2.2 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词命题与存在量词命题
［学习目标］ 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.
一、全称量词命题与存在量词命题的识别
问题1 下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？
（1）x>3；
（2）2x+1是整数；
（3）对所有的x∈R，x>3；
（4）对任意一个x∈Z，2x+1是整数.
问题2 下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？
（1）2x+1=3；
（2）x能被2和3整除；
（3）存在一个x∈R，使2x+1=3；
（4）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.
知识梳理
1.全称量词命题及全称量词
（1）定义：在给定集合中，断言 都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.
（2）全称量词
在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“ ”表示，读作“对任意的”.常见的全称量词还有“任给”“凡是”等.
2.存在量词命题及存在量词
（1）定义：在给定集合中，断言 具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
（2）存在量词
在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“ ”表示，读作“存在”. 常见的存在量词还有“有的”“对某些”等.
例1 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
（1）有一个实数x，x不能取倒数；
（2）所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；
（3）圆内接四边形，其对角互补；
（4）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.
反思感悟 （1）全称量词命题或存在量词命题的判断
（2）全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略.
跟踪训练1 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：
（1）对 n∈Z，2n+1是奇数；
（2）自然数的平方大于或等于零；
（3）有的实数是无限不循环小数；
（4）所有的正方形都是矩形.
二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假：
（1） x∈Z，x3<1；
（2）存在一个四边形不是平行四边形；
（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P；
（4） x∈N，x2>0.
反思感悟 全称量词命题和存在量词命题真假的判断
跟踪训练2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
（1） x∈N，2x+1是奇数；
（2）存在一个x∈R，使=0；
（3）一次函数y=kx+b（k≠0），y随着x的增大而增大；
（4） x，y∈Z，3x-2y=10.
三、由含量词命题的真假求参数的范围
例3 已知集合A=｛x|-1≤x≤9｝，B=｛x|2m+1≤x≤4m-3｝，且B≠ ，若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
延伸探究
1.把本例中命题p改为“ x∈A，x∈B”，求m的取值范围.
2.把本例中的命题p改为“ x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
反思感悟 含量词命题的真假求参数取值范围
把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围.
跟踪训练3 若命题“ x∈R，x2-4x+a=0”为真命题，求实数a的取值范围.
1.知识清单：
（1）全称量词命题、存在量词命题的概念.
（2）含量词的命题的真假判断.
（3）通过含量词的命题的真假求参数的取值范围.
2.方法归纳：定义法、转化法、特例法.
3.常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”.
1.下列命题是“ x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是 （ ）
A.有一个x∈R，使得x2>3
B.对有些x∈R，使得x2>3
C.任选一个x∈R，使得x2>3
D.至少有一个x∈R，使得x2>3
2.下列命题中是全称量词命题且是真命题的是 （ ）
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a，b，若a-b≤0，则a≤b
D.存在一个实数x，使等式x2-2x+1=0成立
3.下列命题，是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 （填序号）.
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数.
4.若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是 .
答案精析
问题1 语句（1）（2）中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句（3）在（1）的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题.
问题2 容易判断，（1）（2）不是命题.语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使（3）（4）变成了可以判断真假的陈述句，因此（3）（4）是命题.
知识梳理
1.（1）所有元素 （2）
2.（1）某些元素 （2）
例1 解 （1）含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题.
（2）含有全称量词“所有”，故为全称量词命题.
（3）可改写为“所有圆内接四边形的对角互补”，故为全称量词命题.
（4）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题.
跟踪训练1 解 （1）含有全称量词“ ”，故为全称量词命题.
（2）可改写为“所有自然数的平方大于或等于零”，故为全称量词命题.
（3）含有存在量词“有的”，故为存在量词命题.
（4）含有全称量词“所有”，故为全称量词命题.
例2 解 （1）因为-1∈Z，且（-1）3=-1<1，
所以“ x∈Z，x3<1”是真命题.
（2）真命题，如梯形.
（3）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.
（4）因为0∈N，02=0，
所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题.
跟踪训练2 解 （1）是全称量词命题，因为 x∈N，2x+1都是奇数，所以该命题是真命题.
（2）是存在量词命题.因为不存在x∈R，使=0成立，所以该命题是假命题.
（3）是全称量词命题.当k<0时，y随x的增大而减小，所以该命题是假命题.
（4）是存在量词命题.当x=4，y=1时，3x-2y=10，所以该命题为真命题.
例3 解 由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，因为B≠ ，
所以
解得2≤m≤3.
即m的取值范围为｛m|2≤m≤3｝.
延伸探究
1.解 若p为真，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，
所以m≥2.
所以
或
解得2≤m≤4.
2.解 由于命题p：“ x∈A，x∈B”是真命题，
所以A B，B≠ ，
所以无解，
所以不存在实数m，使命题p是真命题.
跟踪训练3 解 ∵命题“ x∈R，x2-4x+a=0”为真命题，
∴方程x2-4x+a=0存在实数根，
则Δ=（-4）2-4a≥0，解得a≤4.
即实数a的取值范围为｛a|a≤4｝.
随堂演练
1.C 2.C 3.①②③ ④
4.｛a|a≤3｝(共54张PPT)
第一章
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第1课时 全称量词命题与存在量词命题
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并会判断它们的真假.
学习目标
某校为了迎接今年秋季田径运动会,正在排练由100名学生参加的开幕式团体操表演.这100名学生符合下列条件:
(1)所有学生都来自高二年级;
(2)至少有10名学生来自高二·一班;
(3)每一个学生都有固定表演路线.
这里出现了一些我们数学中非常重要的量词“所有”“至少有” “每一个”,今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论.
