2025年九年级数学中考二轮专题复习二次函数中的角度问题
1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标及直线BC的函数表达式．
（2）M为直线BC下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作MD⊥BC于点D，当线段MD最长时，求点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接BM．在y轴上是否存在一点P，使∠PBA＝2∠MBA？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知点B（5，0），点C（4，3）都在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，其中点A是抛物线与x轴的交点，点D是抛物线的顶点，连接AD，CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求∠ACD的度数；
（3）点P是抛物线在x轴上方的一个动点，当∠PCA＝∠CAD时，求P点坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，并且OC＝2OA，连接BC．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使得△POC的面积等于△PAB面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，在y轴上是否存在点P，使得∠PAB＝2∠DAB？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D（3，4）在抛物线上，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，若BC上方抛物线上有一点P，且P到直线BC的距离为，求点P的坐标；
（3）如图，连接AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图1，直线分别与y轴，x轴交于A，B两点，与二次函数y＝ax2+bx+18在第二象限交于点C．已知A为BC中点，抛物线对称轴为直线x＝1，点D为点A关于x轴的对称点，连接BD．
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图2，点P是抛物线上的一动点且位于第一象限，连接AP和BP，E为y轴上的一个动点，连接CE和PE，当时，求点P的坐标及|PE﹣CE|的最大值；
（3）如图3，点N直线AB上一动点，连接DN，若2∠AND+∠ABO＝90°，请直接写出所有符合条件的N点坐标．
6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4交x轴于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，P为抛物线上的一个动点，且点P的横坐标为．
（1）直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若m＞3，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P、A两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为m+1时，求m的值；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
7．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得∠QCB＝2∠ABC，求点Q的坐标．
8．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设△CPB的面积为S，求S的最大值；
（3）当∠MPA＝2∠PAC时，求直线AP的函数表达式及点P的坐标．
9．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于A（﹣1，0），B（4，0），C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）若P点在第一象限的抛物线上，连接PC、PB，当△PCB的面积最大时，求点P的坐标．
（3）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且通过点B（3，﹣3）．
（1）求顶点A的坐标；
（2）点C为直线AB上方抛物线上一动点，求△ABC面积的最大值；
（3）在抛物线上存在一点P，使得∠PAB＝45°，求点P坐标．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求四边形DMBP面积的最大值；
（3）当∠MPA＝2∠PAC时，求直线AP的函数表达式及点P的坐标．
