1.2.3 全称量词和存在量词
第1课时 含有量词的命题
[学习目标] 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并会判断它们的真假.
一、全称量词命题与存在量词命题的判断
问题1 下列语句是命题吗 比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
(1)x>3;
(2)2x+1是整数;
(3)对所有的x∈R,x>3;
(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数.
问题2 下列语句是命题吗 比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
(1)2x+1=3;
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,使x能被2和3整除.
知识梳理
1.全称量词与全称量词命题
全称量词 “任意”“所有”“每一个”等
符号表示
全称量词命题 含有全称量词的命题
形式 “对M的 一个元素x,有p(x)成立”,用符号简单地表示为“ ”
2.存在量词与存在量词命题
存在量词 “存在某个”“至少有一个”等
符号表示
存在量词命题 含有存在量词的命题
形式 “存在M的某个元素x,使p(x)成立”,用符号简单地表示为“ ”
例1 判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有的速度方向不定;
(3)对任意直角三角形的两个锐角∠A,∠B,都有∠A+∠B=90°.
反思感悟 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
跟踪训练1 判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题,并用符号“ ”或“ ”表示下列命题:
(1)自然数的平方大于或等于零;
(2)有的一次函数图象经过原点;
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
二、全称量词命题与存在量词命题真假的判断
例2 判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数;
(2)任意矩形的对角线相等;
(3)存在x∈R,使x2+2x+3=0.
反思感悟 (1)要判定一个存在量词命题为真,只要在给定的集合内找到一个元素x,使p(x)成立即可,否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真,必须对给定集合内的每一个元素x,p(x)都成立,但要判定一个全称量词命题为假时,只要在给定的集合内找到一个x,使p(x)不成立即可.
跟踪训练2 判断下列命题的真假:
(1)有一些二次函数的图象过原点;
(2) x∈R,2x2+x+1<0;
(3) x∈R,x2>0.
三、依据含量词的命题的真假求参数的取值范围
例3 已知集合A=[-2,5],B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠ ,若命题p: x∈B,x∈A是真命题,求m的取值范围.
延伸探究
1.把本例中的命题p改为“ x∈A,x∈B”,求m的取值范围.
2.把本例中的命题p改为“ x∈A,x∈B”,是否存在实数m,使命题p是真命题 若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.
反思感悟 含量词的命题的真假求参数取值范围
把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
跟踪训练3 若命题“ x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,求实数a的取值范围.
1.知识清单:
(1)全称量词命题与存在量词命题的概念及判断.
(2)含量词的命题的真假判断.
(3)依据含量词的命题的真假求参数的取值范围.
2.方法归纳:定义法、转化法.
3.常见误区:有些命题省略了量词,全称量词命题强调“整体、全部”,存在量词命题强调“个别、部分”.
1.(多选)下列命题中是全称量词命题的是( )
A.任意一个自然数都是正整数
B.有的菱形是正方形
C.梯形有两边平行
D. x∈R,x2+1=0
2.下列命题中是存在量词命题的是( )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.任意一个负数都比零小
C.每一个正方形都是矩形
D.一定存在没有最大值的二次函数
3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a,b,若a-b≤0,则a≤b
D.存在一个实数x,使等式x2-2x+1=0成立
4.命题“存在正实数x,使得2x大于3x”,用符号语言可表示为 ,该命题为 命题.(填“真”或“假”)
答案精析
问题1 语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.
问题2 容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题.
知识梳理
1. 任 x∈M，p(x)
2. x∈M，p(x)
例1 解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，含有全称量词“所有”，故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.
(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
跟踪训练1 解 (1)全称量词命题.表示为 n∈N，n2≥0.
(2)存在量词命题.表示为 一次函数，它的图象经过原点.
(3)全称量词命题.表示为 二次函数，它的图象的开口都向上.
例2 解 (1)2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)是真命题.
(3)由于对任意x∈R，x2+2x+3=(x+1)2+2≥2恒成立，所以使x2+2x+3=0的实数x不存在，
所以存在量词命题“存在x∈R，使x2+2x+3=0”为假命题.
跟踪训练2 解 (1)该命题中含有存在量词“有一些”，是存在量词命题.如二次函数y=x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
∵2x2+x+1=2+≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2+x+1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
当x=0时，x2=0，故该命题是假命题.
例3 解 由于命题p： x∈B，x∈A是真命题，
所以B A，又B≠ ，
所以
解得2≤m≤3.
即m的取值范围为[2，3].
延伸探究
1.解 由于命题p： x∈A，x∈B是真命题，
则A∩B≠ ，
因为B≠ ，所以m≥2.
所以
或
解得2≤m≤4.
2.解 由于命题p： x∈A，x∈B是真命题，
所以A B，B≠ ，
所以
解得m∈ ，
所以不存在实数m，使命题p是真命题.
跟踪训练3 解 ∵命题“ x∈R，x2-4x+a=0”为真命题，
∴方程x2-4x+a=0存在实数根，
则Δ=(-4)2-4a≥0，解得a≤4.
即实数a的取值范围为(-∞，4].
随堂演练
1.AC 2.D 3.C
4. x∈R+，2x>3x 假(共57张PPT)
第1章
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含有量词的命题
第1课时
1.理解全称量词、全称量词命题的定义.
2.理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并会判断它们的真假.