导 语
一、全称量词命题与存在量词命题的识别
二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
随堂演练
三、由含量词命题的真假求参数的范围
内容索引
课时对点练
一
全称量词命题与存在量词命题的识别
下列语句是命题吗 比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
(1)x>3;
(2)2x+1是整数;
(3)对所有的x∈R,x>3;
(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数.
问题1
提示 语句(1)(2)中含有变量x,由于不知道变量x代表什么数,无法判断它们的真假,所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,因此语句(3)(4)是命题.
下列语句是命题吗 比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
(1)2x+1=3;
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
问题2
提示 容易判断,(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句,因此(3)(4)是命题.
1.全称量词命题及全称量词
(1)定义:在给定集合中,断言 都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.
(2)全称量词
在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“ ”表示,读作“对任意的”.常见的全称量词还有“任给”“凡是”等.
所有元素
2.存在量词命题及存在量词
(1)定义:在给定集合中,断言 具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
(2)存在量词
在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“ ”表示,读作“存在”. 常见的存在量词还有“有的”“对某些”等.
某些元素
(1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.
(2)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.
(3)含有存在量词的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
(4)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
注 意 点
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判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题:
(1)有一个实数x,x不能取倒数;
例 1
含有存在量词“有一个”,故为存在量词命题.
(2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径;
含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.
(3)圆内接四边形,其对角互补;
可改写为“所有圆内接四边形的对角互补”,故为全称量词命题.
(4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称量词命题.
(1)全称量词命题或存在量词命题的判断
反
思
感
悟
(2)全称量词命题可以省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略.
判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题:
(1)对 n∈Z,2n+1是奇数;
跟踪训练 1
含有全称量词“ ”,故为全称量词命题.
(2)自然数的平方大于或等于零;
可改写为“所有自然数的平方大于或等于零”,故为全称量词命题.
(3)有的实数是无限不循环小数;
含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.
(4)所有的正方形都是矩形.
含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.
二
全称量词命题与存在量词命题的真假判断
判断下列命题的真假:
(1) x∈Z,x3<1;
例 2
因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,
所以“ x∈Z,x3<1”是真命题.
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
真命题,如梯形.
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4) x∈N,x2>0.
因为0∈N,02=0,所以命题“ x∈N,x2>0”是假命题.
反
思
感
悟
全称量词命题和存在量词命题真假的判断
指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
(1) x∈N,2x+1是奇数;
跟踪训练 2
是全称量词命题,因为 x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.
(2)存在一个x∈R,使=0;
是存在量词命题.因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题.
(3)一次函数y=kx+b(k≠0),y随着x的增大而增大;
是全称量词命题.当k<0时,y随x的增大而减小,所以该命题是假命题.
(4) x,y∈Z,3x-2y=10.
是存在量词命题.当x=4,y=1时,3x-2y=10,所以该命题为真命题.
三
由含量词命题的真假求参数的范围
已知集合A={x|-1≤x≤9},B={x|2m+1≤x≤4m-3},且B≠ ,若命题p: “ x∈B,x∈A”是真命题,求m的取值范围.
例 3
由于命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,
所以B A,因为B≠ ,
所以
解得2≤m≤3.
即m的取值范围为{m|2≤m≤3}.
1.把本例中命题p改为“ x∈A,x∈B”,求m的取值范围.
延伸探究
若p为真,则A∩B≠ ,因为B≠ ,
所以m≥2.
所以
解得2≤m≤4.
2.把本例中的命题p改为“ x∈A,x∈B”,是否存在实数m,使命题p是真命题 若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.
由于命题p:“ x∈A,x∈B”是真命题,
所以A B,B≠ ,所以无解,
所以不存在实数m,使命题p是真命题.
反
思
感
悟
把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
含量词命题的真假求参数取值范围
若命题“ x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,求实数a的取值范围.
跟踪训练 3
∵命题“ x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,
∴方程x2-4x+a=0存在实数根,
则Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4.
即实数a的取值范围为{a|a≤4}.
1.知识清单:
(1)全称量词命题、存在量词命题的概念.
(2)含量词的命题的真假判断.
(3)通过含量词的命题的真假求参数的取值范围.
2.方法归纳:定义法、转化法、特例法.
3.常见误区:有些命题省略了量词,全称量词命题强调“整体、全部”,存在量词命题强调“个别、部分”.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下列命题是“ x∈R,x2>3”的另一种表述方式的是
A.有一个x∈R,使得x2>3
B.对有些x∈R,使得x2>3
C.任选一个x∈R,使得x2>3
D.至少有一个x∈R,使得x2>3
√
2.下列命题中是全称量词命题且是真命题的是
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a,b,若a-b≤0,则a≤b
D.存在一个实数x,使等式x2-2x+1=0成立
1
2
3
4
B,D是存在量词命题,故应排除;
对于A,二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象开口向下,也应排除,显然C既是全称量词命题,又是真命题.
√
3.下列命题,是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是_____(填序号).
①正方形的四条边相等;
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.
1
2
3
4
①②③
④
4.若对任意x>3,x>a恒成立,则a的取值范围是 .
1
2
3
4
对于任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a≤3.
{a|a≤3}
课时对点练
五
1.命题“实数的平方不小于零”可以表示为
A. x∈R,x2≥0 B. x∈R,x2≥0
C. x∈R,x2>0 D. x∈R,x2>0
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16
基础巩固
√
命题“实数的平方不小于零”为全称量词命题,即 x∈R,x2≥0.