13．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0）和B两点，与y轴交于点C．
（1）求C点的坐标；
（2）连接BC，D为抛物线上一点，当∠DBC＝∠BCO时，求点D的坐标；
（3）如图2所示，点为第二象限内一动点，经过H的两条直线l1与l2分别与抛物线均有唯一的公共点E和F（点E在点F的左侧），直线EF与y轴交于点G，M为线段EF的中点，连接HG、HM，当∠MHG＝30°时，求h的值．
14．如图，已知抛物线经过点A（﹣6，0），B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为该抛物线上一动点．
①当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求EF的最大值；
②若∠PCB＝3∠OCB，求点P的横坐标．
15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m．
①当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求PE+PF的最大值；
②若∠PCB＝3∠OCB，求m的值．
参考答案
1．【解答】解：（1）当y＝0时，，
解得x1＝1，x2＝5．
∵点A在点B的左侧，
∴A，B两点的坐标分别为A（1，0），B（5，0）．
当x＝0时，y＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，
把B（5，0），C（0，2）代入y＝kx+b，得，
解得，
∴直线BC的函数表达式为．
（2）如图，过点M作ME⊥x轴交BC于点E，
∵点B的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，2），
∴OB＝5，OC＝2．
在Rt△OBC中，根据勾股定理可得．
∵M为直线BC下方抛物线上一点，其横坐标为m，ME⊥x轴交BC于点E，
∴点M的坐标为，点E的坐标为，
∴．
∵ME∥y轴，
∴∠DEM＝∠BCO，
∴sin∠BCO＝sin∠DEM．
在Rt△DEM中，∠MDE＝90°，，
∴，
∴当时，线段MD最长，
∴点M的坐标为
（3）存在，点P的坐标为或．
如图，作MB的垂直平分线交x轴于点F，连接MF，则MF＝BF，过点M作MN⊥x轴于点N，
∵MF＝BF，
∴∠BMF＝∠MBF，
∵∠MFA＝∠BMF+∠MBF，
∴∠MFA＝2∠MBA，
设BF＝n，
∵点M的坐标为，A，B两点的坐标分别为（1，0），（5，0），
∴，，
∴，MF＝BF＝n，
∵NF2+MN2＝MF2，
即，
解得，
∴，
∴，
∴当时，∠PBA＝∠MFA＝2∠MBA，
∴，
∴点P的坐标为或．
2．【解答】解：（1）依题意得：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）延长DC交x轴于点E，过C作CF⊥x轴于F
则CF＝3，xF＝xC＝4，
∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴D（3，4），
∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣5）（x﹣1），
∴A（1，0），B（5，0），
设直线DC为y＝k（x﹣3）+4，
则k（4﹣3）+4＝3，得k＝﹣1，
∴直线CD为y＝﹣x+7，
∴E（7，0），
∴AF＝CF＝EF＝3，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∴∠ACD＝∠CAE+∠AEC＝90°；
（3）设P（t，﹣t2+6t﹣5），则1＜t＜5且t≠4，连接PC，与AD交于点N，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
代入A（1，0），D（3，4）有，解得，
∴直线AD的解析式为y＝2x﹣2；
设直线PC的解析式为y＝k1x+b1，代入P（t，﹣t2+6t﹣5）（1＜t＜5），C（4，3），
有，
解得，
∴直线PC的解析式为y＝（2﹣t）x+4t﹣5；
∵点N是直线AD与直线PC的交点，
∴，
解得，即，
又∵∠PCA＝∠CAD，
∴NA＝NC，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为．
3．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），OC＝2OA，点C位于y轴的正半轴，
∴C（0，2），
将点C（0，2）代入得：，
解得m＝4，
则抛物线对应的函数表达式为．
（2）由（1）可知，B（4，0），
∵A（﹣1，0），C（0，2），
∴AB＝5，OC＝2，
设点P的坐标为，
∴△PAB的面积为，△POC的面积为，
∵△POC的面积等于△PAB面积的，
∴，
解得a＝1或a＝﹣4＜0（不符合题意，舍去），
∴，
所以存在点P，使得△POC的面积等于△PAB面积的，此时点P的坐标为（1，3）；
