时间变化的规律x=24t-1.5t2(m)可知,初速度v0=24 m/s,加速度a=-3 m/s2,所以加速度大小为3 m/s2,故A正确;
汽车停止运动经过的时间为t0== s=8 s,则在8 s的时间内,任意1 s时间内速度的改变量为Δv=aT=-3 m/s,故B错误;
第2 s末质点的速度为v2=v0+at2=[24+(-3)×2] m/s=18 m/s,故C正确;
当t为10 s时汽车已经停止,汽车的位移等于8 s内的位移,为x=t0=×8 m
=96 m,故D错误。
考点三 v-t图像求位移
6.(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发,沿平直公路开往乙地,汽车先做匀加速直线运动,接着做匀减速直线运动,开到乙地刚好停止,其速度—时间图像如图所示,那么0~t0和t0~3t0 两段时间内
A.加速度大小之比为3∶1
B.位移大小之比为1∶2
C.平均速度大小之比为2∶1
D.平均速度大小之比为1∶1
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√
√
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12
加速度a=,由题图知Δt1=t0,Δt2=2t0,则=,A项错误;
位移大小之比等于v-t图线与t轴所围图形的面积之比,
即=,B项正确;
平均速度=,=1,C项错误,D项正确。
7.(多选)某物体做直线运动的v-t图像如图所示。则关于物体在前8 s内的运动,下列说法正确的是
A.前8 s内的位移为16 m
B.第6 s末物体离出发点最远
C.0~4 s内的平均速度大于0~8 s内的平均速度
D.第4~6 s内与第6~8 s内的加速度方向相反
√
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√
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2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
v-t图线与时间轴围成的“面积”表示位移,
所以前8 s内的位移x=×6×4 m-×4×2 m
=8 m,A错误;
第6 s末速度方向发生改变,第6 s末物体离出
发点最远,B正确;
0~4 s内和0~8 s内的位移相等,均是x'=×4×4 m=8 m,而前4 s内的平均速度===2 m/s,前8 s内的平均速度===1 m/s,C正确;
第4~6 s内和第6~8 s内的加速度均为-2 m/s2,D错误。
8.(多选)(2024·柳州市高一期中)在光滑水平面上,一质点由静止从A点开始做匀加速直线运动,加速度大小为a1,经时间t运动到B点,此时速度大小为vB,紧接着做加速度方向与a1方向相反、大小为a2的匀变速直线运动,经过2t时间质点恰好回到了出发点A点,此时速度大小为vA,下列说法正确的是
A.= B.=C.= D.=
1
2
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√
能力综合练
√
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12
质点在加速阶段的位移x=a1t2,vB=a1t,在接下来的2t时间内的位移-x=vB
×2t-a2(2t)2,即-x=a1t×2t-a2(2t)2,求得=,A错误,B正确;
根据匀变速直线运动的速度与时间的关系可得vA=vB-a2(2t)=a1t-a1(2t)
=-a1t,比较可得=,C错误,D正确。
9.我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验,从水面开始竖直下潜,最后返回水面,其v-t图像如图所示,则下列说法正确的是
A.0~4 min和6~10 min两时间段平均速度大
小相等
B.全过程中的最大加速度大小为0.025 m/s2
C.3~4 min和6~8 min加速度方向相反
D.本次下潜的最大深度为6 m
1
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根据v-t图像与横轴围成的面积表示位移,则0~4 min内的位移大小x=×(120+240)×2.0 m
=360 m,6~10 min内位移大小x'=×3.0×240 m
=360 m,可知0~4 min和6~10 min两时间段位移大小相等,所用时间相等,则平均速度大小相等,故A正确;
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v-t图像的斜率绝对值表示加速度的大小,0~1 min
