山东省聊城市莘县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·莘县期中）下列方程：①，②，③，④，⑤是二元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024七下·莘县期中）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
3．（2024七下·莘县期中）我国在大力实施德智体美全面发展的素质教育，为进一步增强体育训练，学校对跳远项目进行测试，这是王洋同学跳落沙坑时留下的痕迹，则表示王洋成绩的是（ ）
A．线段的 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
4．（2024七下·莘县期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·莘县期中）如图，直线，交于点O，射线平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·莘县期中）如图，下列能判定∥的条件有几个（ ）
（1） （2）（3） （4）．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2024七下·莘县期中）下列说法：
（1）经过两点有且只有一条直线；
（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（5）周角是一条射线，平角是一条直线．
其中正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．（2024七下·莘县期中）下列各图中，能直观解释“”的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·莘县期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·莘县期中）实践活动课上，老师展示了如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024七下·莘县期中）清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向.若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示，则 .
12．（2024七下·莘县期中）已知，，则 .
13．（2024七下·莘县期中）已知的乘积中不含项和项，则 .
14．（2024七下·莘县期中）生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于A，平行于地面，则 ．
15．（2024七下·莘县期中）一般地，n个相同因数a相乘：记为.如，此时，指数3叫做n个以2为底的8的对数，记为，（即）.请运算 .
16．（2024七下·莘县期中）如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画10条射线得的角共有 个
17．（2024七下·莘县期中）（1）计算：
（2）化简求值：，其中，
18．（2024七下·莘县期中）解下列方程组：
（1）
（2）
19．（2024七下·莘县期中）如图，，垂足为是上任意一点，，垂足为，且，．
（1）求证：
（2）求的度数
20．（2024七下·莘县期中）如图，若，与、分别相交于E、F，，的平分线与相交于点P，且，求的度数．
21．（2024七下·莘县期中）阅读下列材料：为了提高全县学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目：
解方程，王栋同学发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错.如果把方程组中的看作一个数，把看作一个数，通过换元，可以解决问题.下面是他的解题过程：令，，这时方程组可化为解得，把代入，得，解得，
（1）在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是（ ）
A.数形结合思想 B.转化思想 C.分类讨论思想 D.类比思想
（2）请你参考王栋同学的做法，解决下面的问题：解方程组
22．（2024七下·莘县期中）已知，射线在的内部，按要求完成下列各小题．
（1）尝试探究：如图1，已知，的度数为________；
（2）初步应用：如图2，若时，求的度数，并说明理由；
（3）拓展提升：如图3，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
23．（2024七下·莘县期中）2024“全民健身活力中国”汉方普惠杯——聊城莘县赛区海选，参赛者为了购买服装，在某商厦购买商品，共三次，只有一次购买时，商品，同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品，的数量和费用如下表：
购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购物 6 5 1140
第二次购物 3 7 1110
第三次购物 9 8 1062
（1）参赛者按打折扣价购买商品A，是第______次购买；
（2）求商品A，的标价；
（3）若商品A，的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？
24．（2024七下·莘县期中）数学活动——探究日历中的数字规律
如图1是2024年3月份的日历，张亮在其中画出两个的方框，每个框均框住位置为的四个数，张亮准备：计算“”的值，探索其运算结果的规律．
（1）计算：______；
（2）张亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整；
解：的值均为______.理由如下：
设，则，，______，
因为______，
所以的值均为______.
（3）同学们利用张亮的方法，借助2024年4月份的日历，继续进行如下探究.
请从下列A，B两题中任选一题作答.我选择______.
A.如图2，在日历中用“十字框”框住位置为的五个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由．
B.在日历中用“H型框”框住位置为的七个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：①符合二元一次方程的定义，故①是二元一次方程；
②不是整式方程，不符合二元一次方程的定义，故②不是二元一次方程；
③含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义，故③不是二元一次方程；
④不是等式，不符合二元一次方程的定义，故④不是二元一次方程；
⑤符合二元一次方程的定义，故⑤是二元一次方程；
故是二元一次方程是①⑤，共2个，
故选：B
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，把只含有2个未知数，未知数的最高次数是1的整式方程，称为二元一次方程，据此逐项分析作答，即可得到答案.
