浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2024七下·杭州期中）甲型流感在我国多地流行，甲型流感病毒的直径大约是米，数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·杭州期中）在下列的计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·杭州期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·杭州期中）电子屏幕上显示的数字“9”形状如图所示，其中的同位角是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·杭州期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·杭州期中）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·杭州期中）关于二元一次方程，下列说法正确的是（ ）
A．对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应
B．只要任意给出一个x的值，就能确定y的值，所以此方程的解为任何实数
C．若需满足x、y都为正整数，则此方程恰有两个解
D．它可与二元一次方程组成一个二元一次方程组
8．（2024七下·杭州期中）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·杭州期中）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024七下·杭州期中）已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，；②的值与k无关；③若，则解为；④若，k为整数，则k的值为．以上正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2024七下·杭州期中）因式分解： .
12．（2024七下·杭州期中）一个多项式M与xy的积为﹣2x3y4z+xy，则M＝ ．
13．（2024七下·杭州期中）已知，则代数式的值为 .
14．（2024七下·杭州期中）已知，，用含的代数式表示，可得 ．
15．（2024七下·杭州期中）关于 x，y 的方程组的解为，则①a2＋ b2 ②关于 x，y 的方程组的解为 .
16．（2024七下·杭州期中）如图所示，已知，点E，F分别在直线上，点O在直线之间，．分别在和的平分线上取点M，N，连结，则 °， °．
三、全面答一答（本题有8个小题，共72分）
17．（2024七下·杭州期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·杭州期中）解下列方程组：
（1）；
（2）．
19．（2024七下·杭州期中）已知的结果中不含的一次项．
（1）求的值；
（2）化简：，并在（1）的条件下求值．
20．（2024七下·杭州期中）如图，在的方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，请按要求作图．
（1）在图1中找一个格点G，连接，使．
（2）在图2中找一个格点H，连接，使．
21．（2024七下·杭州期中）如图，已知．
（1）试着先判断与所在的直线平行？请说明理由．
（2）如果是的平分线，且，求的度数．
22．（2024七下·杭州期中）如图，点D在长方形的边上，且四边形、四边形均为正方形，延长交于点M，设，的面积记为，四边形的面积记为，长方形的面积记为．
（1）用a、b的代数式表示和；
（2）若，求的值；
（3）若，求的长．
23．（2024七下·杭州期中）请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三．
如何合理搭配消费券？
素材一 为促进消费，杭州市人民政府决定，发放“爱在西湖 你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张.
素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务.
任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了_____张C型的消费券，此时的实际消费最少为 _____元.
任务二 若小明一家用13张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅使用了A型和C型的消费券进行消费，消费金额减了390元，求出此时消费券的搭配方案.
24．（2024七下·杭州期中）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE//AB，连接AE，∠B=∠E=70°.
（1）请说明AE//BC的理由.
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ.
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，则∠Q= .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示的一般形式为，其中，为小数点向右移动位数的相反数．
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、正确，符合题意；B、原式=m4，不符合题意；
C、原式=8m3，不符合题意；
D、原式=m2+2m+1，不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方和完全平方公式的运算法则注意判断解题即可．
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式写成几个整式乘积的形式”逐项判断解题即可．
4．【答案】B
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：的同位角是，故B正确．
故答案为：B．
【分析】根据同位角的定义“两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角叫做同位角”解答即可．
5．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、能用平方差公式进行计算，故选项A不符合题意；
B、能用平方差公式进行计算，故选项B不符合题意；
C、能用平方差公式进行计算，故选项C不符合题意；
D、不能用平方差公式进行计算，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，这样的两个二项式相乘可以使用平方差公式，据此一 一判断得出答案.
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：中、若，则，所以A符合题意；
中、若，则，所以B不符合题意；
中、若，则，所以C不符合题意；
中、若，则，所以D不符合题意；
故选：．
【分析】本题主要考查平行线的判定，其中同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、，
，即：对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应，故本选项说法正确；
B、只要任意给出一个的值，就能确定的值，所以此方程的解有无穷多个，故本选项说法错误；
C、二元一次方程正整数解为，只有1个，故本选项说法错误；
D、它可与二元一次方程组成一个三元一次方程，故本选项说法错误．
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程的解的定义、正整数解得定义、二元一次方程组的定义、逐项判断解题．
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
9．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由翻折的性质得：，，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】由翻折的性质和长方形的性质可推理可得，，然后根据平行线的性质得到，，即可求出∠1的度数，进而求出∠CPM的值即可．
10．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；负整数指数幂；解二元一次方程组；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①当x与y互为相反数时，则，
将其代入二元一次方程组，
即，
解得，故①不正确；
②由题可知：，
可得：，
∴的值与k无关，故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∴，即，
可得：，
解得：，故③正确；
④∵，k为整数，
∴当时，，
解得，符合题意，
当时，，
解得，符合题意，
当时，，
解得，此时，故不符合题意，
∴k的值为，故④不正确，
综上，正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和解二元一次方程组进行计算解题．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：
【分析】直接提取公因式a即可分解.