2.下列命题中为存在量词命题的是
A.所有的整数都是有理数
B.每个三角形至少有两个锐角
C.有些三角形是等腰三角形
D.正方形都是菱形
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√
A,B,D为全称量词命题,C中含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.
3.以下四个命题中,既是全称量词命题又是真命题的是
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个奇数的和是偶数
D.存在一个负数x,使>2
√
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16
B,D为存在量词命题,A,C为全称量词命题.
选项A中,锐角三角形的内角一定是锐角,故A为假命题;
选项C中,两个奇数的和为偶数,故C为真命题,故选C.
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4.下列命题中的假命题是
A. x∈R,|x|=0 B. x∈R,2x-10=1
C. x∈R,x3>0 D. x∈R,x2+1>0
√
当x=0时,x3=0,故选项C为假命题.
5.下列命题中形式不同于其他三个的是
A. x∈Z,x2-9
C.每一个正数的倒数都大于0
D. x<2,x-3<0
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16
A,C,D均为全称量词命题,B为存在量词命题.
√
6.(多选)已知对 x∈,都有m>x为真命题,则m的可能取值为
A.1 B.2
C.3 D.4
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√
因为对 x∈,都有x<3,
所以要使m>x成立,只需m≥3.
√
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7.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“ ”或“ ”可表述为
.
x<0,(1+x)(1-9x)>0
“有些”为存在量词,因此可用存在量词命题来表述.
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8.若“ x∈[1,2],x-a≥0”是真命题,则实数a的取值范围是 ;若上述命题为假命题,则实数a的取值范围是 .
若“ x∈[1,2],x-a≥0”是真命题,
即“ x∈[1,2],x≥a”能成立,
所以a≤xmax,即a≤2.
若“ x∈[1,2],x-a≥0”是假命题,即在区间[1,2]上找不到满足x≥a的数,故a>2.
(2,+∞)
9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假:
(1) x∈R,x-2≤0;
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存在量词命题.当x=1时,x-2=-1<0,故存在量词命题“ x∈R,x-2≤0”是真命题.
(2)三角形两边之和大于第三边;
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全称量词命题.三角形中,任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
(3)有些整数是偶数.
存在量词命题.2是整数,2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.
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10.若命题“ x∈{x|1≤x≤2},一次函数y=x+m的图象在x轴上方”为真命题,求实数m的取值范围.
当1≤x≤2时,1+m≤x+m≤2+m,
因为一次函数y=x+m的图象在x轴上方,
所以1+m>0,即m>-1,
所以实数m的取值范围是{m|m>-1}.
11.(多选)下列存在量词命题中,是真命题的是
A. x∈Z,x2-2x-3=0
B.至少有一个x∈Z,使x能同时被2和3整除
C. x∈R,|x|<0
D.有些自然数是偶数
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√
综合运用
√
√
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16
A中,当x=-1时,满足x2-2x-3=0,所以A是真命题;
B中,6能同时被2和3整除,所以B是真命题;
D中,2既是自然数又是偶数,所以D是真命题;
C中,因为所有实数的绝对值非负,所以C是假命题.
12.已知命题p: x∈R,x+2>x2,命题q: x∈R,-x2<0,则
A.命题p,q都是真命题
B.命题p是真命题,q是假命题
C.命题p是假命题,q是真命题
D.命题p,q都是假命题
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√
当x=0时,x+2=2,x2=0,故命题p为真命题,
当x=0时,-x2=0,故命题q为假命题.
13.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab”是真命题的一组
有序数对(a,b)为 .
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存在两个不相等的正数a,b,如当a=,b=时,使得a-b=ab是真命题.
(答案不唯一)
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14.若“对任意的5x-1>a,都有x>1”为真命题,则实数a的取值范围是
.
“对任意的5x-1>a,都有x>1”为真命题,即当x>时,都有x>1.
令A=,B={x|x>1},
则A B,∴≥1,∴a≥4.
{a|a≥4}
15.下列命题正确的是
A.对所有的正实数t,有
C.不存在实数x,使x<4且x2+5x-24=0
D.对任意实数x,都有|x+1|≤1且x2>4
1
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拓广探究
√
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当t=时,>t,所以A选项错误;
由x2-3x-4=0,得x=-1或x=4,因此当x=-1或x=4时,x2-3x-4=0,故B选项正确;
由x2+5x-24=0,得x=-8或x=3,所以C选项错误;
当x=0时,x2=0<4,所以D选项错误.
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16.是否存在整数m,使得命题“ x∈,-5<3-4m
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16
假设存在整数m,使得命题“ x∈,-5<3-4m
所以-5<3-4m<,解得
故存在整数m=1,使得命题“ x∈,-5<3-4m
一、全称量词命题的否定
问题1 写出下列命题的否定：
（1）所有的三角形都有外接圆；
（2） x∈R，x>a2+b2；
（3）被7整除的数都是奇数.
它们与原命题在形式上有什么变化？
知识梳理
1.命题的否定
当命题是真命题时，命题的否定是假命题；当命题是假命题时，命题的否定是真命题.
2.全称量词命题的否定
对于全称量词命题p： x∈M，x具有性质p（x），通常把它的否定表示为 ，x不具有性质p（x）.
全称量词命题的否定是 命题.
3.常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有（n-1）个
小于 不小于 至多有n个 至少有（n+1）个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
例1 写出下列全称量词命题的否定：
（1）所有矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3） x∈R，有x2-2x+1≥0.
反思感悟 对全称量词命题否定的两个步骤
（1）改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词.
（2）否定结论：原命题中的结论改为否定形式.