（3）①如图，在y轴上方作∠DAE＝∠DAB，交直线CD于点E，交y轴于点P1，则∠P1AB＝2∠DAB，
∵CD∥x轴，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴AE＝DE，
当y＝2时，，
解得x＝0或x＝3，
∴D（3，2），
设点E的坐标为E（b，2），
∴，
解得，
∴，
设直线AE的解析式为y＝kx+c，
将点A（﹣1，0），代入得：，
解得，
则直线AE的解析式为，
∴点P1的坐标为；
②如图，在y轴下方作∠P2AB＝2∠DAB，交y轴于点P2，
∴∠P1AB＝∠P2AB，
又∵AB⊥P1P2，
∴∠AP1P2＝∠AP2P1，
∴△AP1P2是等腰三角形，
∴点P2与点P1关于x轴对称，
∴点P2的坐标为，
综上，存在点P，使得∠PAB＝2∠DAB，此时点P的坐标为或．
4．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B（4，0）点，与y轴交于D（3，4），将点B，点D的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）已知抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点C，
令x＝0，得：y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵OB＝4，
∴OB＝OC，
又∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
作PH⊥BC交BC于点H，PM⊥x轴交x轴于点M，交BC于点N，如图1，
∵PM⊥x轴，
∴PM∥y轴，
∴∠PNH＝∠OCB＝45°，
∵PH⊥BC，
∴∠PHN＝90°，
∴∠HPN＝90°﹣∠PNH＝45°，
∴∠HPN＝∠PNH＝45°，
∴△PHN是等腰直角三角形，
∴，
由题意得：，
∴，
设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），
∴PN＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝4，
解得：m＝2，
∴﹣m2+3m+4＝﹣22+3×2+4＝6，
∴点P的坐标为（2，6）；
（3）抛物线上存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°；理由如下：
令y＝0，则0＝﹣x2+3x+4，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），
如图2，将△AOC绕点O顺时针方向旋转90°至△A′OB，则A′O＝AO＝1，∠A′BO＝∠ACO，
∴A′（0，1），
由（2）中的结论得，∠OBC＝45°，
∵∠CBP+∠ACO＝45°，
∴∠CBP＝45°﹣∠ACO＝∠OBC﹣∠A′BO＝∠CBA′，
∴直线BA′上存在符合题意的点P，
设直线BA′的解析式为y＝tx+n，将点B，点A′的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BA′的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
如图，连接CD、BD，过点B作BE⊥CD交于点E，
∵C（0，4），D（3，4），
∴CD∥x轴，
∵BE⊥CD，B（4，0），
∴∠E＝90°，DE＝4﹣3＝1，BE＝4，
∴CE＝CD+DE＝3+1＝4，
∴CE＝BE＝4，
∴△CBE是等腰直角三角形，
∴∠CBE＝45°，
∵AO＝1，OC＝4，
∴DE＝AO，BE＝OC，
又∵∠E＝∠AOC＝90°，
姑△BDE和△CAO中，
，
∴△BDE≌△CAO（SAS），
∴∠DBE＝∠ACO，
∵∠CBP+∠ACO＝45°，
∴∠CBP＝45°﹣∠ACO＝∠CBE﹣∠DBE＝∠CBD，
∴直线BD上也存在符合题意的点P，
又∵点D（3，4）在抛物线上，
∴点P与点D重合，即P（3，4）；
∴综上所述，抛物线上存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°；点P的坐标为或（3，4）．
5．【解答】解：（1）直线分别与y轴，x轴交于A，B两点，
令x＝0，得：y＝4；
令y＝0，得：x+4＝0，
解得：x＝3，
∴A（0，4），B（3，0），
已知A为BC中点，点D为点A关于x轴的对称点，
∴点C的坐标为（﹣3，8），点D的坐标为（0，﹣4），
∵二次函数y＝ax2+bx+18在第二象限交于点C，抛物线对称轴为直线x＝1，代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵A（0，4），B（3，0），D（0，﹣4），
∴AD＝8，OB＝3，
∴，
∵S△ABPS△ABD，
∴S△ABP12＝9，
过点P作PQ⊥x轴于点Q，如图2.1，
设点P的坐标为，