学习目标
同学们,生活中,我们经常听到“全体起立,所有人到操场集合,”也有“南使孤帆远,东风任意吹”这种体现出任意的句子的诗情画意;我们还经常听到“有的同学考上了清华大学,有的同学没有交作业,”还有“我该如何存在”这种拷问心灵的歌词.而这里出现了一些在我们数学中非常重要的量词,“全体,所有的,任意的,有的,存在”等,今天我们就对含有这些量词的命题展开讨论.
导 语
一、全称量词命题与存在量词命题的判断
二、全称量词命题与存在量词命题真假的判断
课时对点练
三、依据含量词的命题的真假求参数的取值范围
随堂演练
内容索引
全称量词命题与存在量词命题的判断
一
下列语句是命题吗 比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
(1)x>3;
(2)2x＋1是整数;
(3)对所有的x∈R,x>3;
(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数.
问题1
提示 语句(1)(2)中含有变量x,由于不知道变量x代表什么数,无法判断它们的真假,所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定,从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句,因此语句(3)(4)是命题.
下列语句是命题吗 比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
(1)2x＋1＝3;
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x∈R,使2x＋1＝3;
(4)至少有一个x∈Z,使x能被2和3整除.
问题2
提示 容易判断,(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句,因此(3)(4)是命题.
全称量词 “任意”“所有”“每一个”等
符号表示 ___
全称量词命题 含有全称量词的命题
形式 “对M的____一个元素x,有p(x)成立”,用符号简单地表示为“___________”
1.全称量词与全称量词命题
任
x∈M,p(x)
2.存在量词与存在量词命题
存在量词 “存在某个”“至少有一个”等
符号表示 ____
存在量词命题 含有存在量词的命题
形式 “存在M的某个元素x,使p(x)成立”,用符号简单地表示为“___________”
x∈M,p(x)
(1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题,全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定;存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题.
(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来,例如:命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”;有些命题可能没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
注 意 点
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判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°;
例 1
可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.
(2)有的速度方向不定;
含有存在量词“有的”,故是存在量词命题.
(3)对任意直角三角形的两个锐角∠A,∠B,都有∠A＋∠B＝90°.
含有全称量词“任意”,故是全称量词命题.
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
反
思
感
悟
判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题,并用符号“ ”或“ ”表示下列命题:
(1)自然数的平方大于或等于零;
跟踪训练 1
全称量词命题.表示为 n∈N,n2≥0.
(2)有的一次函数图象经过原点;
存在量词命题.表示为 一次函数,它的图象经过原点.
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
全称量词命题.表示为 二次函数,它的图象的开口都向上.
二
全称量词命题与存在量词命题真假的判断
判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数;
例 2
2是素数,但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)任意矩形的对角线相等;
是真命题.
(3)存在x∈R,使x2＋2x＋3＝0.
由于对任意x∈R,x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2恒成立,所以使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在,
所以存在量词命题“存在x∈R,使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
反
思
感
悟
(1)要判定一个存在量词命题为真,只要在给定的集合内找到一个元素x,使p(x)成立即可,否则命题为假.
(2)要判定一个全称量词命题为真,必须对给定集合内的每一个元素x,p(x)都成立,但要判定一个全称量词命题为假时,只要在给定的集合内找到一个x,使p(x)不成立即可.
判断下列命题的真假:
(1)有一些二次函数的图象过原点;
跟踪训练 2
该命题中含有存在量词“有一些”,是存在量词命题.如二次函数y＝x2,其图象过原点,故该命题是真命题.
(2) x∈R,2x2＋x＋1<0;
该命题是存在量词命题.
∵2x2＋x＋1＝2>0,
∴不存在x∈R,使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3) x∈R,x2>0.
该命题是全称量词命题.
当x＝0时,x2＝0,故该命题是假命题.
依据含量词的命题的真假求参数的取值范围
三
已知集合A＝[-2,5],B＝{x|m＋1≤x≤2m-1},且B≠ ,若命题p: x∈B,x∈A是真命题,求m的取值范围.
例 3
由于命题p: x∈B,x∈A是真命题,
所以B A,又B≠ ,
所以
解得2≤m≤3.
即m的取值范围为[2,3].
1.把本例中的命题p改为“ x∈A,x∈B”,求m的取值范围.
由于命题p: x∈A,x∈B是真命题,
则A∩B≠ ,
因为B≠ ,所以m≥2.
延伸探究
所以
或
解得2≤m≤4.
2.把本例中的命题p改为“ x∈A,x∈B”,是否存在实数m,使命题p是真命题 若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.
由于命题p: x∈A,x∈B是真命题,
所以A B,B≠ ,
所以
解得m∈ ,
所以不存在实数m,使命题p是真命题.
反
思
感
悟
把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
含量词的命题的真假求参数取值范围
若命题“ x∈R,x2-4x＋a＝0”为真命题,求实数a的取值范围.
跟踪训练 3
∵命题“ x∈R,x2-4x＋a＝0”为真命题,
∴方程x2-4x＋a＝0存在实数根,
则Δ＝(-4)2-4a≥0,解得a≤4.
即实数a的取值范围为(-∞,4].
1.知识清单:
(1)全称量词命题与存在量词命题的概念及判断.
(2)含量词的命题的真假判断.
(3)依据含量词的命题的真假求参数的取值范围.
2.方法归纳:定义法、转化法.
