几何辅助线进阶训练——构造中线
一、阶段一
1．已知：如图，在 中，是边上的高线，是边上 的中线，G是的中点，连结，，，.
（1）求的长.
（2）求证：.
2．如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为 ．
3．
（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．
4．如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边长作菱形BCFG和菱形ACDE，使点D在边CF上，连接EG，H是EG的中点，且，则EG的长是 ．
5．在中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若的面积是14，则的面积为 ．
6．如图，，，，过C作，连接AF与BC相交于点G，若，求的度数．
7．如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
8．如图所示，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B＝（ ）
A．54° B．60° C．66° D．72°
10．
（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM＝AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是多少；
（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．
二、阶段二
11．如图，在中，.将绕顶点C旋转得到，若点O是中点，点P是中点，在旋转过程中，线段的最大值等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．如图1，在中，分别是边上的高线，M，N分别是线段的中点.
（1）求证：.
（2）连接，猜想与之间的关系，并说明理由.
（3）若将锐角三角形变为钝角三角形，其余条件不变，如图2，直接写出与之间的关系.
13．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 .
14．如图，的面积为12，点D，E，F分别为的中点，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F.以下四个结论正确的是（ ）
①BF＝CF；②若BE⊥AC，则CF＝DF；③若BE平分∠ABC，则FG＝；④连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE.
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
16．阅读理解：亲爱的同学们，在以后的学习中我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．即：如图1：在中，，若点是斜边的中点，则．
（1）牛刀小试：在图1中，若，，其他条件不变，则 ；
（2）活学活用：如图2，已知，点、分别为、的中点，，．求的长；
（3）问题解决：为了提高全民健身环境，公园管理部门想要建一个形状如图3中的四边形，其中，，，千米，要在公园的、之间铺设一条笔直的塑胶跑道，若跑道铺设成本每米200元，当最大时，请问管理部门预算160万元够用吗？
17．如图，在中，于点D，于点E，AD与CE相交于点F，连接DE．
（1）若，，，求．
（2）若，，求．
18．如图，菱形ABCD的边长是4，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB．则PB= ．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，BC的中点，连接EF.按以下步骤作图：①分别以点O，C为圆心，大于OC的长为半径作弧，两弧交于点P；②作直线PF，交AC于点G.若AD＝4，BD＝8，则线段EF的长为 .
20．如图，在平行四边形 中， ， 于点 ， 为 的中点，连结 ， ，下列结论：① ，② ；③ ；④ ，其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、阶段三
21．在平行四边形中，，为中点，点在线段上，连接，在下方有一点，满足，连接．
（1）若，，求的面积；
（2）若，，求证：．
22．
（1）【探究发现】（1）如图1，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，则、、之间满足的数量关系是 .
（2）【类比应用】如图2，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由.
（3）【拓展延伸】在中，，，点为的中点，、分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长.
23．如图，在中，，AB＝AC＝5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG＝FG时，线段长为
24．如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，∠ABC＝20°，O为斜边的中点，将OA绕着点O逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至OP，当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为 ．
25．在菱形ABCD中，∠D=60°，CD=4，E为菱形内部一点，且AE=2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 .
26．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4.5，S菱形ABCD＝36，则OH的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
27．点P是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线作垂线，垂足分别为点E、F.点O为的中点.
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段和的关系是 ；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请证明（1）中的结论仍然成立.
（3）如图3，点P在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系.
28．综合与实践
问题背景：数学小组在一次课外学习交流时，组内一同学提出如下问题：在 中， ，D为 边上一点，但不与点B，点C重合，过点D作 于点E．连接 ，M为 的中点，连接 ， ．
（1）观察发现：如图1， 与 之间的数量关系是 ；
（2）思考分享：如图2，将 绕点B顺时针旋转，其他条件不变，则（1）中的结论还成立，请证明．小明是这样思考的：延长 至点 ，使得 ，连接 运用三角形中位线定理，…．按照他的思路或采用其他方法证明；
（3）探究计算：若 ， ， ，在 绕点B旋转一周的过程中，当直线 经过点A时，线段 的长为 ．
29．已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为D、E，M为斜边AB的中点（备注，可以直接用结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.
（1）如图1，当点P与点M重合时，AD与BE的位置关系是 ，MD与ME的数量关系是 .
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点M重合时，试判断MD与ME的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上且PQ是不与AB重合的任一直线时，分别过A、B向直线PQ作垂线，垂足分别为D、E，此时（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由.
30．在 与 中， ， ， ，连接 ，点 为 的中点，连接 ， 绕着点 旋转.
（1）如图1，当点 落在 的延长线上时， 与 的数量关系是： ；
（2）如图2，当 旋转到点 落在 的延长线上时， 与 是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；
（3）旋转过程中，若当 时，直接写出 的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵是边上的高线，，，
∴ ， ，
∵是边上 的中线，
∴，
∵，
∴
（2）证明：连接，
∵，是边上 的中线，
∴ ，
∴，
∵G是的中点，
∴.