跟踪训练1 写出下列全称量词命题的否定：
（1）对所有正数x，>x+1；
（2） x∈R，x3+1≠0；
（3）每一个四边形的四个顶点共圆.
二、 存在量词命题的否定
问题2 写出下列命题的否定：
（1）存在一个实数的绝对值是正数；
（2）有些平行四边形是菱形；
（3） x∈R，使x2-2x+3=0.
它们与原命题在形式上有什么变化？
知识梳理
存在量词命题的否定
对于存在量词命题p： x∈M，x具有性质p（x），通常把它的否定表示为 ，x不具有性质p（x）.
存在量词命题的否定是 命题.
例2 写出下列存在量词命题的否定：
（1）某些矩形是正方形；
（2） x∈R，x2+1<0；
（3） x，y∈Z，使得x+y=3.
反思感悟 对存在量词命题否定的两个步骤
（1）改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词.
（2）否定结论：原命题中的结论改为否定形式.
跟踪训练2 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（1）存在一个梯形的对角线互相平分；
（2） x∈｛x|x是无理数｝，x2是无理数；
（3）存在k∈R，函数y=kx+b随x值的增大而减小.
三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用
例3 命题“存在x>1，使得2x+a<3”是假命题，求实数a的取值范围.
延伸探究 若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围.
反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略
（1）对于全称量词命题“ x∈M，a>y（或a
1.知识清单：
（1）全称量词命题、存在量词命题的否定.
（2）命题真假的判断.
（3）全称量词命题与存在量词命题的综合应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：
（1）否定范围不改变.
（2）否定不唯一.
（3）命题与其否定的真假性相反.
1.命题“ x∈R，|x|+x2≥0”的否定是 （ ）
A. x∈R，|x|+x2<0
B. x∈R，|x|+x2≤0
C. x∈R，|x|+x2<0
D. x∈R，|x|+x2≥0
2.命题“存在实数x，使x>1”的否定是 （ ）
A.对任意实数x，都有x>1
B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x，都有x≤1
D.存在实数x，使x≤1
3.（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是 （ ）
A. x∈R，x2-x+<0
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R，x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数x，使x3+1=0
4.若命题p：“ x≥1，x+a-3<0”为假命题.则实数a的取值范围是 .
答案精析
问题1 上面三个命题都是全称量词命题，即具有“ x∈M，x具有性质p（x）”的形式.其中命题（1）的否定是“并非所有的三角形都有外接圆”，也就是说，存在一个三角形没有外接圆.
命题（2）的否定是“并非所有的实数x，都使x>a2+b2成立”，也就是说， x∈R，x≤a2+b2.
命题（3）的否定是“并非所有被7整除的数都是奇数”，也就是说，存在被7整除的数是偶数.
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
知识梳理
2. x∈M 存在量词
例1 解 （1）该命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形.
（2）该命题的否定：存在一个素数不是奇数.
（3）该命题的否定： x∈R，使x2-2x+1<0.
跟踪训练1 解 （1）该命题的否定：存在正数x，≤x+1.
（2）该命题的否定： x∈R，x3+1=0.
（3）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
问题2 这三个命题都是存在量词命题，即具有“ x∈M，x具有性质p（x）”的形式.其中命题（1）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题（2）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
命题（3）的否定是“不存在x∈R，使x2-2x+3=0”，也就是说， x∈R，有x2-2x+3≠0.
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
知识梳理
x∈M 全称量词
例2 解 （1）该命题的否定：“没有一个矩形是正方形”，也即“每一个矩形都不是正方形”.
（2）该命题的否定：“不存在x∈R，x2+1<0”，
也即“ x∈R，x2+1≥0”.
（3）该命题的否定：“ x，y∈Z，x+y≠3”.
跟踪训练2 解 （1）假命题，该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分.
（2）真命题，该命题的否定： x∈｛x|x是无理数｝，x2是有理数.
（3）真命题，该命题的否定：任意k∈R，函数y=kx+b不随x值的增大而减小.
例3 解 命题“存在x>1，使得2x+a<3”是假命题，
所以此命题的否定“任意x>1，2x+a≥3”是真命题，
因为对任意x>1，都有2x+a>2+a，
所以2+a≥3，
所以a≥1.
延伸探究 解 由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题，
故有>1，所以a<1.
跟踪训练3 解 因为p的否定是假命题，所以p是真命题，
又 x∈｛x|-3≤x≤2｝，
都有x∈｛x|a-4≤x≤a+5｝，
所以｛x|-3≤x≤2｝ ｛x|a-4≤x≤a+5｝，
则解得-3≤a≤1，
即实数a的取值范围是-3≤a≤1.
随堂演练
1.C 2.C 3.AC 4.［2，+∞）(共58张PPT)
第一章
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第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
学习目标
“否定”是我们日常生活中经常使用的词语.某一期《人民日报》的《创新,从敢于否定开始》一文中有这样一段话:“培养一流创新人才,敢于否定的精神非常重要.一旦下定决心进行研究,首先就要敢于否定别人的成果,并想一想:前人的成果有哪些是不对的,有什么方面可以改善,有什么地方可以加强.”今天我们一起去寻找“命题的否定”.
导 语
一、全称量词命题的否定
二、存在量词命题的否定
随堂演练
三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用
内容索引
课时对点练
一
全称量词命题的否定
写出下列命题的否定:
(1)所有的三角形都有外接圆;
(2) x∈R,x>a2+b2;
(3)被7整除的数都是奇数.
它们与原命题在形式上有什么变化
问题1
提示 上面三个命题都是全称量词命题,即具有“ x∈M,x具有性质p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的三角形都有外接圆”,也就是说,存在一个三角形没有外接圆.