3.常见误区:有些命题省略了量词,全称量词命题强调“整体、全部”,存在量词命题强调“个别、部分”.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列命题中是全称量词命题的是
A.任意一个自然数都是正整数
B.有的菱形是正方形
C.梯形有两边平行
D. x∈R,x2＋1＝0
√
选项A中的命题含有全称量词“任意”,是全称量词命题,
选项C中,“梯形有两边平行”是全称量词命题.
√
2.下列命题中是存在量词命题的是
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.任意一个负数都比零小
C.每一个正方形都是矩形
D.一定存在没有最大值的二次函数
1
2
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√
3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a,b,若a-b≤0,则a≤b
D.存在一个实数x,使等式x2-2x＋1＝0成立
1
2
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4
√
B,D是存在量词命题,故应排除;
对于A,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下,也应排除;
易知C符合条件.
4.命题“存在正实数x,使得2x大于3x”,用符号语言可表示为 ,该命题为 命题.(填“真”或“假”)
1
2
3
4
x∈R＋,2x>3x
假
课时对点练
五
1.下列命题中不是全称量词命题的是
A. x∈R,x2>0
B. x∈R,x2≤0
C.平行四边形的对边平行
D.矩形的任一组对边相等
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基础巩固
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A中含有全称量词“ ”,为全称量词命题;
B中含有存在量词“ ”,为存在量词命题;
C中省略了全称量词“所有”,为全称量词命题;
D中省略了全称量词“所有”,为全称量词命题.
2.将“x2＋y2≥2xy对任意实数x,y恒成立”改写成符号形式为
A. x,y∈R,x2＋y2≥2xy
B. x,y∈R,x2＋y2≥2xy
C. x>0,y>0,x2＋y2≥2xy
D. x<0,y<0,x2＋y2≥2xy
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√
由全称量词命题的形式知选A.
3.下列命题中的假命题是
A. x∈R,|x|＝0 B. x∈R,2x-10＝1
C. x∈R,x3>0 D. x∈R,x2＋1>0
√
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当x＝0时,x3＝0,故选项C为假命题.
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对A,是全称量词命题,但不是真命题,故A不正确;
对B,是全称量词命题,但不是真命题,故B不正确;
对C,是全称量词命题,也是真命题,故C正确;
对D,是真命题,但不是全称量词命题,故D不正确.
4.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是
A. x∈R,2x＋1>0 B.若2x为偶数,则x∈N
C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数
√
5.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
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A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题,是假命题;
B中当x＝0时,x2＝0,所以B既是存在量词命题又是真命题;
C＋(-)＝0,所以C是假命题;
D中对于任一个负数x,<0,所以D是假命题.
6.(多选)已知命题p: x∈R,x2＋2x＋2-a＝0为真命题,则实数a的取值可以是
A.1 B.0
C.3 D.-3
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√
√
因为p为真命题,所以方程x2＋2x＋2-a＝0有实数根,即Δ＝4-4(2-a)≥0,解得a≥1.
结合选项,实数a的取值可以是1,3.
7.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1-9x)2>0”用“ ”写成存在量词命题为 .
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x<0,(1＋x)(1-9x)2>0
8.已知命题p: x∈{x|1≤x≤3},x-a≥0,若命题p是真命题,则实数a的取值范围是 .
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由p为真命题,知a≤x恒成立.
又1≤x≤3,因此a≤1.
{a|a≤1}
9.判断下列命题哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假性.
(1)对所有的正实数t,为正且
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为全称量词命题,且为假命题,如取t＝1,
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为存在量词命题,且为真命题,
因为判别式Δ＝b2-4ac＝25>0,
所以存在实数x,使得x2-3x-4＝0.
(3)存在实数对(x,y),使得3x-4y-5>0;
为存在量词命题,且为真命题,如取实数对(2,0),
则3x-4y-5>0成立.
(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
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为全称量词命题,且为真命题.
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10.已知命题“ -3≤x≤2,3a＋x-2＝0”为真命题,求实数a的取值范围.
由3a＋x-2＝0,得3a-2＝-x,
∵-3≤x≤2,∴-2≤-x≤3,
∴-2≤3a-2≤3,即0≤a≤,
故实数a.
11.下列命题中形式不同于其他三个的是
A. x∈Z,x2-9
C.每一个正数的倒数都大于0
D. x<2,x-3<0
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√
综合运用
A,C,D均为全称量词命题,B为存在量词命题.
12.(多选)下列命题中为真命题的是
A. x∈R,x≤0
B.至少有一个整数,它既不是合数也不是质数
C. x∈{x|x是无理数},x＋5是无理数
D.任何实数都有算术平方根
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A项, x∈R,x≤0,故为真命题;
B项,至少有一个整数,它既不是合数也不是质数,故为真命题,例如数1满足条件;
C项, x∈{x|x是无理数},x＋5是无理数,故为真命题,例如x＝π;
D项,负数没有算术平方根,为假命题.
13.若命题“一次函数y＝kx＋2(x∈R)的图象恒过第三象限”为真命题,则实数k的取值范围为 .
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一次函数y＝kx＋2的图象过点(0,2),若恒过第三象限,则k>0.
{k|k>0}
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14.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b＝ab”是真命题的一组
有序数对(a,b)为 .
(答案不唯一)
存在两个不相等的正数a,b,如a＝,b＝,使得a-b＝ab是真命题.