2．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
3．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：跳远成绩应该为身体与沙坑的接触点中到踏板的垂线段长的最小值，
表示王洋成绩的是线段的长，
故选：B．
【分析】本题考查垂线段的定义，把直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，根据垂线段得到定义，结合跳远比赛的规则，即可求解．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A中，由，故选项A计算错误，所以A不符合题意；
B中，由，故选项B计算错误，所以B不符合题意；
C中，由，故选项C计算正确，所以C符合题意；
D中，由，故选项D计算错误，所以D不符合题意.
故选：C
【分析】本题主要考查整式的运算， 单项式乘以多项式，就是根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ，结合合并同类项、积的乘方和幂的乘方运算法则，进行计算，即可得到答案.
5．【答案】B
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算；邻补角；角平分线的概念
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：因为，所有AD∥BC，故（1）错误.
因为，所以∥，故（2）正确.
因为，所以∥，故（3）正确.
因为，所以∥，故（4）正确.
所以共有3个正确条件.
故选：B.
【分析】本题考查的是平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合选项，逐项判定，即可得到答案.
7．【答案】B
【知识点】两点确定一条直线；角的概念及表示；点到直线的距离；平行线的判定
【解析】【解答】解：（1）经过两点有且只有一条直线，说法正确；
（2）点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，故（2）说法错误；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行，要强调在同一平面内，故（4）说法错误；
（5）角是由一个公共端点发出的两条射线组成，即便两射线所在的直线重合，也不能认为是一条射线或直线，故（5）错误．
故选：B.
【分析】本题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义，利用平行公理及其推论和垂线的定义、特殊角、点到直线的距离的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：A中，由表示，故A不符合题意；
B中，由 表示，故B不符合题意；C中，由 表示，故C符合题意；
D中，由 表示，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据乘方的运算公式：，结合选项，逐项计算求解，即可得到答案.
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为，
故选：D．
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两，列出方程组，即可求解.
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设，
∵纸条沿折叠，
∴，
∴，
∵纸条沿折叠，
∴，
而，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题考查了折叠的性质，其中折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，设，得到，则，再由第2次折叠得到，利用平角定义，求得，再由，结合，据此计算，即可求解.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，且a为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可作答．
12．【答案】9
【知识点】同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：解：∵，，∴
．
故答案为：9．
【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，即 ， ，利用同底数幂的除法的法则，以及幂的乘方的法则，进行变形整理运算，在将，， 代入计算，即可求解.
13．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
，
∵结果中不含项和项，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查多项式的乘法运算法则，多项式乘以多项式的运算法则：先将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，化简得到，结合结果中不含项和项，列出方程组，求得m和n的值，将其代入代数式，进行计算，即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，过点B作，由，得到，根据两直线平行，同旁内角互补，得到，再由，得到，即可得到结论．
15．【答案】20
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：20．
【分析】本题考查了有理数的乘方， 同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数，结合 ，进行运算求值，即可得到答案.
16．【答案】66
【知识点】角的概念及表示；用代数式表示图形变化规律
17．【答案】解：（1）
；
（2）
，
又，，
所以，把，代入，原式
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据整式的运算法则，原式先计算同底数幂的乘除法，以及积的乘方与幂的乘方，然后再合并同类项，即可得出答案 ；
（2）根据整式的运算法则，先根据多项式乘以多项式，利用平方差公式将括号去掉，再合并同类项，化得最简得到，再将计算出的值，代入代数式，进行计算，即可得到答案．
18．【答案】（1）解：
由得，，
解得，
把代入①得，，
解得
所以；
（2）解：
由，得，
由，得，
解得，
把代入②得，，
解得，
所以
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据二元一次方程组的解法，结合加减消元法，把二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，进而求解；
（2）根据二元一次方程组的解法，结合加减消元法，把二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，进而求解；
（1）解：
由得，，
解得，
把代入①得，，
解得
所以；
（2）解：
由，得，
由，得，
解得，
把代入②得，，
解得，
所以
19．【答案】解：（1）∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD
∴BC∥DG，
（2）∵DG∥BC，
∴∠3＝∠BCG，
∵∠3＝80°，
∴∠BCA＝80°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由CD⊥AB于D，FE⊥AB，证得CD∥EF，得出∠2＝∠DCB，结合∠2＝∠DCB，∠1＝∠2根据内错角相等，两直线平行，即可证得DG∥BC；
（2）由DG∥BC，两直线平行，同位角相等，得到3＝∠BCG，结合3＝80°，即可得到答案.
