2025年春季（人教版）八年级（下）期中数学模拟试卷01
（考查范围：第16~18章）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝80°，则∠A等于（ ）
A．40° B．80° C．100° D．140°
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝30°，AD与CE是△ABC的两条高，点F是AC的中点，连接EF．若，则EF的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
5．在3×2的网格中（如图所示），每个小正方形的顶点称为格点．线段AB，CD的端点均在格点上，线段AB，CD交于点O，则∠BOD的度数等于（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
6．下列四边形中，对角线垂直且相等的是（ ）
A．菱形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
7．如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（ ）
A．2a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．﹣a﹣b＞0
8．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A．4cm B．8cm C． D．
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．4 D．4
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知，则的值为 ．
12．在 ABCD中，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，且相邻两点间的距离相等，则的值为 ．
13．如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，按如下步骤作图：
（1）分别以A，C为圆心，以大于的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；
（2）经过MN作直线，分别交AB，AC于点D，O；
（3）过点C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．
则下列结论：
①MN垂直平分AC；
②AD＝CE；
③DC平分∠BDE；
④四边形ADCE是菱形；
⑤四边形BDEC是菱形．
其中一定正确的是 （填序号）．
14．如图，将一根长为18cm的牙刷放置在底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小值为 cm．
15．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD的中点，连接GH，则GH的最小值为 ．
16．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若AB＝8，BC＝10，则EC＝ ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．
19．（8分）已知x2﹣2x﹣3＝0，y＝（x+1），求y的值．
20．（8分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n级限距点”．例如，点（）是函数y＝x图象的“级限距点”；点（2，1）是函数yx+2图象的“2级限距点”．
（1）在①（，﹣1）；②（）；③（1，2）三点中，是函数y＝2x图象的“1级限距点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝kx+3图象的“2级限距点”有且只有一个，求k的值；
（3）若y关于x的函数y＝﹣|x|﹣2n+1图象存在“n级限距点”，求出n的取值范围．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．
（1）求证：四边形OMPN是矩形；
（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连接CE，且满足CE＝BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：在图中过点B求作CE的垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）问所作的图形中，求证：AE＝EF．证明：（过程如下，请补充完整）
∵四边形ABCD是矩形， ∴① ，AD＝BC，∠D＝90°， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵CE＝BC， ∴CE＝② ， .∵BF⊥CE， ∴③ ． ∴∠D＝∠CFB， 在△DCE和△FBC中， ∴△DCE≌△FBC（AAS）， ⑤ ， ∴AD﹣DE＝CE﹣CF， 即AE＝EF．
23．（10分）如图，△ABC是边长为a的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，过点P作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，过点P作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N，猜想EF+GH+MN的值是多少．其值是否随点P位置的改变而改变？并说明理由．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，∠ABC＝90°，且AB＝BC．
（1）如图（1），A（5，0），B（0，2），点C在第三象限，请直接写出点C的坐标；
（2）如图（2），BC与x轴交于点D，AC与y轴交于点E，若点D为BC的中点，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图（3），A（a，0），M在AC延长线上，过点M（m，﹣a）作MN⊥x轴于N，探究线段BM，AN，OB之间的数量关系，并证明你的结论．
25．（14分）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形ABCD绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形ABCD中，AB＜AD，AC是对角线，