15.已知A＝[1,2],命题“ x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分而不必要条件是
A.a≥4 B.a≤4
C.a≥5 D.a≤5
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拓广探究
√
当该命题是真命题时,
只需a≥(x2)max,x∈A＝[1,2].
又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4,
所以a≥4.
因为a≥4 a≥5,a≥5 a≥4.
所以命题“ x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分而不必要条件是a≥5.
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16.若 x∈R,函数y＝x2＋mx-1-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围.
因为函数y＝x2＋mx-1-a的图象和x轴恒有公共点,所以对于方程x2＋mx-1-a＝0,Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立,
即m2＋4a＋4≥0恒成立.
设y1＝m2＋4a＋4,则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方或图象顶点在x轴上,其充要条件是对于关于m的方程m2＋4a＋4＝0,Δ1＝02-4(4a＋4)≤0,可得a≥-1.
综上所述,实数a的取值范围是[-1,＋∞).第2课时 含量词命题的否定
[学习目标] 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
一、全称量词命题的否定
问题1 写出下列命题的否定:
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3) x∈R,x+|x|≥0.
它们与原命题在形式上有什么变化
知识梳理
1.一般地,命题“ x∈I,p(x)”的否定是“ ”.也就是说, 命题的否定是存在量词命题.
2.常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个
小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
例1 写出下列全称量词命题的否定:
(1)所有能被2整除的整数都是偶数;
(2)每一个三角形的三个顶点都在同一个圆上;
(3)任何实数x都是方程5x-12=0的根.
反思感悟 全称量词命题否定的关注点
(1)全称量词命题: x∈I,p(x),它的否定: x∈I, p(x).
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题,对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练1 写出下列全称量词命题的否定:
(1) n∈Z,n∈Q;
(2)任意奇数的平方数还是奇数;
(3)每个平行四边形都是中心对称图形.
二、存在量词命题的否定
问题2 写出下列命题的否定:
(1)存在一个实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) x∈R,x2-2x+3=0.
它们与原命题在形式上有什么变化
知识梳理
一般地,命题“ x∈I,p(x)”的否定是“ ”.也就是说,存在量词命题的否定是 命题.
例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)某些梯形的对角线互相平分;
(2)存在k∈R,函数y=kx+b随x值的增大而减小;
(3) x,y∈Z,使得 x+y=3.
反思感悟 存在量词命题否定的关注点
(1)存在量词命题: x∈I,p(x),它的否定: x∈I, p(x).
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题,对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定.
跟踪训练2 写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有的素数是偶数;
(2) a,b∈R,a2+b2≤0.
三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用
例3 命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围.
延伸探究 若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“ x∈M,a>y(或a
1.知识清单:
(1)全称量词命题、存在量词命题的否定.
(2)命题真假的判断.
(3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:否定不唯一,命题与其否定的真假性相反.
1.命题“ x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )
A. x∈R,|x|+x2<0
B. x∈R,|x|+x2≤0
C. x∈R,|x|+x2<0
D. x∈R,|x|+x2≥0
2.命题“ x>0,2x2=5x-1”的否定是( )
A. x>0,2x2≠5x-1
B. x≤0,2x2=5x-1
C. x>0,2x2≠5x-1
D. x≤0,2x2=5x-1
3.已知命题p:实数的平方是非负数,则下列结论正确的是( )
A.命题綈p是真命题
B.命题p是存在量词命题
C.命题p是全称量词命题
D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
4.若命题“ x∈R,x2-4x+a≠0”为假命题,则实数a的取值范围是 .
答案精析
问题1 上面三个命题都是全称量词命题，即具有“ x∈M，p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；
命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x+|x|≥0”，也就是说， x∈R，x+|x|<0.
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
知识梳理
1. x∈I，綈p(x) 全称量词
例1 解 (1)该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数.
(2)该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上.
(3)该命题的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根.
跟踪训练1 解 (1)该命题的否定： n∈Z，n Q.
(2)该命题的否定：存在一个奇数的平方数不是奇数.
(3)该命题的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形.
问题2 这三个命题都是存在量词命题，即具有“ x∈M，p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2-2x+3=0”，也就是说， x∈R，x2-2x+3≠0.
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
知识梳理
x∈I，綈p(x) 全称量词
例2 解 (1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分.命题的否定为真命题.
(2)该命题的否定：对任意k∈R，函数y=kx+b不随x值的增大而减小.命题的否定为假命题.
(3)该命题的否定： x，y∈Z，x+y≠3.
当x=0，y=3时，x+y=3，因此命题的否定为假命题.
跟踪训练2 解 (1)命题的否定：所有的素数都不是偶数.由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题.
(2)命题的否定： a，b∈R，a2+b2>0.
∵当a=b=0时，a2+b2=0，
∴命题的否定为假命题.
例3 解 命题“存在x>1，
使得2x+a<3”是假命题，
所以此命题的否定“任意x>1，
使得2x+a≥3”是真命题，
因为对任意x>1，都有2x+a>2+a，
所以2+a≥3，所以a≥1，
即实数a的取值范围为[1，+∞).
延伸探究 解 由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题，
故有>1，所以a<1，即实数a的取值范围为(-∞，1).
跟踪训练3 解 因为綈p是假命题，所以p是真命题，
又 x∈{x|-3≤x≤2}，
都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}，
所以{x|-3≤x≤2} {x|a-4≤x≤a+5}，
则
解得-3≤a≤1，
即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}.