2．【答案】3
3．【答案】（1）2＜AD＜11
（2）解：延长AD至点E，使DG＝AD，连接BG，
∵ AE＝4，EC＝3
∴AC=AE+CE=7；
∵AD是中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC=BG=7，∠G=∠DAC，
∵∠FAE＝∠AFE=∠BFG，
∴∠G=∠BFG，
∴BF=BG=7
（3）证明：延长ED使DG=ED，连接FG，CG，
∵FD⊥ED，
∴FD垂直平分EG，
∴EF=FG，
在△BED和△CGD中
∴△BED≌△CGD（SAS），
∴BE=CG，
在△CFG中
CG+CF＞FG即BE+CF＞EF
4．【答案】10
5．【答案】2
6．【答案】解：取FG的中点D，连接CD，如图所示．
设∠F=x°，
∵∠B=90°，CF∥AB，
∴∠BAG=x°，∠BCF=90°，
∴DC=DF=DG．
又∵GF=2AC，
∴AC=DC=DF=DG，
∴∠ADC=∠DAC=2x°．
∵∠BAC=72°，
∴3x°=72°，
∴∠BAG=∠F=x°=24°．
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】（1）解：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
（2）解：AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）解：EF＝2AD，
理由：如图2，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
11．【答案】B
12．【答案】（1）证明：如图，连接，，
∵分别是边上的高线，M是的中点，
∴，，
∴，
又∵N为中点，
∴；
（2）解：；理由如下：
在中，，
∵，
∴，，
∴，
，
∴
，
∴；
（3）解：
13．【答案】2.4
14．【答案】B
15．【答案】D
16．【答案】（1）5
（2）解：如图2，连接、，
，点是的中点，，
，
，
，
，
点是的中点，，
，，
，
，
的长是5．
（3）解：如图3，连接，取的中点，连接、，
千米，，
是等边三角形，
千米，
（千米），
，
，
（千米），
，
千米，
，
千米，
如图4，当、、在同一直线上时，的值最大，此时千米，
跑道铺设成本每米200元，
元，
跑道铺设的总成本为元，
，
管理部门预算160万元不够用．
17．【答案】（1）解：∵，∴，在中，，∴，∵，∴；
（2）解：如图，取的中点G，连接，
∵，，∴，∵G为的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴．
18．【答案】
19．【答案】
20．【答案】D
21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCN＝60°，
又AC⊥CD，
∴AB⊥AC，
∴∠B＝30°，
在Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴BC＝2AE＝10，
∴AC＝BC＝5，
∴，
∴
（2）证明：延长CN至G，使CG＝AC，
由（1）知∠ACM＝∠GCM，
又MC＝MC，
∴△ACM≌△GCM，
∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，
又AM＝MN，
∴GM＝MN，
∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，
又由（1）可得EC＝EA，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，
∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，
∴∠NMC＝∠MAE，
在MC上截取MF＝AE，
∴△MAE≌△NMF，
∴ME＝FN，
又MC＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，
∵EA＝MF＝CE，
∴ME＝CN＝FN＝CF，
∴△NCF为等边三角形，
∴∠MCN＝60°，∴∠ACB＝60°，∴∠ABC＝30°，∴，
∵AE＝BC，∴AB＝AE．
22．【答案】AB=AF+AE【类比应用】（2）如图2，中，，，点为的中点，、分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由.【答案】解：.理由是：取中点G，连接，如图2∵点G是斜边中点，∴，∵，，点D为的中点，∴，∴，即，又∵，∴，∵，，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴；【拓展延伸】（3）在中，，，点为的中点，、分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长.【答案】解：的长为或
（1）AB=AF+AE
（2）解：.理由是：
取中点G，连接，如图2
∵点G是斜边中点，
∴，
∵，，点D为的中点，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：的长为或
23．【答案】
24．【答案】40或100或70
25．【答案】
26．【答案】C
27．【答案】（1）OE＝OF
（2）解：补全图形如图所示，仍然成立，
证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：当点P在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点H，如图所示，
由（2） 可知 ，
∴，，
又∵，，
∴，
∴.
28．【答案】（1）
（2）解：（2）如图，
延长 到点 ，使得 ，延长 到点 ，使得 ，分别连接 、 、 和 ，
∵ ，
∴ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （SAS），
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， 分别是 和 的中位线，
∴ ， ，
∴ ；
（3） 或
29．【答案】（1）；
（2）如图，延长 交 于
由（1）得： ，
为 的中点，
（3）延长 与 交于点
同理可得：
30．【答案】（1）
（2）解：成立（具有）
证明：
延长 到点 ，使 ，连接 ，
∵点 为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：14或 .
过E作EH⊥BC于H，
∴在Rt△ECD中，CE=2 ，
∵∠BCD=105 ，
∴∠HCE=105 -∠DCE=60 ，
∴CH= ，EH= ，
∵BC= ，
∴BH=BC-CH= - ，
∴FD2= ；
延长BC，过E作EG⊥BC于G，
∵∠BCD=105 ，∠DCE=45 ，
∴∠GCE=180 -∠ACD-∠DCE=30 ，
∴GE= ，
∴CG= ，
∴
∴FD2= .
综上所述， 的值为14或 .