20．【答案】解：∵，，，
，
，
，
，
平分，
，
．
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
21．【答案】（1）
（2）解：令，，方程组化为，
得：，即，
将代入①得：，
将，代入得：，
解得：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是转化思想，
故选：B；
【分析】（1）求解二元一次方程组时，基本思路是“消元”，通过“代入消元法”或“加减消元法”，将“二元方程”化为“一元方程”，求得方程组的解；
（2）根据题意，令，，得到方程组，结合加减消元法，求得方程组得解，即可得到答案.
（1）解：在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是转化思想，
故选：B；
（2）解：令，，方程组化为，
得：，即，
将代入①得：，
将，代入得：，
解得：
22．【答案】（1）
（2）解：∵∴；
（3）解：∵∴；
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（1）∵
∴；
【分析】（1）根据题意，得到，结合，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合
，即可求解；
（3）根据题意，得到，结合，即可求解.
（1）∵
∴；
（2）∵
∴；
（3）∵
∴；
23．【答案】（1）三
（2）解：设商品A的标价为元/个，商品的标价为元/个，
根据题意得：，
解得，
经检验，方程组的解符合题意.
答：商品A的标价为90元/个，商品的标价为120元/个；
（3）解：设商店是打折出售这两种商品的，
由题意得，
解得，
答：商店是打6折出售这两种商品的．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：（1）参赛者按打折扣价购买商品A，是第三次购买；
【分析】（1）根据图表可得第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，得到以折扣价购买商品A、B是第三次购物；
（2）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据表格中的数据，列出方程组，求得x和y的值，即可得到答案；
（3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元，列出方程，求得方程的解，即可得到答案.
（1）解：参赛者按打折扣价购买商品A，是第三次购买；
（2）解：设商品A的标价为元/个，商品的标价为元/个，
根据题意得：，
解得，
经检验，方程组的解符合题意.
答：商品A的标价为90元/个，商品的标价为120元/个；
（3）解：设商店是打折出售这两种商品的，
由题意得，
解得，
答：商店是打6折出售这两种商品的．
24．【答案】（1）7
（2）7；；7；7
（3）解：同学们利用张亮的方法，借助2024年4月份的日历，继续进行如下探究.请从下列，两题中任选一题作答，我选择或
在日历中用“十字框”框住位置为
b
a d
c
结论：
理由设中间#为，则，，，，
；
B.在日历中用“型框”框住位置为
a d
b e
c f
结论：
理由：设中间#为，则，，，，，，
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由；
解：（2）的值均为7，理由如下：
设，则，，，
因为
，
所以的值均为7．
故答案为：7；；7；7．
【分析】（1）根据有理数混合运算的法则，先计算乘法，再进行加减运算，即可得到答案；
（2）由，得到，，，代入代数式，计算求值，即可得到答案；
（3）A：结论：，设中间#为，则，，，，列式计算，得出结果；B：结论：．设中间#为，则，，，，，，列式计算，得到结果，即可得到答案.
（1）解：；
（2）解：的值均为7，理由如下：
设，则，，，
因为
，
所以的值均为7．
故答案为：7；；7；7．
（3）同学们利用张亮的方法，借助2024年4月份的日历，继续进行如下探究.