随堂演练
1.C 2.A 3.C 4.{a|a≤4}(共59张PPT)
第1章
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含量词命题的否定
第2课时
1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.
2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
学习目标
一般地,对一个命题进行否定,就可以得到一个新的命题,这一新命题称为原命题的否定.若一个命题是真(假)命题,它的否定就是假(真)命题.
导 语
一、全称量词命题的否定
二、存在量词命题的否定
课时对点练
三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用
随堂演练
内容索引
全称量词命题的否定
一
写出下列命题的否定:
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3) x∈R,x＋|x|≥0.
它们与原命题在形式上有什么变化
问题1
提示 上面三个命题都是全称量词命题,即具有“ x∈M,p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”,也就是说,存在一个矩形不是平行四边形;
命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”,也就是说,存在一个素数不是奇数;
命题(3)的否定是“并非所有的x∈R,x＋|x|≥0”,也就是说, x∈R,x＋|x|<0.
从命题形式看,这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
1.一般地,命题“ x∈I,p(x)”的否定是“____________”.也就是说,_____
_____命题的否定是存在量词命题.
x∈I,綈p(x)
全称
量词
2.常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个
小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
总结起来八个字“改变量词,否定结论”,从集合的角度来看,x的范围没有变,只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假.
注 意 点
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写出下列全称量词命题的否定:
(1)所有能被2整除的整数都是偶数;
例 1
该命题的否定:存在一个能被2整除的整数不是偶数.
(2)每一个三角形的三个顶点都在同一个圆上;
该命题的否定:存在一个三角形,它的三个顶点不在同一个圆上.
(3)任何实数x都是方程5x-12＝0的根.
该命题的否定:存在实数x不是方程5x-12＝0的根.
(1)全称量词命题: x∈I,p(x),它的否定: x∈I,綈p(x).
(2)全称量词命题的否定是存在量词命题,对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
反
思
感
悟
全称量词命题否定的关注点
写出下列全称量词命题的否定:
(1) n∈Z,n∈Q;
跟踪训练 1
该命题的否定: n∈Z,n Q.
(2)任意奇数的平方数还是奇数;
该命题的否定:存在一个奇数的平方数不是奇数.
(3)每个平行四边形都是中心对称图形.
该命题的否定:存在一个平行四边形不是中心对称图形.
二
存在量词命题的否定
写出下列命题的否定:
(1)存在一个实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) x∈R,x2-2x＋3＝0.
它们与原命题在形式上有什么变化
问题2
提示 这三个命题都是存在量词命题,即具有“ x∈M,p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,所有实数的绝对值都不是正数;
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,也就是说,每一个平行四边形都不是菱形;
命题(3)的否定是“不存在x∈R,x2-2x＋3＝0”,也就是说, x∈R,x2-2x＋3≠0.
从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
一般地,命题“ x∈I,p(x)”的否定是“_____________”.也就是说,存在量词命题的否定是_________命题.
x∈I,綈p(x)
全称量词
总结起来八个字“改变量词,否定结论”,从集合的角度来看,x的范围没有变,只是对结论进行了否定.
注 意 点
<<<
写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)某些梯形的对角线互相平分;
例 2
该命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分.命题的否定为真命题.
(2)存在k∈R,函数y＝kx＋b随x值的增大而减小;
该命题的否定:对任意k∈R,函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小.命题的否定为假命题.
(3) x,y∈Z,使得x＋y＝3.
该命题的否定: x,y∈Z,x＋y≠3.
当x＝0,y＝3时,x＋y＝3,因此命题的否定为假命题.
反
思
感
悟
存在量词命题否定的关注点
(1)存在量词命题: x∈I,p(x),它的否定: x∈I,綈p(x).
(2)存在量词命题的否定是全称量词命题,对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定.
写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有的素数是偶数;
跟踪训练 2
命题的否定:所有的素数都不是偶数.由于2是素数也是偶数,因此命题的否定为假命题.
(2) a,b∈R,a2＋b2≤0.
命题的否定: a,b∈R,a2＋b2>0.
∵当a＝b＝0时,a2＋b2＝0,
∴命题的否定为假命题.
全称量词命题与存在量词命题的综合应用
三
命题“存在x>1,使得2x＋a<3”是假命题,求实数a的取值范围.
例 3
命题“存在x>1,使得2x＋a<3”是假命题,
所以此命题的否定“任意x>1,使得2x＋a≥3”是真命题,
因为对任意x>1,都有2x＋a>2＋a,
所以2＋a≥3,所以a≥1,
即实数a的取值范围为[1,＋∞).
若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
由题意知“存在x>1,使得x<”是真命题,
>1,所以a<1,即实数a的取值范围为(-∞,1).
延伸探究
反
思
感
悟
(1)对于全称量词命题“ x∈M,a>y(或a
已知命题p: x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a＋5},且綈p是假命题,求实数a的取值范围.
跟踪训练 3
因为綈p是假命题,所以p是真命题,
又 x∈{x|-3≤x≤2},
都有x∈{x|a-4≤x≤a＋5},
所以{x|-3≤x≤2} {x|a-4≤x≤a＋5},
则
解得-3≤a≤1,
即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}.
1.知识清单:
(1)全称量词命题、存在量词命题的否定.
(2)命题真假的判断.