（1）如图2，把长方形ABCD绕点A逆时针作“对角旋转”，使边AB落在对角线AC上，此时点B的对应点为点B1，点C的对应点为点C1，点D的对应点为点D1，联结AC1，如果∠CAD度数为α，则“对角旋转角”的度数＝ （用含有α的代数式表示）；
（2）在（1）的条件下，如果∠C1AD＝39°，那么再把长方形ABCD绕点A顺时针作“对角旋转”，使边AD落在对角线AC上，点B的对应点为点B2，点C的对应点为点C2，点D的对应点为点D2，联结AC2，则∠C2AD＝ ．；
（3）在长方形ABCD中，BC＝2AB+4，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点C1和点C2，联结AC1、AC2、CC1、CC2，△ACC1面积为312，△ACC2面为130，请求出此时长方形ABCD的面积．
2025年春季（人教版）八年级（下）期中数学模拟试卷01
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．2，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．，被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝80°，则∠A等于（ ）
A．40° B．80° C．100° D．140°
【分析】根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠D＝80°，
∴∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴2∠D＝80°，
∴∠D＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠D＝140°，
故选：D．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据矩形性质得OA＝OB＝OC＝OD，再根据∠ABD＝60°得△OAB为等边三角形，则OA＝OB＝AB＝2，由此可得AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠ABD＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴OC＝OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝4，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝30°，AD与CE是△ABC的两条高，点F是AC的中点，连接EF．若，则EF的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据中位线的性质，即可求解．
【解答】解：依题意，∠ACB＝30°，AD⊥BC，，
∴，
∵AC＝BC，
∴
∵CE⊥AB，AC＝BC
∴AE＝EB，
∴点E是AB的中点，
又∵点F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴，
故选：C．
5．在3×2的网格中（如图所示），每个小正方形的顶点称为格点．线段AB，CD的端点均在格点上，线段AB，CD交于点O，则∠BOD的度数等于（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】取格点E，连接AE，BE，可证∠BAE＝∠BOD，根据勾股定理和逆定理可判断△ABE为等腰直角三角形，即可解答．
【解答】解：取格点E，连接AE，BE，则AE∥CD，
∴∠BAE＝∠BOD，
由勾股定理，得AB2＝12+22＝5，EB2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10，
∴AB2+BE2＝AE2，AB＝BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠BOD＝∠BAE＝45°．
故选：C．
6．下列四边形中，对角线垂直且相等的是（ ）
A．菱形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
【分析】利用对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形作出判断即可．
【解答】解：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
故选：D．
7．如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（ ）
A．2a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．ab＞0 D．﹣a﹣b＞0
【分析】根据数轴可知，a＜﹣1，0＜b＜1，由此逐一判断各选项即可．
【解答】解：由数轴可知，a＜﹣1，0＜b＜1，
A、∵a＜﹣1，0＜b＜1，∴2a＜﹣2，∴2a+b＜﹣1，故选项A不符合题意；
B、∵a＜﹣1，0＜b＜1，∴﹣1＜﹣b＜0，∴a﹣b＜0，故选项B不符合题意；
C、∵a＜﹣1，0＜b＜1，∴ab＜0，故选项C不符合题意；
D、∵a＜﹣1，0＜b＜1，∴﹣a＞1，﹣1＜﹣b＜0，∴﹣a﹣b＞0，故选项D符合题意；
故选：D．
8．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】判断出a﹣1＜0，可得结论．
【解答】解：∵a＝21，
∴a﹣1＜0，
∴1﹣a＝1﹣（2）1．
故选：B．
9．如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（ ）
A．4cm B．8cm C． D．
【分析】由菱形的性质可得AB⊥OC，∠AOC＝∠BOC＝60°，AH＝BH，AC＝BC＝AO＝4cm，由等腰三角形的性质可求AB＝4cm，即可求解．
【解答】解：连接CO，交AB于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠AOB＝120°，
∴AB⊥OC，∠AOC＝∠BOC＝60°，AH＝BH，AC＝BC＝AO＝4cm，
∴∠BAO＝30°，
∴OHAO＝2cm，AHOH＝2cm，
∴AB＝2AH＝4cm，
∴橡皮筋再次被拉长了（8﹣4）cm，
故选：C．
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．4 D．4
【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
【解答】解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE+DE＝DH．