12．【答案】﹣2x2y3z+1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵多项式M与xy的积为，
∴
故答案为：.
【分析】根据多项式除以单项式的计算法则即可求解.
13．【答案】36
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵2x=y-3，
∴2x-y=-3，
∴（2x-y）2-6（2x-y）+9=（-3）2-6×（-3）+9=9+18+9=36.
故答案为：36.
【分析】由已知条件可得2x-y=-3，然后代入计算即可.
14．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵x=3-t，y=2t-1，
∴y=2(3-x)-1=-2x+5.
故答案为：-2x+5.
【分析】由x=3-t可得t=3-x，代入y=2t-1中进行化简即可.
15．【答案】；；．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】①将代入方程组得：，
(1)+(2)得：，
∴；
②方程组整理得：，
仿照已知方程组得：，
解得：，
故答案为：；．
【分析】①把方程组的解代入方程求出a2和b2的值，然后整体代入解题；
②运用换元法解二元一次方程组即可．
16．【答案】260；40
【知识点】角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂，然后运算有理数的减法解题；
（2）先运算幂的乘方，然后运算同底数幂的乘除法解题．
18．【答案】（1）解：对于方程组，
将①代入②，得：2x+5x﹣4＝3，
解得：x＝1，
将x＝1代入①得：y＝1，
∴原方程组的解为：；
（2）解：对于方程组，
①÷2，得：s+2t＝9③，
②+③，得：4s＝8，
解得：s＝2，
将s＝2代入③得：t＝3.5，
∴原方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法将①代入②，求出x的值，然后将x的值代入①即可求出y的值，进而即可求解；
（2）利用加减消元法将①÷2得s+2t＝9③，再②+③求出s的值，再将s的值代入③即可求解.
19．【答案】（1）解：，
∵不含的一次项
，
∴
（2）解：=
=；
∴当时，原式
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多项式展开合并，再根据不含项的系数为0解题即可；
（2）先把整式展开合并，再代入a的值计算解题．
20．【答案】（1）解：如图，点G，线段，即为所求；
（2）解：如图，点H，线段即为所求．
【知识点】作图﹣平移；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据平移的性质把∠ABC平移到点E，使得∠GEF=∠ABC即可；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补过点F作解题．
21．【答案】（1）解：平行，理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
22．【答案】（1）解：点在长方形的边上，四边形和四边形为正方形，且，，
，，
，
（2）解：，，
，
，
，
（3）解：，，
，，
，
，
，
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据三角形和长方形的面积公式求出和即可；
（2）先表示，然后把代入求比值即可；
（3）由题可得，，然后利用完全平方公式的变形解题即可．
23．【答案】（任务一）4，621；
解：（任务二）设小明一家用了x张A型的消费券，y张B型的消费券，则用了张C型的消费券，
根据题意得：，
解得：，
∴（张）．
答：小明一家用了4张A型的消费券，6张B型的消费券，3张C型的消费券；
（任务三）设小明一家用了m张A型的消费券，n张C型的消费券，
由题意得：，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴或或或或或．
又∵在此次活动中，小明一家5人共领取了（张）A型的消费券，（张）C型的消费券，
∴或，
∴共有2种搭配方案，
方案1：用了10张A型的消费券，4张C型的消费券；
方案2：用了6张A型的消费券，5张C型的消费券
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（任务一）根据题意得：
（张），
∴此时的实际消费最少为
（元）．
故答案为：4，621；
【分析】（任务一）根据题意列算式计算解题；
（任务二）设小明一家用了x张A型的消费券，y张B型的消费券，则用了张C型的消费券，根据题意列关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务三）设小明一家用了m张A型的消费券，n张C型的消费券，列关于m、n的二元一次方程，根据m、n均为正整数，解答即可．
24．【答案】（1）证明：∵DE//AB，∴∠BAE+∠E=180°.
又∵∠B=∠E，
∴∠BAE+∠B=180°，
∴AB//DE；
(2)①过D点作DF//AE，
∵PQ//AE ，
∴DF//PQ，
∵∠E=70°，
∴∠EDF=70°.