∴S△ABP＝S梯形PQOA﹣S△AOB﹣S△PQB，
即x3×4（x﹣3）9，
整理得：x2﹣4x﹣12＝0，
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝6，
∴点P的坐标为（6，2），
如图2.2，作点C关于y轴的对称点F，连接EF，PF，
则点F的坐标为（3，8），且CE＝EF，
∵|PE﹣CE|＝|PE﹣EF|≤PF，即当P、E、F三点共线时取等号，有最大值，
最大值为，
∴|PE﹣CE|的最大值为；
（3）当点N在点A左侧时，如图3，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，2∠DNA+∠OBA＝90°，
∴∠OAB＝2∠DNA，
∴∠ADN＝∠AND，
∴AN＝AD＝8，
设点N的坐标为，
∴，
解得：n（不合题意，舍去）或，
∴点N的坐标为；
当N在A的右侧时，如图4，
作DM＝AD＝MN，DE⊥BN于点E，
由题意得：∠OAB＝∠DMA＝2∠DNA，
∴∠MDN＝∠MND，
∴AD＝DM＝MN＝8，
∵OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
∵sin∠BAD，即，
解得：DE，
∴AE，
∴AM＝2AE，
∴AN8，
∴AN，
解得：n或（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（，），
综上，点N的坐标为或（，）．
6．【解答】（1）y＝﹣x2+3x+4，顶点D坐标为；理由如下：
抛物线y＝﹣x2+bx+4交x轴于A（﹣1，0），B两点，将点A的坐标代入得：
0＝﹣1﹣b+4，
解得：b＝3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4，
∴顶点D坐标为；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+4交x轴于A（﹣1，0），B两点，
令﹣x2+3x+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
∵P的横坐标为且m＞3，
∴，
∴将代入得：y＝﹣x2+3x+43（m）+4，
∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为；
①如图1，当点P在x轴上方时，
则，即3＜m＜5.5，
此时：，
解得：，符合题意；
②如图2，当点P在x轴下方时，
则，即m＞5.5，
此时：m+1＝yD﹣yP（﹣m2+6m），
解得：m1，m2（舍去）；
③当点P在x轴上时，
则，即m＝5.5，
此时：m+1＝yD﹣yA（或yP），
解得：（舍去），
综上所述，或；
（3）在第一象限的抛物线上存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°；理由如下：
如图3，在x轴的正半轴上取点E（1，0），连接CE，过点B作BP∥CE交抛物线于点P，
∵A（﹣1，0），E（1，0），
∴∠ACO＝∠ECO，
∵BP∥CE，
∴∠PBC＝∠ECB，
∴∠PBC+∠ACO＝∠ECB+∠ECO＝∠BCO，
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∴∠PBC+∠ACO＝45°，
设直线CE的解析式为y＝px+q，过C（0，4），E（1，0），
∴直线CE的解析式为y＝﹣4x+4，
∵BP∥CE，
∴设直线PB的解析式为y＝﹣4x+n，将B（4，0）代入得：
0＝﹣16+n，
解得：n＝16，
∴直线PB的解析式为y＝﹣4x+16，
由﹣x2+3x+4＝﹣4x+16，
解得：x1＝3，x2＝4（舍去），
∴P（3，4）．
7．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，得：
解得
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠QCB＝2∠ABC，
∴∠QCB＝90°，
如图，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，
∴∠GCQ＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∴CG＝QG，
设Q（q，﹣q2+2q+3），则G（0，﹣q2+2q+3），
∴CG＝﹣q2+2q，GQ＝q，
∴﹣q2+2q＝q，
解得q＝0（舍去）或q＝1，
∴﹣q2+2q+3＝4，
∴Q（1，4）．
8．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，把点A，点B坐标代入y＝ax2+bx﹣3得：
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴OC＝3；
∵点B的坐标为（3，0），
∴OB＝OC＝3；
如图1，连接BC，设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），