(3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:否定不唯一,命题与其否定的真假性相反.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.命题“ x∈R,|x|＋x2≥0”的否定是
A. x∈R,|x|＋x2<0
B. x∈R,|x|＋x2≤0
C. x∈R,|x|＋x2<0
D. x∈R,|x|＋x2≥0
√
2.命题“ x>0,2x2＝5x-1”的否定是
A. x>0,2x2≠5x-1
B. x≤0,2x2＝5x-1
C. x>0,2x2≠5x-1
D. x≤0,2x2＝5x-1
1
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3
4
√
3.已知命题p:实数的平方是非负数,则下列结论正确的是
A.命题綈p是真命题
B.命题p是存在量词命题
C.命题p是全称量词命题
D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
1
2
3
4
√
命题p:实数的平方是非负数,是全称量词命题,且为真命题,故綈p是存在量词命题,且为假命题.
4.若命题“ x∈R,x2-4x＋a≠0”为假命题,则实数a的取值范围是 .
1
2
3
4
{a|a≤4}
∵命题“ x∈R,x2-4x＋a≠0”为假命题,
∴“ x∈R,x2-4x＋a＝0”是真命题,
∴方程x2-4x＋a＝0有实数根,
则Δ＝(-4)2-4a≥0,解得a≤4.
课时对点练
五
1.命题p:存在实数m,使方程x2＋mx＋1＝0有实数根,则p的否定是
A.存在实数m,使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B.不存在实数m,使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m,方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m,使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
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基础巩固
√
命题p是存在量词命题,其否定形式为全称量词命题,即对任意的实数m,方程x2＋mx＋1＝0无实数根.
2.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p: x∈A,2x∈B,则
A.綈p: x∈A,2x∈B B.綈p: x A,2x B
C.綈p: x A,2x∈B D.綈p: x∈A,2x B
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√
命题p: x∈A,2x∈B是一个全称量词命题,命题p的否定: x∈A,2x B.
3.设非空集合P,Q满足P∩Q＝P,则
A. x∈Q,有x∈P B. x Q,有x P
C. x Q,使得x∈P D. x∈P,使得x Q
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因为P∩Q＝P,所以P Q,所以A,C,D错误,B正确.
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“有的三角形为正三角形”为存在量词命题,其否定为全称量词命题:
“所有的三角形都不是正三角形”,故选项C错误.
4.(多选)对下列命题的否定说法正确的是
A.p:能被2整除的数是偶数;p的否定:存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p:有些矩形是正方形;p的否定:所有的矩形都不是正方形
C.p:有的三角形为正三角形;p的否定:所有的三角形不都是正三角形
D.p: n∈N,2n≤100;p的否定: n∈N,2n>100
√
√
√
5.(多选)关于命题p: x∈R,x2＋1≠0的叙述,正确的是
A.綈p: x∈R,x2＋1＝0
B.綈p: x∈R,x2＋1＝0
C.p是真命题,綈p是假命题
D.p是假命题, 綈p是真命题
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√
命题p: x∈R,x2＋1≠0的否定: x∈R,x2＋1＝0.所以p是真命题,綈p是假命题.
6.(多选)下列说法错误的是
A.命题“ x∈R,x2＋1>3x”的否定是“ x∈R,x2＋1<3x”
B.命题“ x,y∈R,x2＋y2≥0”的否定是“ x,y∈R,x2＋y2<0”
C.“a>2”是“a>5”的充分而不必要条件
D.对任意x∈R,总有x3>0是真命题
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16
对于A,命题“ x∈R,x2＋1>3x”的否定是“ x∈R,x2＋1≤3x”,故A错误;
对于B,命题“ x,y∈R,x2＋y2≥0”的否定是“ x,y∈R,x2＋y2<0”,故B正确;
对于C,“a>2”是“a>5”的必要而不充分条件,故C错误;
对于D,当x＝0时,x3＝0,故D错误.
7.命题p: x≥1,x2-x<0,则命题p的否定为 .
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x≥1,x2-x≥0
根据存在量词命题的否定为全称量词命题知,命题p: x≥1,x2-x<0的否定为 x≥1,x2-x≥0.
8.已知命题p:存在x∈R,x2＋2x＋a＝0.若命题綈p是假命题,则实数a的取值范围是 .
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∵命题綈p是假命题,∴p是真命题,
即存在x∈R,x2＋2x＋a＝0为真命题,
∴Δ＝4-4a≥0,∴a≤1.
{a|a≤1}
9.写出下列命题的否定:
(1)有些四边形有外接圆;
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所有的四边形都没有外接圆.
(2)末位数字为9的整数能被3整除;
存在一个末位数字为9的整数不能被3整除.
(3) x∈R,x2＋1<0.
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x∈R,x2＋1≥0.
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10.已知命题p: x∈R,使x2-2x＋m＝0,命题q:-2
命题p: x∈R,使x2-2x＋m＝0的否定为綈p: x∈R,x2-2x＋m≠0.
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(2)若命题p,q一真一假,求实数m的取值范围.
若p是真命题,得Δ＝4-4m≥0,所以m≤1.
若p为真命题,q为假命题,
m≤-2;
若p为假命题,q为真命题,
解得1
A.p1:每一个合数都是偶数
B.p2:两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C.p3:全等三角形的周长相等
D.p4:所有的无理数都是实数
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综合运用
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若判断某命题的否定的真假,只要判断出原命题的真假即可,它们的真假性始终相反.因为p1为全称量词命题,且是假命题,所以綈p1是真命题.命题p2,p3,p4均为真命题,即綈p2,綈p3,綈p4均为假命题.