和3~4 min加速度最大,大小为a==m/s2≈
0.033 m/s2,故B错误;
v-t图像的斜率的正负表示加速度的方向,可知3~4 min和6~8 min加速度方向相同,故C错误;
由题图可知t=4 min时“蛟龙号”下潜到最深处,最大深度为x=360 m,故D错误。
10.(多选)(2023·济宁市高一期中)如图甲所示是高层建筑配备的救生缓降器材,由调速器、安全带、安全钩、缓降绳索等组成。发生火灾时,使用者先将安全钩挂在室内窗户、管道等可以承重的物体上,然后将安全带系在人体腰部,使用缓降器材安全着陆。如图乙所示是某学校的信息楼,在火灾逃生演练现场,某同学从25 m高处,利用缓降器材由静止开始以2 m/s2的加
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速度匀加速下滑3 s,当速度达到最大值时先做匀速运动后做匀减速运动,到达地面时速度恰好为2 m/s。整个过程的运动时间为6 s,则该同学
A.匀速下降的距离为12 m
B.下滑过程中的最大速度为6 m/s
C.减速下滑过程中的加速度大小为3 m/s2
D.匀减速下降的位移大小为6 m
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下滑过程中,匀加速结束时的速度最大,则有vm=at1=2×3 m/s=6 m/s,故B正确;匀加速阶段的位移为x1=a=×2×32 m=9 m
设匀速阶段的时间为t2,则有x2=vmt2
设匀减速阶段的时间为t3,则匀减速阶段的位移x3=t3
又x1+x2+x3=25 m,t1+t2+t3=6 s
联立解得
t2=2 s,t3=1 s,x2=12 m,x3=4 m
故A正确,D错误;
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减速下滑过程中的加速度大小a'== m/s2=4 m/s2,故C错误。
11.一辆汽车刹车前速度为90 km/h,刹车时获得的加速度大小为10 m/s2,求:
(1)汽车开始刹车后10 s内滑行的距离x0;
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答案 31.25 m
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设汽车从开始刹车到停下来所经历的时间为t0,以初速度方向为正方向,
由题意知,初速度v0=90 km/h=25 m/s,末速度v=0,以初速度方向为正方向
由v=v0+at0及a=-10 m/s2得
t0== s=2.5 s<10 s
说明汽车刹车后经过2.5 s停下来,因此汽车开始刹车后10 s内的位移等于2.5 s内的位移,x0=v0t0+a=(25×2.5-×10×2.52)m=31.25 m
(2)汽车从开始刹车到滑行30 m的距离所经历的时间;
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答案 2 s
根据x=v0t+at2得x=30 m时,代入数据
解得t1=2 s,t2=3 s
汽车总刹车时间t0=2.5 s,故t2不合题意,应舍去。
(3)汽车静止前1 s内滑行的距离x'。
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答案 5 m
把汽车减速到速度为零的过程看作初速度为零的匀加速直线运动的逆过程,则汽车以10 m/s2的加速度做初速度为零的匀加速运动,在第1 s内的位移大小即为汽车静止前1 s内滑行的距离,故
x'=a't'2=×10×12 m=5 m。
12.(2024·赣州市信丰中学高一阶段练习)一辆汽车做匀加速直线运动,从A到B速度增量为Δv,位移为x1,从B到C速度增量为2Δv,运动的位移为x2,若D点是汽车从B运动到C过程的中间时刻的位置(图中未标出),则汽车从B点运动到D点的位移为
A.x2-x1 B.
C. D.
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尖子生选练
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由加速度的定义式a=可知B到C的时间是A到B时间的2倍,设A到B的时间为t,则B到C的时间为2t,AB段中间时刻的速度v1=,BC段中间时刻D点的速度vD=v2=,a==,其中t=,联立解得a=,根据逆向思维,从D到B有x=vDt-at2,联立解得x=,故A、B、D错误,C正确。
返回作业10 匀变速直线运动位移与时间的关系
[分值:60分]
1~7题每题4分,共28分
考点一 x-t关系
1.(2023·宿迁市实验高级中学高一期末)一质点在t=0时刻开始做初速度为2 m/s、加速度为4 m/s2的匀加速直线运动,在0~2 s内质点的位移大小为 ( )