∵点P在第四象限，
∴PM＝﹣（t2﹣2t﹣3），OM＝t，BM＝OB﹣OM＝3﹣t，
∴S＝S梯形OMPC+S△MBP﹣S△OCB
，
∵0，
∴S存在最大值，
当时，S有最大值；
（3）解：如图2，作AP关于直线AC的对称线段AH，连接PH，设PH中点为G，
由对称的性质可知，∠PAH＝2∠PAC，AP＝AH，
∵∠MPA＝2∠PAC，
∴∠PAH＝∠MPA，
∴AH∥PM，
∵PM⊥x轴，
∴AH⊥x轴；
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），点H的坐标为（﹣1，h），
则点G的坐标为，
∵OC＝3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+m，其中k≠0，把点A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3；
把点G的坐标代入直线AC解析式中，得，
∴h＝﹣t2﹣t，
∴AH2＝（t2+t）2＝t2（t+1）2，
∵AP2＝AM2+PM2＝（t+1）2+（t2﹣2t﹣3）2＝（t+1）2[1+（t﹣3）2]，
∵AH＝AP，
∴t2（t+1）2＝（t+1）2[1+（t﹣3）2]，
解得：或t＝﹣1（舍去），
则，
即点P的坐标为，
设直线AP的函数表达式为y＝px+n，p≠0，
把A、P坐标分别代入得：
，
解得：，
即直线AP的函数表达式为．
9．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4（a≠0）得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵y＝﹣x2+3x+4，当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为：y＝kx+4，把 B（4，0）代入得：
k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4），如图1，
∴PE＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∴，
∴当m＝2时，S△PBC有最大值，此时P（2，6）；
（3）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC；理由如下：
∵y＝﹣x2+3x+4，
∴抛物线的对称轴为直线，当x＝3时，y＝﹣9+9+4＝4，
∴D（3，4），
∵C（0，4），
∴CD∥x轴，CD＝3，
∵B（4，0），
∴OC＝OB＝4，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵CD∥x轴，
∴∠BCD＝∠OBC＝45°，
∴∠BCD＝∠OCB，
设直线BP与y轴交于点G，如图2，
∵∠PBC＝∠CBD，BC＝BC，∠BCD＝∠OCB，
∴△BCD≌△BCG（ASA），
∴CG＝CD＝3，
∴G（0，1），
同（2）可得，直线BG的解析式为：，
联立，
解得：或，
∴．
10．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3），
在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝∠CBO＝45°，
∵PE∥OC，PF∥x轴，
∴∠PEF＝∠BCO＝45°，∠PFE＝∠CBO＝45°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴S△PEFPE PFPE2，
∴当PE最大时，S△PEF最大，
由C（0，3），B（3，0）可得直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴E（m，﹣m+3），
∴PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m）2，
∵﹣1＜0，
∴当m时，PE最大为，
此时P（，），S△PEF（）2；
∴△PEF面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）；
（3）抛物线上存在点Q，使∠CBQ+∠ACO＝45°，理由如下：
作A（﹣1，0）关于y轴的对称点K（1，0），当Q在BC上方时，连接CK，过B作CK的平行线CT交抛物线于Q，如图：
∴∠ACO＝∠KCO，
由（2）知，∠BCK+∠KCO＝45°，
∴∠BCK+∠ACO＝45°，
∵BT∥CK，
∴∠CBQ＝∠BCK，
∴∠CBQ+∠ACO＝45°，
由C（0，3），K（1，0）可得直线CK解析式为y＝﹣3x+3，
设直线BT解析式为y＝﹣3x+t，把B（3，0）代入得：0＝﹣9+t，
解得t＝9，
∴直线BT解析式为y＝﹣3x+9，
联立，
解得或，
∴Q（2，3）；
当Q'在BC下方时，设BQ'交CK于W，
同理可知，∠CBW＝∠BCW，