12.(多选)下列命题的否定是假命题的是
A.等圆的面积相等,周长相等
B. x∈N,x2≥1
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.有些梯形的对角线相等
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√
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A的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等,假命题;
B的否定: x∈N,x2<1,真命题;
C的否定:有些等边三角形不相似,假命题;
D的否定:所有梯形的对角线都不相等.如等腰梯形的对角线相等,假命题.
13.若“ x∈M,|x|>6”为真命题,“ x∈M,x<5”为假命题,则集合M可以是
A.{x|x>6} B.{x|x<-6}
C.{x|x<6} D.{x|x>-6}
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“ x∈M,|x|>6”为真命题,M {x|x>6或x<-6},
“ x∈M,x<5”为假命题,∴“ x∈M,x≥5”为真命题,
M {x|x≥5},∴M {x|x>6}.
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14.已知命题p: x≥3,使得2x-1
因为命题p: x≥3,使得2x-1
15.命题“ a,b>0,a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为
A. a,b>0,a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B. a,b>0,a＋≥2和b＋≥2都不成立
C. a,b>0,a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D. a,b>0,a＋≥2和b＋≥2都不成立
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拓广探究
√
将“全称量词”改“存在量词”,“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.
“ a,b>0,a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为: a,b>0,a＋
≥2和b＋≥2都不成立.
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16.已知命题p: 1≤x≤2,使得x2＋2ax＋2-a>0为真命题,试求实数a的取值范围.
命题p的否定为:“ 1≤x≤2,
使得x2＋2ax＋2-a≤0”,
设y＝x2＋2ax＋2-a,1≤x≤2,
由题意,a≤-3,
因为命题p为真命题,所以p的否定为假命题,
所以a>-3,即a的取值范围是{a|a>-3}.作业7 含有量词的命题
(分值:100分)
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分
1.下列命题中不是全称量词命题的是 ( )
A. x∈R,x2>0
B. x∈R,x2≤0
C.平行四边形的对边平行
D.矩形的任一组对边相等
2.将“x2＋y2≥2xy对任意实数x,y恒成立”改写成符号形式为 ( )
A. x,y∈R,x2＋y2≥2xy
B. x,y∈R,x2＋y2≥2xy
C. x>0,y>0,x2＋y2≥2xy
D. x<0,y<0,x2＋y2≥2xy
3.下列命题中的假命题是 ( )
A. x∈R,|x|＝0 B. x∈R,2x-10＝1
C. x∈R,x3>0 D. x∈R,x2＋1>0
4.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是 ( )
A. x∈R,2x＋1>0
B.若2x为偶数,则x∈N
C.菱形的四条边都相等
D.π是无理数
5.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 ( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
6.(多选)已知命题p: x∈R,x2＋2x＋2-a＝0为真命题,则实数a的取值可以是 ( )
A.1 B.0 C.3 D.-3
7.(5分)命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1-9x)2>0”用“ ”写成存在量词命题为 .
8.(5分)已知命题p: x∈{x|1≤x≤3},x-a≥0,若命题p是真命题,则实数a的取值范围是 .
9.(10分)判断下列命题哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假性.
(1)对所有的正实数t,为正且
(3)存在实数对(x,y),使得3x-4y-5>0;(3分)
(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(3分)
10.(11分)已知命题“ -3≤x≤2,3a＋x-2＝0”为真命题,求实数a的取值范围.
11.下列命题中形式不同于其他三个的是 ( )
A. x∈Z,x2-9
C.每一个正数的倒数都大于0
D. x<2,x-3<0
12.(多选)下列命题中为真命题的是 ( )
A. x∈R,x≤0
B.至少有一个整数,它既不是合数也不是质数
C. x∈{x|x是无理数},x＋5是无理数
D.任何实数都有算术平方根
13.(5分)若命题“一次函数y＝kx＋2(x∈R)的图象恒过第三象限”为真命题,则实数k的取值范围为 .
14.(5分)能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b＝ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为 .
15.已知A＝[1,2],命题“ x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分而不必要条件是 ( )
A.a≥4 B.a≤4
C.a≥5 D.a≤5
16.(12分)若 x∈R,函数y＝x2＋mx-1-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围.
答案精析
1.B 2.A 3.C 4.C 5.B
6.AC [因为p为真命题，所以方程x2+2x+2-a=0有实数根，
即Δ=4-4(2-a)≥0，解得a≥1.
结合选项，实数a的取值可以是1，3.]
7. x<0，(1+x)(1-9x)2>0
8.{a|a≤1}
9.解 (1)为全称量词命题，且为假命题，如取t=1，
则
因为判别式Δ=b2-4ac=25>0，
所以存在实数x，使得x2-3x-4=0.
(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2，0)，
则3x-4y-5>0成立.
(4)为全称量词命题，且为真命题.
10.解 由3a+x-2=0，得3a-2=-x，
∵-3≤x≤2，∴-2≤-x≤3，
∴-2≤3a-2≤3，即0≤a≤，
故实数a的取值范围是.
11.B 12.ABC 13.{k|k>0}
14.(答案不唯一)
解析 存在两个不相等的正数a，b，如a=，b=，使得a-b=ab是真命题.
15.C [当该命题是真命题时，
只需a≥(x2)max，x∈A=[1，2].