在Rt△ADH中，AH＝AB+BH＝4+4＝8，
∴DH4，
∴BF+DE最小值为4．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知，则的值为 ．
【分析】先根据二次根式有意义得出x≥0，再运用二次根式的性质化简，得出，得出x的值，再代入，即可作答．
【解答】解：∵，
∴0，即x＞0，
∴原式化简为，
整理得出，
解得，
∴，
故答案为：．
12．在 ABCD中，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，且相邻两点间的距离相等，则的值为 或或2 ．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到∠DEA＝∠DAE，根据等腰三角形的性质得到DE＝AD，同理BC＝CF，分三种情况，结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD，
同理BC＝CF，分三种情况：
①如图3所示：
同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴的值为；
②如图2所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴的值为；
③如图3所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，
∴的值为2；
综上所述，的值为或或2，
故答案为：或或2．
13．如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，按如下步骤作图：
（1）分别以A，C为圆心，以大于的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；
（2）经过MN作直线，分别交AB，AC于点D，O；
（3）过点C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．
则下列结论：
①MN垂直平分AC；
②AD＝CE；
③DC平分∠BDE；
④四边形ADCE是菱形；
⑤四边形BDEC是菱形．
其中一定正确的是 ①②④ （填序号）．
【分析】由作图知，MN垂直平分AC，可判断①正确；证明△COD≌△COE（AAS），可得CD＝CE＝AD，判断②正确；可证四边形ADCE是菱形，判断④正确；不能证明DC平分∠BDE，判断③不正确；不能证明四边形BDEC是菱形，判断⑤不正确．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分AC，故①正确；
∵MN垂直平分AC，CE∥AD，
∴AD＝CD，∠CEO＝∠ADO＝∠CDO，∠COD＝∠COE＝90°，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴CD＝CE，
∴AD＝CE，故②正确；
∵CE∥AD，AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，故④正确；
不能证明DC平分∠BDE，故③不正确；
∵BC与BD不一定相等，
∴不能证明四边形BDEC是菱形，故⑤不正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
14．如图，将一根长为18cm的牙刷放置在底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小值为 5 cm．
【分析】本题考查勾股定理，当牙刷一端在底面圆上时，露在筒外的长度最小，根据实际情况构建数学模型是解题的关键．
【解答】解：如图，AB为底面直径，BC为高，当牙刷AD如图放置时露在筒外的长度最小，
∵AB＝5，BC＝12，
∴，
∴CD＝AD﹣AC＝18﹣13＝5，
即牙刷露在筒外的长度最小5cm，
故答案为：5．
15．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD的中点，连接GH，则GH的最小值为 1 ．
【分析】连接CG，根据正方形的性质易证△ADE≌△CDG（SAS），进一步可得∠DCG＝∠DAC＝45°，可知点G的运动轨迹，根据垂线段最短即可求出GH的最小值．
【解答】解：连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAC＝45°，
∴点G的运动轨迹是射线CG，
∵AB＝2，H是CD的中点，
∴HC，
当HG⊥CG时，GH最小，最小值＝CH sin45°1，
故答案为：1．
16．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若AB＝8，BC＝10，则EC＝ 3 ．
【分析】要求CE的长，就必须求出DE的长，如果设EC＝x，那么我们可将DE，EC转化到一个三角形中进行计算，根据折叠的性质我们可得出AD＝AF，DE＝EF，那么DE，CE就都转化到直角三角形EFC中了，下面的关键就是求出FC的长，也就必须求出BF的长，在直角三角形ABF中，已知了AB的长，AF＝AD＝10，因此可求出BF的长，也就有了CF的长，在直角三角形EFC中，可用勾股定理，得出关于x的一元二次方程，进而求出未知数的值．
【解答】解：依题意可得：BC＝AD＝AF＝10，DE＝EF．
在△ABF中，∠ABF＝90°．
∴BF6，
∴FC＝10﹣6＝4，
设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x．
∵∠C＝90°，
∴EC2+FC2＝EF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴EC＝3．
故答案为：3．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可；
（2）先根据二次根式的性质、完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式
＝34
；
（2）原式＝3+5﹣44+18﹣12
＝18﹣4．
18．（8分）如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△CBF；
（2）由全等三角形的性质可得DE＝BF，∠AED＝∠CFB，可证DE∥BF，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
19．（8分）已知x2﹣2x﹣3＝0，y＝（x+1），求y的值．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后求出x的值并代入原式即可求出答案．
【解答】解：y
＝﹣x﹣1，