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ=90°，
∴∠FDQ=90°-70°=20°，
∴∠Q=∠FDQ=20°；
②（）°
【知识点】平行公理的推论；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
浙江省杭州市十三中教育集团（总校）2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2024七下·杭州期中）甲型流感在我国多地流行，甲型流感病毒的直径大约是米，数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示的一般形式为，其中，为小数点向右移动位数的相反数．
2．（2024七下·杭州期中）在下列的计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、正确，符合题意；B、原式=m4，不符合题意；
C、原式=8m3，不符合题意；
D、原式=m2+2m+1，不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方和完全平方公式的运算法则注意判断解题即可．
3．（2024七下·杭州期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式写成几个整式乘积的形式”逐项判断解题即可．
4．（2024七下·杭州期中）电子屏幕上显示的数字“9”形状如图所示，其中的同位角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：的同位角是，故B正确．
故答案为：B．
【分析】根据同位角的定义“两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角叫做同位角”解答即可．
5．（2024七下·杭州期中）下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、能用平方差公式进行计算，故选项A不符合题意；
B、能用平方差公式进行计算，故选项B不符合题意；
C、能用平方差公式进行计算，故选项C不符合题意；
D、不能用平方差公式进行计算，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，这样的两个二项式相乘可以使用平方差公式，据此一 一判断得出答案.
6．（2024七下·杭州期中）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：中、若，则，所以A符合题意；
中、若，则，所以B不符合题意；
中、若，则，所以C不符合题意；
中、若，则，所以D不符合题意；
故选：．
【分析】本题主要考查平行线的判定，其中同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
7．（2024七下·杭州期中）关于二元一次方程，下列说法正确的是（ ）
A．对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应
B．只要任意给出一个x的值，就能确定y的值，所以此方程的解为任何实数
C．若需满足x、y都为正整数，则此方程恰有两个解
D．它可与二元一次方程组成一个二元一次方程组
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、，
，即：对于每一个确定的x的值，y都有唯一确定的值与它相对应，故本选项说法正确；
B、只要任意给出一个的值，就能确定的值，所以此方程的解有无穷多个，故本选项说法错误；
C、二元一次方程正整数解为，只有1个，故本选项说法错误；
D、它可与二元一次方程组成一个三元一次方程，故本选项说法错误．
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程的解的定义、正整数解得定义、二元一次方程组的定义、逐项判断解题．
8．（2024七下·杭州期中）《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
9．（2024七下·杭州期中）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由翻折的性质得：，，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】由翻折的性质和长方形的性质可推理可得，，然后根据平行线的性质得到，，即可求出∠1的度数，进而求出∠CPM的值即可．
10．（2024七下·杭州期中）已知关于x和y的二元一次方程组（k为实数），有下列说法：①x和y互为相反数时，；②的值与k无关；③若，则解为；④若，k为整数，则k的值为．以上正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；负整数指数幂；解二元一次方程组；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：①当x与y互为相反数时，则，
将其代入二元一次方程组，
即，
解得，故①不正确；
②由题可知：，
可得：，
∴的值与k无关，故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∴，即，
可得：，
解得：，故③正确；
④∵，k为整数，
∴当时，，
解得，符合题意，
当时，，
解得，符合题意，
当时，，
解得，此时，故不符合题意，
∴k的值为，故④不正确，
综上，正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和解二元一次方程组进行计算解题．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2024七下·杭州期中）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：
【分析】直接提取公因式a即可分解.
12．（2024七下·杭州期中）一个多项式M与xy的积为﹣2x3y4z+xy，则M＝ ．
【答案】﹣2x2y3z+1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵多项式M与xy的积为，
∴
故答案为：.
【分析】根据多项式除以单项式的计算法则即可求解.
13．（2024七下·杭州期中）已知，则代数式的值为 .
【答案】36
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵2x=y-3，
∴2x-y=-3，
∴（2x-y）2-6（2x-y）+9=（-3）2-6×（-3）+9=9+18+9=36.
故答案为：36.
【分析】由已知条件可得2x-y=-3，然后代入计算即可.
14．（2024七下·杭州期中）已知，，用含的代数式表示，可得 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵x=3-t，y=2t-1，
∴y=2(3-x)-1=-2x+5.
故答案为：-2x+5.
【分析】由x=3-t可得t=3-x，代入y=2t-1中进行化简即可.
15．（2024七下·杭州期中）关于 x，y 的方程组的解为，则①a2＋ b2 ②关于 x，y 的方程组的解为 .