请从下列，两题中任选一题作答，我选择或
在日历中用“十字框”框住位置为
结论：
理由设中间#为，则，，，，
；
B.在日历中用“型框”框住位置为
结论：
理由：设中间#为，则，，，，，，
．
山东省聊城市莘县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
1．（2024七下·莘县期中）下列方程：①，②，③，④，⑤是二元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：①符合二元一次方程的定义，故①是二元一次方程；
②不是整式方程，不符合二元一次方程的定义，故②不是二元一次方程；
③含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义，故③不是二元一次方程；
④不是等式，不符合二元一次方程的定义，故④不是二元一次方程；
⑤符合二元一次方程的定义，故⑤是二元一次方程；
故是二元一次方程是①⑤，共2个，
故选：B
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，把只含有2个未知数，未知数的最高次数是1的整式方程，称为二元一次方程，据此逐项分析作答，即可得到答案.
2．（2024七下·莘县期中）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
3．（2024七下·莘县期中）我国在大力实施德智体美全面发展的素质教育，为进一步增强体育训练，学校对跳远项目进行测试，这是王洋同学跳落沙坑时留下的痕迹，则表示王洋成绩的是（ ）
A．线段的 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：跳远成绩应该为身体与沙坑的接触点中到踏板的垂线段长的最小值，
表示王洋成绩的是线段的长，
故选：B．
【分析】本题考查垂线段的定义，把直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，根据垂线段得到定义，结合跳远比赛的规则，即可求解．
4．（2024七下·莘县期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A中，由，故选项A计算错误，所以A不符合题意；
B中，由，故选项B计算错误，所以B不符合题意；
C中，由，故选项C计算正确，所以C符合题意；
D中，由，故选项D计算错误，所以D不符合题意.
故选：C
【分析】本题主要考查整式的运算， 单项式乘以多项式，就是根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ，结合合并同类项、积的乘方和幂的乘方运算法则，进行计算，即可得到答案.
5．（2024七下·莘县期中）如图，直线，交于点O，射线平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算；邻补角；角平分线的概念
6．（2024七下·莘县期中）如图，下列能判定∥的条件有几个（ ）
（1） （2）（3） （4）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：因为，所有AD∥BC，故（1）错误.
因为，所以∥，故（2）正确.
因为，所以∥，故（3）正确.
因为，所以∥，故（4）正确.
所以共有3个正确条件.
故选：B.
【分析】本题考查的是平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，结合选项，逐项判定，即可得到答案.
7．（2024七下·莘县期中）下列说法：
（1）经过两点有且只有一条直线；
（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（5）周角是一条射线，平角是一条直线．
其中正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【知识点】两点确定一条直线；角的概念及表示；点到直线的距离；平行线的判定
【解析】【解答】解：（1）经过两点有且只有一条直线，说法正确；
（2）点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，故（2）说法错误；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行，要强调在同一平面内，故（4）说法错误；
（5）角是由一个公共端点发出的两条射线组成，即便两射线所在的直线重合，也不能认为是一条射线或直线，故（5）错误．
故选：B.
【分析】本题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义，利用平行公理及其推论和垂线的定义、特殊角、点到直线的距离的定义，结合选项，逐项分析判断，即可求解.
8．（2024七下·莘县期中）下列各图中，能直观解释“”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：A中，由表示，故A不符合题意；
B中，由 表示，故B不符合题意；C中，由 表示，故C符合题意；
D中，由 表示，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据乘方的运算公式：，结合选项，逐项计算求解，即可得到答案.
9．（2024七下·莘县期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为，
故选：D．
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两，列出方程组，即可求解.
10．（2024七下·莘县期中）实践活动课上，老师展示了如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设，
∵纸条沿折叠，
∴，
∴，
∵纸条沿折叠，
∴，
而，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题考查了折叠的性质，其中折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，设，得到，则，再由第2次折叠得到，利用平角定义，求得，再由，结合，据此计算，即可求解.
11．（2024七下·莘县期中）清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向.若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示，则 .
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，且a为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可作答．
12．（2024七下·莘县期中）已知，，则 .
【答案】9
【知识点】同底数幂乘法的逆用；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：解：∵，，∴
．
故答案为：9．
【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，即 ， ，利用同底数幂的除法的法则，以及幂的乘方的法则，进行变形整理运算，在将，， 代入计算，即可求解.