∴CW＝BW，
设W（n，﹣3n+3），
∵C（0，3），B（3，0），
∴n2+（﹣3n+3﹣3）2＝（n﹣3）2+（﹣3n+3）2，
解得n，
∴W（，），
由W（，），B（3，0）得直线BW解析式为yx+1，
联立，
解得或，
∴Q'（，）；
综上所述，Q的坐标为（2，3）或（，）．
11．【解答】解：（1）已知抛物线y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且通过点B（3，﹣3），将B点坐标代入得：
∴﹣3＝﹣32+3m+m﹣2，
解得：m＝2，
∴抛物线为：y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴顶点A（1，1）；
（2）由（1）可知A（1，1），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0），把A，B点的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x+3，
当直线AB向上平移，与抛物线仅一个公共点时，△ABC面积有最大值，且平移的解析式为y＝﹣2x+d，
∴﹣2x+d＝﹣x2+2x，
整理得：x2﹣4x+d＝0，
∴Δ＝0＝16﹣4d＝0，
解得：d＝4，
∴平移直线的解析式为：y＝﹣2x+4，
∴﹣2x+4＝﹣x2+2x，
解得：x1＝x2＝2，
∴点C（2，0），
设直线AB与x轴的交点为点D，如图1，
∴0＝﹣2x+3，
∴D点的坐标为，
∴，
∴；
（3）①过点B作BQ⊥BA交AP于点Q，过点B作GH∥y轴，分别过点A，Q作AG⊥GH于点G，QH⊥GH于点H，如图2，
∴∠AGB＝∠ABQ＝∠BHQ＝90°，
∵∠ABG+∠QBH＝90°，∠BQH+∠QBH＝90°，
∴∠ABG＝∠BQH，
∵∠P1AB＝45°，
∴BA＝BQ，
在△ABG和△BQH中，
，
∴△ABG≌△BQH（AAS），
∴AG＝BH＝3﹣1＝2，BG＝QH＝1﹣（﹣3）＝4，
∴点Q（﹣1，﹣5），
设直线AQ的解析式为：y＝ax+b（a≠0），将A，Q点的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AQ的解析式为：y＝3x﹣2，
∵点P1在直线AQ上，
∴直线A P1的解析式为：y＝3x﹣2，
联立抛物线y＝﹣x2+2x，
∴﹣x2+2x＝3x﹣2，
解得：x1＝1（舍去），x2＝﹣2，
∴点P1（﹣2，﹣8）；
②延长QB交AP2于点R，过点B作BK⊥RK交于点K，且BK∥x轴，
∴QH∥BK，∠BKR＝90°，
∴∠RBK＝∠BQH，
∵∠ABQ＝90°，
∴∠APR＝90°，
∵P2AB＝45°，
∴AB＝BR，
∴QB＝BR，
在△RBK和△BQH中，
，
∴△RBK≌△BQH（AAS），
∴QH＝BK＝4，BH＝RK＝2，
∴点R（7，﹣1），
设直线AR的解析式为：y＝nx+b（n≠0），将A，R点坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AQ的解析式为：，
∵点P2在直线AQ上，
∴直线AP2的解析式为：，
∴联立抛物线y＝﹣x2+2x，
∴，
解得：x1＝1（舍去），，
∴点；
综上所述，点P（﹣2，﹣8）或．
12．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得：
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点P作PN⊥x轴于点N，如图1，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵P为第四象限内抛物线上一点，设点P（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴于点M，
∴PM＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，OM＝m，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
∴BM＝3﹣m，
∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），
∴直线AP的解析式为y＝（m2﹣m﹣3）x+m2﹣m﹣3，
∴D（0，m2﹣m﹣3），
∴S＝S梯形PMOD+S△PMB﹣SODMOM（OD+PM）
m（﹣m2+m+3﹣m2+2m+3）（﹣m2+2m+3）（3﹣m）m（﹣m2+m+3）m2+3m（m﹣1）2+6，
∵0
∴当m＝1时，S有最大值，S最大值＝6；
（3）∵OD⊥x轴，PM⊥x轴，
∴OD∥MP，
∴∠ADO＝∠APM，
∵∠MPA＝2∠PAC，
∴∠ADO＝2∠PAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
设D（0，n），则AD＝CD＝n﹣（﹣3）＝n+3，
∴1+n2＝（n+3）2，
∴n，