由题意可知：x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1，
由分式有意义的条件可知：x不能取﹣1，
故x＝3，
原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
20．（8分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n级限距点”．例如，点（）是函数y＝x图象的“级限距点”；点（2，1）是函数yx+2图象的“2级限距点”．
（1）在①（，﹣1）；②（）；③（1，2）三点中，是函数y＝2x图象的“1级限距点”的有 ①② （填序号）；
（2）若y关于x的一次函数y＝kx+3图象的“2级限距点”有且只有一个，求k的值；
（3）若y关于x的函数y＝﹣|x|﹣2n+1图象存在“n级限距点”，求出n的取值范围．
【分析】（1）根据“n级限距点”的定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得；
（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线＝﹣2x+1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点 （n，﹣n）和点（﹣n，n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围．
【解答】解：（1）∵点到两坐标轴的距离都不大于1，
∴点是函数y＝2x图象的“1级限距点”，
∵点（1，2）到x轴的距离为2，大于1，
∴点（1，2）不是函数y＝2x图象的“1级限距点”，
故答案为：①②；
（2）如图，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线 y＝kx+3与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2级限距点”有且只有一个，
当直线经过点A（﹣2，2）时，，
当直线经过点D（2，2）时，；
综上所述：k的值为．
（3）当 时，；当 时，；
在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当图象与正方形区域有公共部分时，
函数 图象的“n级限距点”一定存在．
作直线x与正方形ABCD交于E、F，且易得E（，n）、F（，﹣n）、A（﹣n，n）、D（n，n）
∴当x，函数（x）与直线y＝﹣x平行
∴由公共点的极限位置为直线（x）经过点D、F．
当直线经过点D时，，解得n
当直线经过点F时，，解得n＝1
∴当函数（x）得图象存在“n级限距点”时，n得取值范围时
同理可得，（ ）的图象存在“n级限距点”时，
（ ）的图象经过点F、A，可得n的取值范围是
综上所述：时，函数 图象的“n级限距点”一定存在．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．
（1）求证：四边形OMPN是矩形；
（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理得PM∥OC，PN∥OD，得四边形OMPN是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠MON＝90°，即可得出结论；
（2）证△ABD是等边三角形，得AD＝BD＝AB＝4，得OD＝2，再由勾股定理得OA＝2，则AN＝OA+ON＝3，然后由矩形的性质得NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点，
∴PM、PN是△OCD的中位线，
∴PM∥OC，PN∥OD，
∴四边形OMPN是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠MON＝90°，
∴平行四边形OMPN是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝4，
∴ODBD＝2，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2，
∴OC＝2，
∵M，N分别为OD，OC的中点，
∴OMOD＝1，ONOC，
∴AN＝OA+ON＝3，
由（1）可知，四边形OMPN是矩形，
∴NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，
∴AP2．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连接CE，且满足CE＝BC．
（1）用尺规完成以下基本作图：在图中过点B求作CE的垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）问所作的图形中，求证：AE＝EF．证明：（过程如下，请补充完整）
∵四边形ABCD是矩形， ∴① AD∥BC ，AD＝BC，∠D＝90°， ∴∠DEC＝∠ECB， ∵CE＝BC， ∴CE＝② AD ， .∵BF⊥CE， ∴③ ∠CFB＝90° ． ∴∠D＝∠CFB， 在△DCE和△FBC中， ∴△DCE≌△FBC（AAS）， ⑤ DE＝FC ， ∴AD﹣DE＝CE﹣CF， 即AE＝EF．
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作图画图；
（2）先证明△BCF≌△ECD，再利用线段的和差证明．
【解答】（1）解：如图：
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠D＝90°，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵CE＝BC，
∴CE＝AD，
∵BF⊥CE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠D＝∠CFB，
在△DCE和△FBC中，
，
∴△DCE≌△FBC（AAS），
∴DE＝FC，
∴AD﹣DE＝CE﹣CF，
即AE＝EF．
故答案为：①AD∥BC；②AD；③∠CFB＝90°；④CE＝AD；⑤DE＝FC．
23．（10分）如图，△ABC是边长为a的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，过点P作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，过点P作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N，猜想EF+GH+MN的值是多少．其值是否随点P位置的改变而改变？并说明理由．