13．（2024七下·莘县期中）已知的乘积中不含项和项，则 .
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
，
∵结果中不含项和项，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查多项式的乘法运算法则，多项式乘以多项式的运算法则：先将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，化简得到，结合结果中不含项和项，列出方程组，求得m和n的值，将其代入代数式，进行计算，即可得到答案.
14．（2024七下·莘县期中）生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于A，平行于地面，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，过点B作，由，得到，根据两直线平行，同旁内角互补，得到，再由，得到，即可得到结论．
15．（2024七下·莘县期中）一般地，n个相同因数a相乘：记为.如，此时，指数3叫做n个以2为底的8的对数，记为，（即）.请运算 .
【答案】20
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：20．
【分析】本题考查了有理数的乘方， 同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数，结合 ，进行运算求值，即可得到答案.
16．（2024七下·莘县期中）如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画10条射线得的角共有 个
【答案】66
【知识点】角的概念及表示；用代数式表示图形变化规律
17．（2024七下·莘县期中）（1）计算：
（2）化简求值：，其中，
【答案】解：（1）
；
（2）
，
又，，
所以，把，代入，原式
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据整式的运算法则，原式先计算同底数幂的乘除法，以及积的乘方与幂的乘方，然后再合并同类项，即可得出答案 ；
（2）根据整式的运算法则，先根据多项式乘以多项式，利用平方差公式将括号去掉，再合并同类项，化得最简得到，再将计算出的值，代入代数式，进行计算，即可得到答案．
18．（2024七下·莘县期中）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
由得，，
解得，
把代入①得，，
解得
所以；
（2）解：
由，得，
由，得，
解得，
把代入②得，，
解得，
所以
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据二元一次方程组的解法，结合加减消元法，把二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，进而求解；
（2）根据二元一次方程组的解法，结合加减消元法，把二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，进而求解；
（1）解：
由得，，
解得，
把代入①得，，
解得
所以；
（2）解：
由，得，
由，得，
解得，
把代入②得，，
解得，
所以
19．（2024七下·莘县期中）如图，，垂足为是上任意一点，，垂足为，且，．
（1）求证：
（2）求的度数
【答案】解：（1）∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD
∴BC∥DG，
（2）∵DG∥BC，
∴∠3＝∠BCG，
∵∠3＝80°，
∴∠BCA＝80°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由CD⊥AB于D，FE⊥AB，证得CD∥EF，得出∠2＝∠DCB，结合∠2＝∠DCB，∠1＝∠2根据内错角相等，两直线平行，即可证得DG∥BC；
（2）由DG∥BC，两直线平行，同位角相等，得到3＝∠BCG，结合3＝80°，即可得到答案.
20．（2024七下·莘县期中）如图，若，与、分别相交于E、F，，的平分线与相交于点P，且，求的度数．
【答案】解：∵，，，
，
，
，
，
平分，
，
．
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
21．（2024七下·莘县期中）阅读下列材料：为了提高全县学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目：
解方程，王栋同学发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错.如果把方程组中的看作一个数，把看作一个数，通过换元，可以解决问题.下面是他的解题过程：令，，这时方程组可化为解得，把代入，得，解得，
（1）在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是（ ）
A.数形结合思想 B.转化思想 C.分类讨论思想 D.类比思想
（2）请你参考王栋同学的做法，解决下面的问题：解方程组
【答案】（1）
（2）解：令，，方程组化为，
得：，即，
将代入①得：，
将，代入得：，
解得：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是转化思想，
故选：B；
【分析】（1）求解二元一次方程组时，基本思路是“消元”，通过“代入消元法”或“加减消元法”，将“二元方程”化为“一元方程”，求得方程组的解；
（2）根据题意，令，，得到方程组，结合加减消元法，求得方程组得解，即可得到答案.