【答案】；；．
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】①将代入方程组得：，
(1)+(2)得：，
∴；
②方程组整理得：，
仿照已知方程组得：，
解得：，
故答案为：；．
【分析】①把方程组的解代入方程求出a2和b2的值，然后整体代入解题；
②运用换元法解二元一次方程组即可．
16．（2024七下·杭州期中）如图所示，已知，点E，F分别在直线上，点O在直线之间，．分别在和的平分线上取点M，N，连结，则 °， °．
【答案】260；40
【知识点】角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
三、全面答一答（本题有8个小题，共72分）
17．（2024七下·杭州期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂，然后运算有理数的减法解题；
（2）先运算幂的乘方，然后运算同底数幂的乘除法解题．
18．（2024七下·杭州期中）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：对于方程组，
将①代入②，得：2x+5x﹣4＝3，
解得：x＝1，
将x＝1代入①得：y＝1，
∴原方程组的解为：；
（2）解：对于方程组，
①÷2，得：s+2t＝9③，
②+③，得：4s＝8，
解得：s＝2，
将s＝2代入③得：t＝3.5，
∴原方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法将①代入②，求出x的值，然后将x的值代入①即可求出y的值，进而即可求解；
（2）利用加减消元法将①÷2得s+2t＝9③，再②+③求出s的值，再将s的值代入③即可求解.
19．（2024七下·杭州期中）已知的结果中不含的一次项．
（1）求的值；
（2）化简：，并在（1）的条件下求值．
【答案】（1）解：，
∵不含的一次项
，
∴
（2）解：=
=；
∴当时，原式
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据多项式乘以多项式展开合并，再根据不含项的系数为0解题即可；
（2）先把整式展开合并，再代入a的值计算解题．
20．（2024七下·杭州期中）如图，在的方格纸中，每个小方格的顶点称为格点，请按要求作图．
（1）在图1中找一个格点G，连接，使．
（2）在图2中找一个格点H，连接，使．
【答案】（1）解：如图，点G，线段，即为所求；
（2）解：如图，点H，线段即为所求．
【知识点】作图﹣平移；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据平移的性质把∠ABC平移到点E，使得∠GEF=∠ABC即可；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补过点F作解题．
21．（2024七下·杭州期中）如图，已知．
（1）试着先判断与所在的直线平行？请说明理由．
（2）如果是的平分线，且，求的度数．
【答案】（1）解：平行，理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴
【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
22．（2024七下·杭州期中）如图，点D在长方形的边上，且四边形、四边形均为正方形，延长交于点M，设，的面积记为，四边形的面积记为，长方形的面积记为．
（1）用a、b的代数式表示和；
（2）若，求的值；
（3）若，求的长．
【答案】（1）解：点在长方形的边上，四边形和四边形为正方形，且，，
，，
，
（2）解：，，
，
，
，
（3）解：，，
，，
，
，
，
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据三角形和长方形的面积公式求出和即可；
（2）先表示，然后把代入求比值即可；
（3）由题可得，，然后利用完全平方公式的变形解题即可．
23．（2024七下·杭州期中）请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三．
如何合理搭配消费券？
素材一 为促进消费，杭州市人民政府决定，发放“爱在西湖 你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张.
素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务.
任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了_____张C型的消费券，此时的实际消费最少为 _____元.
任务二 若小明一家用13张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅使用了A型和C型的消费券进行消费，消费金额减了390元，求出此时消费券的搭配方案.
【答案】（任务一）4，621；
解：（任务二）设小明一家用了x张A型的消费券，y张B型的消费券，则用了张C型的消费券，
根据题意得：，
解得：，
∴（张）．
答：小明一家用了4张A型的消费券，6张B型的消费券，3张C型的消费券；
（任务三）设小明一家用了m张A型的消费券，n张C型的消费券，
由题意得：，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴或或或或或．
又∵在此次活动中，小明一家5人共领取了（张）A型的消费券，（张）C型的消费券，
∴或，
∴共有2种搭配方案，
方案1：用了10张A型的消费券，4张C型的消费券；
方案2：用了6张A型的消费券，5张C型的消费券
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（任务一）根据题意得：
（张），
∴此时的实际消费最少为
（元）．
故答案为：4，621；
【分析】（任务一）根据题意列算式计算解题；
（任务二）设小明一家用了x张A型的消费券，y张B型的消费券，则用了张C型的消费券，根据题意列关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务三）设小明一家用了m张A型的消费券，n张C型的消费券，列关于m、n的二元一次方程，根据m、n均为正整数，解答即可．
24．（2024七下·杭州期中）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE//AB，连接AE，∠B=∠E=70°.
（1）请说明AE//BC的理由.
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ.
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，则∠Q= .
【答案】（1）证明：∵DE//AB，∴∠BAE+∠E=180°.
又∵∠B=∠E，
∴∠BAE+∠B=180°，
∴AB//DE；
(2)①过D点作DF//AE，
∵PQ//AE ，
∴DF//PQ，
∵∠E=70°，
∴∠EDF=70°.
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ=90°，
∴∠FDQ=90°-70°=20°，
∴∠Q=∠FDQ=20°；
②（）°
【知识点】平行公理的推论；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