命题(2)的否定是“并非所有的实数x,都使x>a2+b2成立”,也就是说, x∈R,x≤a2+b2.
命题(3)的否定是“并非所有被7整除的数都是奇数”,也就是说,存在被7整除的数是偶数.
从命题形式看,这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
1.命题的否定
当命题是真命题时,命题的否定是假命题;当命题是假命题时,命题的否定是真命题.
2.全称量词命题的否定
对于全称量词命题p: x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为 ,
x不具有性质p(x).
全称量词命题的否定是 命题.
x∈M
存在量词
3.常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个
小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
(1)总结起来八个字“改变量词,否定结论”,从集合的角度来看,x的范围没有变,只是对结论进行了否定.
(2)一个命题和它的否定真假性相反.
注 意 点
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写出下列全称量词命题的否定:
(1)所有矩形都是平行四边形;
例 1
该命题的否定:存在一个矩形不是平行四边形.
(2)每一个素数都是奇数;
该命题的否定:存在一个素数不是奇数.
(3) x∈R,有x2-2x+1≥0.
该命题的否定: x∈R,使x2-2x+1<0.
(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.
(2)否定结论:原命题中的结论改为否定形式.
反
思
感
悟
对全称量词命题否定的两个步骤
写出下列全称量词命题的否定:
(1)对所有正数x,>x+1;
跟踪训练 1
该命题的否定:存在正数x,≤x+1.
(2) x∈R,x3+1≠0;
该命题的否定: x∈R,x3+1=0.
(3)每一个四边形的四个顶点共圆.
该命题的否定:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
二
存在量词命题的否定
写出下列命题的否定:
(1)存在一个实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) x∈R,使x2-2x+3=0.
它们与原命题在形式上有什么变化
问题2
提示 这三个命题都是存在量词命题,即具有“ x∈M,x具有性质p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,所有实数的绝对值都不是正数;
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,也就是说,每一个平行四边形都不是菱形;
命题(3)的否定是“不存在x∈R,使x2-2x+3=0”,也就是说, x∈R,有x2-2x+3≠0.
从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
存在量词命题的否定
对于存在量词命题p: x∈M,x具有性质p(x),通常把它的否定表示为 ,
x不具有性质p(x).
存在量词命题的否定是 命题.
x∈M
全称量词
写出下列存在量词命题的否定:
(1)某些矩形是正方形;
例 2
该命题的否定:“没有一个矩形是正方形”,也即“每一个矩形都不是正方形”.
(2) x∈R,x2+1<0;
该命题的否定:“不存在x∈R,x2+1<0”,也即“ x∈R,x2+1≥0”.
(3) x,y∈Z,使得x+y=3.
该命题的否定:“ x,y∈Z,x+y≠3”.
反
思
感
悟
对存在量词命题否定的两个步骤
(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.
(2)否定结论:原命题中的结论改为否定形式.
判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)存在一个梯形的对角线互相平分;
跟踪训练 2
假命题,该命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分.
(2) x∈{x|x是无理数},x2是无理数;
真命题,该命题的否定: x∈{x|x是无理数},x2是有理数.
(3)存在k∈R,函数y=kx+b随x值的增大而减小.
真命题,该命题的否定:任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小.
三
全称量词命题与存在量词命题的综合应用
命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围.
例 3
命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,
所以此命题的否定“任意x>1,2x+a≥3”是真命题,
因为对任意x>1,都有2x+a>2+a,
所以2+a≥3,
所以a≥1.
若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
延伸探究
由题意知“存在x>1,使得x<”是真命题,
故有>1,所以a<1.
反
思
感
悟
(1)对于全称量词命题“ x∈M,a>y(或a
已知命题p: x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且p的否定是假命题,求实数a的取值范围.
跟踪训练 3
因为p的否定是假命题,所以p是真命题,
又 x∈{x|-3≤x≤2},
都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},
所以{x|-3≤x≤2} {x|a-4≤x≤a+5},
则解得-3≤a≤1,
即实数a的取值范围是-3≤a≤1.
1.知识清单:
(1)全称量词命题、存在量词命题的否定.
(2)命题真假的判断.
(3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:
(1)否定范围不改变.
(2)否定不唯一.
(3)命题与其否定的真假性相反.
随堂演练
四
1
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4
1.命题“ x∈R,|x|+x2≥0”的否定是
A. x∈R,|x|+x2<0
B. x∈R,|x|+x2≤0
C. x∈R,|x|+x2<0
D. x∈R,|x|+x2≥0
√
条件 x∈R的否定是 x∈R,结论“|x|+x2≥0”的否定是“|x|+x2<0”.
2.命题“存在实数x,使x>1”的否定是
A.对任意实数x,都有x>1
B.不存在实数x,使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1
D.存在实数x,使x≤1
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√
3.(多选)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的是
A. x∈R,x2-x+<0
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数x,使x3+1=0
1
2
3
4
√
√
命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词命题,故排除B;
再根据命题的否定为真命题,即原命题为假命题,又D为真命题,故选AC.
4.若命题p:“ x≥1,x+a-3<0”为假命题.则实数a的取值范围是 .
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3
4
命题p为假命题,则命题p的否定:“ x≥1,x+a-3≥0”为真命题,
即当x≥1时,a≥-x+3恒成立,
∴a≥(-x+3)max.
∵x≥1,∴-x+3≤2,∴a≥2.
故实数a的取值范围是[2,+∞).