（1）解：在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是转化思想，
故选：B；
（2）解：令，，方程组化为，
得：，即，
将代入①得：，
将，代入得：，
解得：
22．（2024七下·莘县期中）已知，射线在的内部，按要求完成下列各小题．
（1）尝试探究：如图1，已知，的度数为________；
（2）初步应用：如图2，若时，求的度数，并说明理由；
（3）拓展提升：如图3，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：∵∴；
（3）解：∵∴；
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（1）∵
∴；
【分析】（1）根据题意，得到，结合，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合
，即可求解；
（3）根据题意，得到，结合，即可求解.
（1）∵
∴；
（2）∵
∴；
（3）∵
∴；
23．（2024七下·莘县期中）2024“全民健身活力中国”汉方普惠杯——聊城莘县赛区海选，参赛者为了购买服装，在某商厦购买商品，共三次，只有一次购买时，商品，同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品，的数量和费用如下表：
购买商品的数量（个） 购买商品的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购物 6 5 1140
第二次购物 3 7 1110
第三次购物 9 8 1062
（1）参赛者按打折扣价购买商品A，是第______次购买；
（2）求商品A，的标价；
（3）若商品A，的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】（1）三
（2）解：设商品A的标价为元/个，商品的标价为元/个，
根据题意得：，
解得，
经检验，方程组的解符合题意.
答：商品A的标价为90元/个，商品的标价为120元/个；
（3）解：设商店是打折出售这两种商品的，
由题意得，
解得，
答：商店是打6折出售这两种商品的．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：（1）参赛者按打折扣价购买商品A，是第三次购买；
【分析】（1）根据图表可得第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，得到以折扣价购买商品A、B是第三次购物；
（2）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据表格中的数据，列出方程组，求得x和y的值，即可得到答案；
（3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元，列出方程，求得方程的解，即可得到答案.
（1）解：参赛者按打折扣价购买商品A，是第三次购买；
（2）解：设商品A的标价为元/个，商品的标价为元/个，
根据题意得：，
解得，
经检验，方程组的解符合题意.
答：商品A的标价为90元/个，商品的标价为120元/个；
（3）解：设商店是打折出售这两种商品的，
由题意得，
解得，
答：商店是打6折出售这两种商品的．
24．（2024七下·莘县期中）数学活动——探究日历中的数字规律
如图1是2024年3月份的日历，张亮在其中画出两个的方框，每个框均框住位置为的四个数，张亮准备：计算“”的值，探索其运算结果的规律．
（1）计算：______；
（2）张亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整；
解：的值均为______.理由如下：
设，则，，______，
因为______，
所以的值均为______.
（3）同学们利用张亮的方法，借助2024年4月份的日历，继续进行如下探究.
请从下列A，B两题中任选一题作答.我选择______.
A.如图2，在日历中用“十字框”框住位置为的五个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由．
B.在日历中用“H型框”框住位置为的七个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由.
【答案】（1）7
（2）7；；7；7
（3）解：同学们利用张亮的方法，借助2024年4月份的日历，继续进行如下探究.请从下列，两题中任选一题作答，我选择或
在日历中用“十字框”框住位置为
b
a d
c
结论：
理由设中间#为，则，，，，
；
B.在日历中用“型框”框住位置为
a d
b e
c f
结论：
理由：设中间#为，则，，，，，，
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由；
解：（2）的值均为7，理由如下：
设，则，，，
因为
，
所以的值均为7．
故答案为：7；；7；7．
【分析】（1）根据有理数混合运算的法则，先计算乘法，再进行加减运算，即可得到答案；
（2）由，得到，，，代入代数式，计算求值，即可得到答案；
（3）A：结论：，设中间#为，则，，，，列式计算，得出结果；B：结论：．设中间#为，则，，，，，，列式计算，得到结果，即可得到答案.
（1）解：；
（2）解：的值均为7，理由如下：
设，则，，，
因为
，
所以的值均为7．
故答案为：7；；7；7．
（3）同学们利用张亮的方法，借助2024年4月份的日历，继续进行如下探究.
请从下列，两题中任选一题作答，我选择或
在日历中用“十字框”框住位置为
结论：
理由设中间#为，则，，，，
；
B.在日历中用“型框”框住位置为
结论：
理由：设中间#为，则，，，，，，
．