又y=x2在1≤x≤2上的最大值是4，
所以a≥4.
因为a≥4a≥5，a≥5 a≥4.
所以命题“ x∈A，x2-a≤0”是真命题的一个充分而不必要条件是a≥5.]
16.解 因为函数y=x2+mx-1-a的图象和x轴恒有公共点，所以对于方程x2+mx-1-a=0，
Δ=m2+4(1+a)≥0恒成立，
即m2+4a+4≥0恒成立.
设y1=m2+4a+4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方或图象顶点在x轴上，其充要条件是对于关于m的方程m2+4a+4=0，Δ1=02-4(4a+4)≤0，可得a≥-1.
综上所述，实数a的取值范围是[-1，+∞).作业8 含量词命题的否定
(分值:100分)
单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共24分
1.命题p:存在实数m,使方程x2＋mx＋1＝0有实数根,则p的否定是 ( )
A.存在实数m,使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B.不存在实数m,使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C.对任意的实数m,方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D.至多有一个实数m,使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
2.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p: x∈A,2x∈B,则 ( )
A.綈p: x∈A,2x∈B B.綈p: x A,2x B
C.綈p: x A,2x∈B D.綈p: x∈A,2x B
3.设非空集合P,Q满足P∩Q＝P,则 ( )
A. x∈Q,有x∈P B. x Q,有x P
C. x Q,使得x∈P D. x∈P,使得x Q
4.(多选)对下列命题的否定说法正确的是 ( )
A.p:能被2整除的数是偶数;p的否定:存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p:有些矩形是正方形;p的否定:所有的矩形都不是正方形
C.p:有的三角形为正三角形;p的否定:所有的三角形不都是正三角形
D.p: n∈N,2n≤100;p的否定: n∈N,2n>100
5.(多选)关于命题p: x∈R,x2＋1≠0的叙述,正确的是 ( )
A.綈p: x∈R,x2＋1＝0
B.綈p: x∈R,x2＋1＝0
C.p是真命题,綈p是假命题
D.p是假命题, 綈p是真命题
6.(多选)下列说法错误的是 ( )
A.命题“ x∈R,x2＋1>3x”的否定是“ x∈R,x2＋1<3x”
B.命题“ x,y∈R,x2＋y2≥0”的否定是“ x,y∈R,x2＋y2<0”
C.“a>2”是“a>5”的充分而不必要条件
D.对任意x∈R,总有x3>0是真命题
7.(5分)命题p: x≥1,x2-x<0,则命题p的否定为 .
8.(5分)已知命题p:存在x∈R,x2＋2x＋a＝0.若命题綈p是假命题,则实数a的取值范围是 .
9.(10分)写出下列命题的否定:
(1)有些四边形有外接圆;(3分)
(2)末位数字为9的整数能被3整除;(3分)
(3) x∈R,x2＋1<0.(4分)
10.(10分)已知命题p: x∈R,使x2-2x＋m＝0,命题q:-2
(2)若命题p,q一真一假,求实数m的取值范围.(6分)
11.下列命题的否定是真命题的为 ( )
A.p1:每一个合数都是偶数
B.p2:两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C.p3:全等三角形的周长相等
D.p4:所有的无理数都是实数
12.(多选)下列命题的否定是假命题的是 ( )
A.等圆的面积相等,周长相等
B. x∈N,x2≥1
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.有些梯形的对角线相等
13.若“ x∈M,|x|>6”为真命题,“ x∈M,x<5”为假命题,则集合M可以是 ( )
A.{x|x>6} B.{x|x<-6}
C.{x|x<6} D.{x|x>-6}
14.(5分)已知命题p: x≥3,使得2x-1
A. a,b>0,a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B. a,b>0,a＋≥2和b＋≥2都不成立
C. a,b>0,a＋<2和b＋<2至少有一个成立
D. a,b>0,a＋≥2和b＋≥2都不成立
16.(11分)已知命题p: 1≤x≤2,使得x2＋2ax＋2-a>0为真命题,试求实数a的取值范围.
答案精析
1.C 2.D 3.B 4.ABD 5.AC
6.ACD [对于A，命题“ x∈R，x2+1>3x”的否定是“ x∈R，x2+1≤3x”，故A错误；
对于B，命题“ x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2+y2<0”，故B正确；
对于C，“a>2”是“a>5”的必要而不充分条件，故C错误；对于D，当x=0时，x3=0，故D错误.]
7. x≥1，x2-x≥0 8.{a|a≤1}
9.解 (1)所有的四边形都没有外接圆.
(2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除.
(3) x∈R，x2+1≥0.
10.解 (1)命题p： x∈R，使x2-2x+m=0的否定为綈p： x∈R，
x2-2x+m≠0.
(2)若p是真命题，得Δ=4-4m≥0，所以m≤1.
若p为真命题，q为假命题，
则解得m≤-2；
若p为假命题，q为真命题，
则
解得1
14.5
解析 因为命题p： x≥3，使得2x-1
15.D [将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.
“ a，b>0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为： a，b>0，a+≥2和b+≥2都不成立.]
16.解 命题p的否定为：“ 1≤x≤2，
使得x2+2ax+2-a≤0”，
设y=x2+2ax+2-a，1≤x≤2，
由题意，有
解得a≤-3，
因为命题p为真命题，所以p的否定为假命题，
所以a>-3，即a的取值范围是{a|a>-3}.