[2,+∞)
课时对点练
五
1.命题“ x∈[0,+∞),2x2-x≥0”的否定是
A. x [0,+∞),2x2-x<0
B. x [0,+∞),2x2-x≥0
C. x∈[0,+∞),2x2-x<0
D. x∈[0,+∞),2x2-x≥0
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基础巩固
√
命题是存在量词命题,则命题的否定是全称量词命题,据此可得命题“ x∈[0,+∞),2x2-x≥0”的否定是“ x∈[0,+∞),2x2-x<0”.
2.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p: x∈A,2x∈B,则
A.p的否定: x∈A,2x∈B
B.p的否定: x A,2x B
C.p的否定: x A,2x∈B
D.p的否定: x∈A,2x B
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√
命题p: x∈A,2x∈B是一个全称量词命题,p的否定: x∈A,2x B.
3.下列命题的否定是真命题的为
A.p1:每一个合数都是偶数
B.p2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等
C.p3:全等三角形的周长相等
D.p4:所有的无理数都是实数
√
若判断某命题的否定的真假,只要判断出原命题的真假即可,它们的真假性始终相反.
因为p1为全称量词命题,且是假命题,所以p1的否定是真命题.命题p2,p3,p4均为真命题,即p2的否定,p3的否定,p4的否定均为假命题.
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4.已知命题“存在x∈{x|0
C.{m|m<0或m≥6} D.{m|m≤0或m>6}
√
命题“存在x∈{x|0
A.p的否定: x∈R,x2+1=0
B.p的否定: x∈R,x2+1=0
C.p是真命题,p的否定是假命题
D.p是假命题,p的否定是真命题
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命题p:“ x∈R,x2+1≠0”的否定是“ x∈R,x2+1=0”.
所以p是真命题,p的否定是假命题.
√
√
6.(多选)下列选项中,错误的是
A.命题“ x∈R,x2+1>3x”的否定是“ x∈R,x2+1<3x”
B.命题“ x,y∈R,x2+y2≥0”的否定是“ x,y∈R,x2+y2<0”
C.“a>2”是“a>5”的充分不必要条件
D.命题:对任意x∈R,总有x2>0是真命题
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√
√
√
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对于A,命题“ x∈R,x2+1>3x”的否定是“ x∈R,x2+1≤3x”,故错误;
对于B,命题“ x,y∈R,x2+y2≥0”的否定是“ x,y∈R,x2+y2<0”,正确;
对于C,“a>2”是“a>5”的必要不充分条件,故错误;
对于D,当x=0时,x2=0,故错误.
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7.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是______________
.
它的平方不是有理数
量词“存在”改为“任意”,结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”.
任意一个无理数,
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8.已知命题p:存在x∈R,x2+2x+a=0.若命题p的否定是假命题,则实数a的取值范围是 .
∵命题p的否定是假命题,
∴命题p是真命题,
即存在x∈R,x2+2x+a=0为真命题,
∴Δ=4-4a≥0,∴a≤1.
9.写出下列命题的否定,并判断它们的真假:
(1) x∈R,x2>0;
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16
命题的否定: x∈R,使x2≤0,因为x=0时,02=0,所以命题的否定为真命题.
(2) x∈R,x2=1;
命题的否定: x∈R,使x2≠1,
因为x=1时,x2=1,所以命题的否定为假命题.
(3) x∈R,x是方程x2-3x+2=0的根;
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命题的否定: x∈R,x不是方程x2-3x+2=0的根,因为x=1时,12-3×1+2=0,即x=1为方程的根,所以命题的否定为假命题.
(4)等腰梯形的对角线垂直.
命题的否定:存在一个等腰梯形的对角线不垂直,所以命题的否定是真命题.
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10.已知命题p: x∈R,x2-2x+m=0,命题q:-2
命题p: x∈R,x2-2x+m=0的否定为 x∈R,x2-2x+m≠0.
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(2)若命题p,q一真一假,求实数m的取值范围.
由p是真命题,得Δ=4-4m≥0,所以m≤1.
若p为真命题,q为假命题,
则解得m≤-2;
若p为假命题,q为真命题,则
解得1
A. n∈N,n2>2n B. n∈N,n2≤2n
C. n∈N,n2≤2n D. n∈N,n2=2n
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综合运用
√
12.下列命题正确的是
A.命题“ x>0,y>0,x+y>0”的否定是“ x>0,y>0,x+y≤0”
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
C.命题“ x∈R,x2+x+1<1”的否定是“ x∈R,x2+x+1≥1”
D.命题“存在x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“对任意x∈R,均有x2+x+1
<0”
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对选项A,命题“ x>0,y>0,x+y>0”的否定是“ x>0,y>0,x+y≤0”,选项A正确;
对选项B,∵x2-5x-6=0,∴x=-1或x=6,故“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,选项B不正确;
由存在量词命题的否定为全称量词命题知选项C不正确;
对选项D,命题“存在x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“对任意x∈R,均有x2+x+1≥0”,选项D不正确.
13.已知命题p: x>0,x+a-1=0为假命题,则实数a的取值范围是
A.a>1 B.a≥1
C.a<1 D.a≤1
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因为命题p: x>0,x+a-1=0为假命题,
所以命题p的否定: x>0,x+a-1≠0是真命题,即x≠1-a,
所以1-a≤0,即a≥1.
所以a的取值范围为a≥1.
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14.若“ x∈M,|x|>6”为真命题,“ x∈M,使x<5”为假命题,则集合M可
以是
A.{x|x>6} B.{x|x<-6}
C.{x|x<6} D.{x|x>-6}
“ x∈M,|x|>6”为真命题,则M {x|x>6或x<-6},
“ x∈M,使x<5”为假命题,∴“ x∈M,x≥5”为真命题,
M {x|x≥5},∴M {x|x>6}.