【分析】根据题意判定四边形AMPE是平行四边形，则根据平行四边形的性质和等边△AGH的性质将EF+GH+MN转化为AM+GB+AM+MG+MG+GB＝2（AM+MG+GB）＝2AB＝2a．
【解答】解：EF+GH+MN＝2a，EF+GH+MN的值不随点P位置的改变而改变．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∵GH∥BC，
∴∠AGH＝∠B＝60°，∠AHG＝∠C＝60°．
∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝AG＝AM+MG．①
同理△BMN是等边三角形，
∴MN＝MB＝MG+GB．②
∵MN∥AC，EF∥AB，
∴四边形AMPE是平行四边形，
∴PE＝AM．
同理可证四边形BFPG是平行四边形，
∴PF＝GB．
∴EF＝PE+PF＝AM+GB．③
由①②③，得EF+GH+MN＝（AM+GB）+（AM+MG）+（MG+GB）＝2（AM+MG+GB）＝2AB＝2a．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，∠ABC＝90°，且AB＝BC．
（1）如图（1），A（5，0），B（0，2），点C在第三象限，请直接写出点C的坐标；
（2）如图（2），BC与x轴交于点D，AC与y轴交于点E，若点D为BC的中点，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图（3），A（a，0），M在AC延长线上，过点M（m，﹣a）作MN⊥x轴于N，探究线段BM，AN，OB之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）过C作CR⊥y轴于R，证明△AOB≌△BRC（AAS），由全等三角形的性质得出BR＝AO＝5，CR＝OB＝2，则可得出答案；
（2）作BF平分∠ABC交AD于F点，证明△BCE≌△ABF（ASA），由全等三角形的性质得出CE＝BF，证明△CED≌△BFD（SAS），由全等三角形的性质得出∠CDE＝∠ADB；
（3）在ON上取一点H，使NH＝BO，连接HM并延长交AB的延长线于G，证明△ABO≌△MHN（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAO＝∠NMH，AB＝HM，证明△ABM≌△MHA（SAS），由全等三角形的性质得出BM＝HA，则可得出结论．
【解答】（1）解：过C作CR⊥y轴于R，如图1所示：
则∠BRC＝90°，
∵A（5，0），B（0，2），
∴OA＝5，OB＝2，
∵∠AOB＝∠ABC＝∠BRC＝90°，
∴∠ABO+∠CBR＝90°，∠CBR+∠BCR＝90°，
∴∠ABO＝∠BCR，
∵AB＝BC，
∴△AOB≌△BRC（AAS），
∴BR＝AO＝5，CR＝OB＝2，
∴OR＝BR﹣OB＝3，
∴C（﹣2，﹣3）；
（2）证明：作BF平分∠ABC交AD于F点，
∵AB＝BC，∠CBA＝90°，
∴∠C＝∠BAC＝∠DBF＝∠ABF＝45°，
∵∠CBE+∠ABO＝∠BAF+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAF，
在△BCE和△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（ASA），
∴CE＝BF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（SAS），
∴∠CDE＝∠ADB；
（3）解：AN＝BM+OB．
证明：在ON上取一点H，使NH＝BO，连接HM并延长交AB的延长线于G，如图3所示：
∵A（a，0），
∴AO＝a，
∵MN⊥x轴于G，M（m，﹣a），
∴ON＝﹣m，MN＝a，
∴AO＝MN，
∵∠AOB＝∠HNM＝90°，
∴△ABO≌△MHN（SAS），
∴∠BAO＝∠NMH，AB＝HM，
∵∠AHG＝∠MHN，
∴∠ANM＝∠AGM＝90°，
∵∠ABC＝90°，BC＝AB，
∴∠BAC＝45°，
∴△AGM是等腰直角三角形，
∴∠BAM＝∠GMA＝45°，
又∵AB＝HM，AM＝MA，
∴△ABM≌△MHA（SAS），
∴BM＝HA，
∵AN＝AH+NH，
∴AN＝BM+OB．
25．（14分）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形ABCD绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形ABCD中，AB＜AD，AC是对角线，
（1）如图2，把长方形ABCD绕点A逆时针作“对角旋转”，使边AB落在对角线AC上，此时点B的对应点为点B1，点C的对应点为点C1，点D的对应点为点D1，联结AC1，如果∠CAD度数为α，则“对角旋转角”的度数＝ 90°﹣α （用含有α的代数式表示）；
（2）在（1）的条件下，如果∠C1AD＝39°，那么再把长方形ABCD绕点A顺时针作“对角旋转”，使边AD落在对角线AC上，点B的对应点为点B2，点C的对应点为点C2，点D的对应点为点D2，联结AC2，则∠C2AD＝ 50° ．；
（3）在长方形ABCD中，BC＝2AB+4，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点C的对应点分别为点C1和点C2，联结AC1、AC2、CC1、CC2，△ACC1面积为312，△ACC2面为130，请求出此时长方形ABCD的面积．
【分析】（1）根据对角旋转角的定义解答即可；
（2）根据旋转的性质和角的关系解答即可；
（3）根据三角形的面积公式和关系得出AB与BC的关系，进而解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知：“对角旋转角”为∠BAC，∠BAC+∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣α，
∴对角旋转角为：90°﹣α，
故答案为：90°﹣α；
（2）∵∠C1AD＝40°，
由旋转可知，∠DAC＝∠D1AC，
∵∠D1AC1+∠C1AD+∠DAC＝90°，
∴∠D1AC1+∠DAC＝90°﹣40°＝50°，
∴2∠DAC＝50°，
由旋转可知，∠DAC＝∠D2AC2，
∴∠D2AC2+∠DAC＝50°，
∵∠C1AD＝∠C2AD2+∠CAD，
∴∠C2AD＝50°，
故答案为：50°；
（3）∵SSSAC B1C1＝312，SSSAC D2C2＝130，
∵B1C1＝AD，D2C2＝AB，BC＝2AB+4，
∴AB，
则312AC ADAC BC，
∴，
∴130BC＝312AB，
∵AB，
∴AB＝10，BC＝24，
∴S长方形ABCD＝AB BC＝10×24＝240．