A.10 m B.12 m
C.14 m D.16 m
2.(2024·徐州市高一期中)骑自行车的人以5 m/s的初速度沿足够长的斜坡向上做减速运动,加速度大小是0.4 m/s2,经过5 s,他在斜坡上通过的距离是 ( )
A.30 m B.25 m
C.20 m D.15 m
考点二 刹车问题
3.(2023·成都市高一期末)某车以18 km/h的速度匀速驶入高速公路ETC收费通道时,ETC天线完成对车载电子标签的识别后发出“滴”的一声,同时自动栏杆开始抬起,栏杆完全抬起需要用时1 s,此时车头距栏杆只有3 m,为了避免撞杆,司机制动刹车,若不计司机的反应时间,刹车的加速度大小至少为 ( )
A.2 m/s2 B.4 m/s2
C. m/s2 D.6 m/s2
4.(多选)(2023·宜宾市叙州区第一中学高一开学考试)以v0=12 m/s速度匀速行驶的汽车,突然刹车,刹车过程中汽车以大小为2 m/s2的加速度继续前进,则刹车后 ( )
A.7 s内的位移是36 m B.7 s内的位移是35 m
C.1 s末的速度是10 m/s D.1 s末的速度是14 m/s
5.(多选)(2023·南充市高一期末)做匀变速直线运动的汽车的位移随时间变化的规律是x=24t-1.5t2(m),以下说法正确的 ( )
A.汽车的加速度大小为3 m/s2
B.任意1 s时间内速度改变量大小为1.5 m/s
C.第2 s末质点的速度为18 m/s
D.当t为10 s时,汽车的位移为90 m
考点三 v-t图像求位移
6.(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发,沿平直公路开往乙地,汽车先做匀加速直线运动,接着做匀减速直线运动,开到乙地刚好停止,其速度—时间图像如图所示,那么0~t0和t0~3t0 两段时间内 ( )
A.加速度大小之比为3∶1
B.位移大小之比为1∶2
C.平均速度大小之比为2∶1
D.平均速度大小之比为1∶1
7.(多选)某物体做直线运动的v-t图像如图所示。则关于物体在前8 s内的运动,下列说法正确的是 ( )
A.前8 s内的位移为16 m
B.第6 s末物体离出发点最远
C.0~4 s内的平均速度大于0~8 s内的平均速度
D.第4~6 s内与第6~8 s内的加速度方向相反
8~10题每题5分,11题11分,共26分
8.(多选)(2024·柳州市高一期中)在光滑水平面上,一质点由静止从A点开始做匀加速直线运动,加速度大小为a1,经时间t运动到B点,此时速度大小为vB,紧接着做加速度方向与a1方向相反、大小为a2的匀变速直线运动,经过2t时间质点恰好回到了出发点A点,此时速度大小为vA,下列说法正确的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
9.我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验,从水面开始竖直下潜,最后返回水面,其v-t图像如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.0~4 min和6~10 min两时间段平均速度大小相等
B.全过程中的最大加速度大小为0.025 m/s2
C.3~4 min和6~8 min加速度方向相反
D.本次下潜的最大深度为6 m
10.(多选)(2023·济宁市高一期中)如图甲所示是高层建筑配备的救生缓降器材,由调速器、安全带、安全钩、缓降绳索等组成。发生火灾时,使用者先将安全钩挂在室内窗户、管道等可以承重的物体上,然后将安全带系在人体腰部,使用缓降器材安全着陆。如图乙所示是某学校的信息楼,在火灾逃生演练现场,某同学从25 m高处,利用缓降器材由静止开始以2 m/s2的加速度匀加速下滑3 s,当速度达到最大值时先做匀速运动后做匀减速运动,到达地面时速度恰好为2 m/s。整个过程的运动时间为6 s,则该同学 ( )
A.匀速下降的距离为12 m
B.下滑过程中的最大速度为6 m/s
C.减速下滑过程中的加速度大小为3 m/s2
D.匀减速下降的位移大小为6 m
11.(11分)一辆汽车刹车前速度为90 km/h,刹车时获得的加速度大小为10 m/s2,求:
(1)(3分)汽车开始刹车后10 s内滑行的距离x0;
(2)(4分)汽车从开始刹车到滑行30 m的距离所经历的时间;
(3)(4分)汽车静止前1 s内滑行的距离x'。
(6分)
12.(2024·赣州市信丰中学高一阶段练习)一辆汽车做匀加速直线运动,从A到B速度增量为Δv,位移为x1,从B到C速度增量为2Δv,运动的位移为x2,若D点是汽车从B运动到C过程的中间时刻的位置(图中未标出),则汽车从B点运动到D点的位移为 ( )
A.x2-x1 B.