√
15.一学校开展小组合作学习模式,高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.王小二略加思索,反手给了王小一一道题:若“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围,你认为,两位同学题中m的取值范围是否一致 (填“是”或“否”).
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拓广探究
是
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两位同学题中m的取值范围是一致的,
∵“ x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“ x∈R,x2+2x+m>0”,
而“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,
则其否定“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,
∴两位同学题中m的取值范围是一致的.
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16.已知集合A={x|6≤x≤20},集合B={x|x≤2a},命题p: x∈A,x∈B,命题q: x∈R,x2+2x-a>0.
(1)若命题p为假命题,求实数a的取值范围;
若命题p为真命题,则A∩B≠ ,
所以2a≥6,所以a≥3,
所以当命题p为假命题时,a的取值范围为{a|a<3}.
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(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题,求实数a的取值范围.
当命题q为假命题时,即“ x∈R,x2+2x-a≤0”为真命题,
所以Δ=4+4a≥0,解得a≥-1,
所以a的取值范围为{a|a≥-1},
所以当命题p,q均为假命题时,a的取值范围为
{a|a<3}∩{a|a≥-1}={a|-1≤a<3},
所以当命题p和命题q至少有一个为真命题时,a的取值范围为{a|a<-1或a≥3}.作业7 全称量词命题与存在量词命题
（分值：100分）
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.命题“实数的平方不小于零”可以表示为 （ ）
A. x∈R，x2≥0 B. x∈R，x2≥0
C. x∈R，x2>0 D. x∈R，x2>0
2.下列命题中为存在量词命题的是 （ ）
A.所有的整数都是有理数
B.每个三角形至少有两个锐角
C.有些三角形是等腰三角形
D.正方形都是菱形
3.以下四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是 （ ）
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个奇数的和是偶数
D.存在一个负数x，使>2
4.下列命题中的假命题是 （ ）
A. x∈R，|x|=0 B. x∈R，2x-10=1
C. x∈R，x3>0 D. x∈R，x2+1>0
5.下列命题中形式不同于其他三个的是 （ ）
A. x∈Z，x2-9
C.每一个正数的倒数都大于0
D. x<2，x-3<0
6.（多选）已知对 x∈，都有m>x为真命题，则m的可能取值为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.命题“有些负数满足不等式（1+x）（1-9x）>0”用“ ”或“ ”可表述为 .
8.若“ x∈［1，2］，x-a≥0”是真命题，则实数a的取值范围是 ；若上述命题为假命题，则实数a的取值范围是 .
9.（10分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：
（1） x∈R，x-2≤0；（3分）
（2）三角形两边之和大于第三边；（3分）
（3）有些整数是偶数.（4分）
10.（11分）若命题“ x∈｛x|1≤x≤2｝，一次函数y=x+m的图象在x轴上方”为真命题，求实数m的取值范围.
11.（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是 （ ）
A. x∈Z，x2-2x-3=0
B.至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C. x∈R，|x|<0
D.有些自然数是偶数
12.已知命题p： x∈R，x+2>x2，命题q： x∈R，-x2<0，则 （ ）
A.命题p，q都是真命题
B.命题p是真命题，q是假命题
C.命题p是假命题，q是真命题
D.命题p，q都是假命题
13.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对（a，b）为 .
14.若“对任意的5x-1>a，都有x>1”为真命题，则实数a的取值范围是 .
15.下列命题正确的是 （ ）
A.对所有的正实数t，有
C.不存在实数x，使x<4且x2+5x-24=0
D.对任意实数x，都有|x+1|≤1且x2>4
16.（12分）是否存在整数m，使得命题“ x∈，-5<3-4m
1.A 2.C 3.C 4.C 5.B 6.CD 7. x<0，（1+x）（1-9x）>0
8. （2，+∞）
9.解 （1）存在量词命题.当x=1时，x-2=-1<0，故存在量词命题“ x∈R，x-2≤0”是真命题.
（2）全称量词命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.
（3）存在量词命题.2是整数，2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.
10.解 当1≤x≤2时，
1+m≤x+m≤2+m，
因为一次函数y=x+m的图象在x轴上方，
所以1+m>0，即m>-1，
所以实数m的取值范围是｛m|m>-1｝.
11.ABD
12.B ［当x=0时，x+2=2，x2=0，故命题p为真命题，当x=0时，-x2=0，故命题q为假命题.］
13.（答案不唯一）
解析 存在两个不相等的正数a，b，如当a=，b=时，使得a-b=ab是真命题.
14.｛a|a≥4｝
解析 “对任意的5x-1>a，都有x>1”为真命题，即当x>时，都有x>1.
令A=，B=｛x|x>1｝，
则A B，∴≥1，∴a≥4.