∴D（0，），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AP的解析式为yx；
联立，得，
解得或（不合题意，舍去），
点P的坐标为（，）．
13．【解答】解：（1）当x＝﹣3时，﹣9+6+c＝0，
解得c＝3，
∴函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）；
（2）设BD与y轴的交点为P，
∵∠DBC＝∠BCO，
∴CP＝PB，
∵OC＝3，
∴CP＝PB＝3﹣OP，
在Rt△OPB中，（3﹣OP）2＝1+OP2，
解得OP，
设直线BD的解析式为y＝kx，
∴k0，
解得k，
∴直线BD的解析式为yx，
当xx2﹣2x+3时，解得x＝1或x，
∴D（，）；
（3）设直线EH的解析式为y＝mx+b，
当mx+bx2时，Δ＝4m2﹣8b＝0，
∴bm2，
∴直线EH的解析式为y＝mxm2，
∴E（﹣m，m2）
同理直线FH的解析式为y＝nxn2，
∴F（﹣n，n2），
当mxm2＝nxn2时，x（m+n），
∴H（（m+n），mn），
∵H（h，），
∴mn＝﹣1，h（m+n），
∵M是EF的中点，
∴M（（m+n），（m2+n2）），
∴MH∥y轴，
直线EF的解析式为y（m+n）（x+m）m2，
∴G（0，），
过点G作GQ⊥HM交于Q点，
∴HQ＝1，QG＝﹣h，
∵∠MHG＝30°，
∴h．
14．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝（x+6）（x﹣2）＝x2+2x﹣6①；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣6），
由A、C的表达式知，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣6，
设点F（x，﹣x+6），点P（x，x2+2x﹣6），
则PF＝（﹣x+6）﹣（x2+2x﹣6）＝﹣（x+3）2+≤，
即PF的最大值为，
由直线AC的表达式知，其和x轴负半轴的夹角为45°，即∠OAC＝45°＝∠PEF，
则PE＝PF，
则EF＝PF，
则EF的最大值为；
（3）作点B关于y轴的对称点N，则∠NCB＝2∠OCB，
∵∠PCB＝3∠OCB，
∴∠PCO＝∠NCB，
则ON＝OB＝2，CN＝CB＝＝，
过点B作BM⊥NC于点M，
则S△CBN＝BN×CO＝CN×BM，
即4×6＝×BM，则BM＝，
则sin∠NCB＝＝，则tan∠NCB＝＝tan∠PCO，
故直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣6②，
联立①②得：x2+2x﹣6＝﹣x﹣6，
解得：x＝﹣，
即点P的横坐标为﹣．
15．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）①在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC解析式y＝kx+n，∵A（﹣3，0）、C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴tan∠ACO＝＝＝1，
∴∠ACO＝45°，
∵点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m，
∴P（m，m2+2m﹣3），
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
∴F（m，﹣m﹣3），∠PFE＝∠ACO＝45°，∠EPF＝90°，
∴＝tan∠PFE＝tan45°＝1，
∴PE＝PF＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+PF＝2（﹣m2﹣3m）＝﹣2（m+）2+，
∵﹣2＜0，
∴当m＝﹣时，PE+PF的最大值＝；
②作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，0），连接B′C，过点B′作B′D⊥B′C交CP于D，过点D作DE⊥x轴于E，
∵∠PCB＝3∠OCB，
∴∠PCO＝2∠OCB，
∵OB＝OB′，OC⊥BB′，
∴tan∠OCB＝＝，tan∠OCB′＝＝，
∴tan∠OCB＝tan∠OCB′，
∴∠OCB＝∠OCB′，
∴∠PCB′＝∠OCB，
∴tan∠PCB′＝tan∠OCB＝，即＝，
∵B′C＝＝＝，
∴B′D＝，
∵∠CB′D＝∠B′ED＝90°，
∴∠DB′E+∠CB′O＝90°，
∵∠OCB+∠CB′O＝90°，
∴∠DB′E＝∠OCB，
∴sin∠DB′E＝sin∠OCB＝＝＝，cos∠DB′E＝cos∠OCB＝＝＝，
∴＝，＝，
∴DE＝B′D＝×＝，B′E＝B′D＝×＝1，
∴OE＝OB′+B′E＝1+1＝2，
∴D（﹣2，），
设直线CD解析式为y＝k1x+b1，
则：，解得：，
∴直线CD解析式为y＝x﹣3，
联立方程组：，解得：（舍去），；
∴m＝．
()