C. D.
答案精析
1.B 2.C 3.B
4.AC ［汽车速度减为零的时间t0== s=6 s，所以7 s内的位移是刹车总位移x=t0=×6 m=36 m，故A正确，B错误；刹车后1 s末的速度v1=v0+at1=(12-2×1) m/s=10 m/s，故C正确，D错误。］
5.AC ［根据位移随时间变化的规律x=24t-1.5t2(m)可知，初速度v0=24 m/s，加速度a=-3 m/s2，所以加速度大小为3 m/s2，故A正确；汽车停止运动经过的时间为t0== s=8 s，则在8 s的时间内，任意1 s时间内速度的改变量为Δv=aT=-3 m/s，故B错误；第2 s末质点的速度为v2=v0+at2=［24+(-3)×2］ m/s=18 m/s，故C正确；当t为10 s时汽车已经停止，汽车的位移等于8 s内的位移，为x=t0=×8 m=96 m，故D错误。］
6.BD
7.BC ［v-t图线与时间轴围成的“面积”表示位移，所以前8 s内的位移x=×6×4 m-×4×2 m=8 m，A错误；第6 s末速度方向发生改变，第6 s末物体离出发点最远，B正确；0~4 s内和0~8 s内的位移相等，均是x'=×4×4 m=8 m，而前4 s内的平均速度===2 m/s，前8 s内的平均速度===1 m/s，C正确；第4~6 s内和第6~8 s内的加速度均为-2 m/s2，D错误。］
8.BD ［质点在加速阶段的位移x=a1t2，vB=a1t，在接下来的2t时间内的位移-x=vB×2t-a2(2t)2，即-x=a1t×2t-a2(2t)2，求得=，A错误，B正确；根据匀变速直线运动的速度与时间的关系可得vA=vB-a2(2t)=a1t-a1(2t)=-a1t，比较可得=，C错误，D正确。］
9.A ［根据v-t图像与横轴围成的面积表示位移，则0~4 min内的位移大小为x=×(120+240)×2.0 m=360 m，6~10 min内位移大小为x'=×3.0×240 m=360 m，可知0~4 min和6~10 min两时间段位移大小相等，所用时间相等，则平均速度大小相等，故A正确；v-t图像的斜率绝对值表示加速度的大小，0~1 min和3~4 min加速度最大，大小为a== m/s2≈0.033 m/s2，故B错误；v-t图像的斜率的正负表示加速度的方向，可知3~4 min和6~8 min加速度方向相同，故C错误；由题图可知t=4 min时“蛟龙号”下潜到最深处，最大深度为x=360 m，故D错误。］
10.AB ［下滑过程中，匀加速结束时的速度最大，则有vm=at1=2×3 m/s=6 m/s，故B正确；匀加速阶段的位移为x1=a=×2×32 m=9 m
设匀速阶段的时间为t2，则有x2=vmt2
设匀减速阶段的时间为t3，则匀减速阶段的位移x3=t3
又x1+x2+x3=25 m，t1+t2+t3=6 s
联立解得
t2=2 s，t3=1 s，x2=12 m，x3=4 m
故A正确，D错误；
减速下滑过程中的加速度大小a'== m/s2=4 m/s2，故C错误。］
11.(1)31.25 m (2)2 s (3)5 m
解析 (1)设汽车从开始刹车到停下来所经历的时间为t0，以初速度方向为正方向，
由题意知，初速度v0=90 km/h=25 m/s，末速度v=0，以初速度方向为正方向
由v=v0+at0及a=-10 m/s2得
t0== s=2.5 s<10 s
说明汽车刹车后经过2.5 s停下来，因此汽车开始刹车后10 s内的位移等于2.5 s内的位移，x0=v0t0+a=(25×2.5-×10×2.52)m=31.25 m
(2)根据x=v0t+at2得x=30 m时，代入数据
解得t1=2 s，t2=3 s
汽车总刹车时间t0=2.5 s，故t2不合题意，应舍去。
(3)把汽车减速到速度为零的过程看作初速度为零的匀加速直线运动的逆过程，则汽车以10 m/s2的加速度做初速度为零的匀加速运动，在第1 s内的位移大小即为汽车静止前1 s内滑行的距离，故
x'=a't'2=×10×12 m=5 m。
12.C ［由加速度的定义式a=可知B到C的时间是A到B时间的2倍，设A到B的时间为t，则B到C的时间为2t，AB段中间时刻的速度v1=，BC段中间时刻D点的速度vD=v2=，a==，其中t=，联立解得a=，根据逆向思维，从D到B有x=vDt-at2，联立解得x=，故A、B、D错误，C正确。］