15.B ［当t=时，>t，所以A选项错误；由x2-3x-4=0，得x=-1或x=4，因此当x=-1或x=4时，x2-3x-4=0，故B选项正确；
由x2+5x-24=0，得x=-8或x=3，所以C选项错误；当x=0时，x2=0<4，所以D选项错误.］
16.解 假设存在整数m，使得命题“ x∈，-5<3-4m
所以-5<3-4m<，
解得
故存在整数m=1，使得命题“ x∈，-5<3-4m
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.命题“ x∈［0，+∞），2x2-x≥0”的否定是 （ ）
A. x ［0，+∞），2x2-x<0
B. x ［0，+∞），2x2-x≥0
C. x∈［0，+∞），2x2-x<0
D. x∈［0，+∞），2x2-x≥0
2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p： x∈A，2x∈B，则 （ ）
A.p的否定： x∈A，2x∈B
B.p的否定： x A，2x B
C.p的否定： x A，2x∈B
D.p的否定： x∈A，2x B
3.下列命题的否定是真命题的为 （ ）
A.p1：每一个合数都是偶数
B.p2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
C.p3：全等三角形的周长相等
D.p4：所有的无理数都是实数
4.已知命题“存在x∈｛x|0
C.｛m|m<0或m≥6｝ D.｛m|m≤0或m>6｝
5.（多选）关于命题p：“ x∈R，x2+1≠0”的叙述，正确的是 （ ）
A.p的否定： x∈R，x2+1=0
B.p的否定： x∈R，x2+1=0
C.p是真命题，p的否定是假命题
D.p是假命题，p的否定是真命题
6.（多选）下列选项中，错误的是 （ ）
A.命题“ x∈R，x2+1>3x”的否定是“ x∈R，x2+1<3x”
B.命题“ x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2+y2<0”
C.“a>2”是“a>5”的充分不必要条件
D.命题：对任意x∈R，总有x2>0是真命题
7.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 .
8.已知命题p：存在x∈R，x2+2x+a=0.若命题p的否定是假命题，则实数a的取值范围是 .
9.（10分）写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
（1） x∈R，x2>0；（2分）
（2） x∈R，x2=1；（2分）
（3） x∈R，x是方程x2-3x+2=0的根；（3分）
（4）等腰梯形的对角线垂直.（3分）
10.（11分）已知命题p： x∈R，x2-2x+m=0，命题q：-2
（2）若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围.（7分）
11.设命题p： n∈N，n2>2n，则命题p的否定为 （ ）
A. n∈N，n2>2n B. n∈N，n2≤2n
C. n∈N，n2≤2n D. n∈N，n2=2n
12.下列命题正确的是 （ ）
A.命题“ x>0，y>0，x+y>0”的否定是“ x>0，y>0，x+y≤0”
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
C.命题“ x∈R，x2+x+1<1”的否定是“ x∈R，x2+x+1≥1”
D.命题“存在x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1<0”
13.已知命题p： x>0，x+a-1=0为假命题，则实数a的取值范围是 （ ）
A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤1
14.若“ x∈M，|x|>6”为真命题，“ x∈M，使x<5”为假命题，则集合M可以是 （ ）
A.｛x|x>6｝ B.｛x|x<-6｝
C.｛x|x<6｝ D.｛x|x>-6｝
15.一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若“ x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求m的取值范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若“ x∈R，x2+2x+m>0”是真命题，求m的取值范围，你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？ （填“是”或“否”）.
16.（12分）已知集合A=｛x|6≤x≤20｝，集合B=｛x|x≤2a｝，命题p： x∈A，x∈B，命题q： x∈R，x2+2x-a>0.
（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（5分）
（2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.（7分）
答案精析
1.C 2.D 3.A 4.A 5.AC 6.ACD
7.任意一个无理数，它的平方不是有理数
8.｛a|a≤1｝
9.解 （1）命题的否定： x∈R，使x2≤0，因为x=0时，02=0，所以命题的否定为真命题.
（2）命题的否定： x∈R，使x2≠1，
因为x=1时，x2=1，所以命题的否定为假命题.
（3）命题的否定： x∈R，x不是方程x2-3x+2=0的根，因为x=1时，12-3×1+2=0，即x=1为方程的根，所以命题的否定为假命题.
（4）命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，所以命题的否定是真命题.
10.解 （1）命题p： x∈R，x2-2x+m=0的否定为 x∈R，x2-2x+m≠0.
（2）由p是真命题，得Δ=4-4m≥0，所以m≤1.
若p为真命题，q为假命题，
则解得m≤-2；
若p为假命题，q为真命题，
则
解得1
｛m|m≤-2或1
12.A ［对选项A，命题“ x>0，y>0，x+y>0”的否定是“ x>0，y>0，x+y≤0”，选项A正确；
对选项B，∵x2-5x-6=0，∴x=-1或x=6，故“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件，选项B不正确；
由存在量词命题的否定为全称量词命题知选项C不正确；
对选项D，命题“存在x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，选项D不正确.］
13.B ［因为命题p： x>0，x+a-1=0为假命题，
所以命题p的否定： x>0，x+a-1≠0是真命题，即x≠1-a，
所以1-a≤0，即a≥1.
所以a的取值范围为a≥1.］
14.A ［“ x∈M，|x|>6”为真命题，则M ｛x|x>6或x<-6｝，
“ x∈M，使x<5”为假命题，
∴“ x∈M，x≥5”为真命题，
M ｛x|x≥5｝，∴M ｛x|x>6｝.］
15.是
解析 两位同学题中m的取值范围是一致的，
∵“ x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是“ x∈R，x2+2x+m>0”，
而“ x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，
则其否定“ x∈R，x2+2x+m>0”是真命题，
∴两位同学题中m的取值范围是一致的.
16.解 （1）若命题p为真命题，
则A∩B≠ ，
所以2a≥6，所以a≥3，
所以当命题p为假命题时，a的取值范围为｛a|a<3｝.
（2）当命题q为假命题时，
即“ x∈R，x2+2x-a≤0”为真命题，
所以Δ=4+4a≥0，解得a≥-1，
所以a的取值范围为｛a|a≥-1｝，
所以当命题p，q均为假命题时，a的取值范围为｛a|a<3｝∩｛a|a≥-1｝=｛a|-1≤a<3｝，
所以当命题p和命题q至少有一个为真命题时，a的取值范围为｛a|a<-1或a≥3｝.
