秘密★启用前 【考试时间：2025年3月19日上午8:00～10:00】
云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测
数学 试题卷（七）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的值可以为
A. B.3 C. D.
2.已知是单位向量，且。若平面向量满足，则的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
3.复数，则等于（ ）
A. B. C. D.
4.已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.某年级有个班，每个班有名学生，现要从该年级中选取名学生参加知识竞赛，要求每个班至少有名学生入选，并且班和班入选的学生人数不能超过人，不同的选法有（ ）
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
6.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点。若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.设函数满足，且当时，，若在区间上，有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．定义数列的 “差分数列”：。若数列的 “差分数列”是公差为的等差数列，且，，则（ ）
A.
B.
C.
D. 数列的前项和
10.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，。则（ ）
A. 球的表面积为
B. 异面直线与所成角的正切值为
C. 平面截球所得截面的面积为
D. 点到平面的距离为
11.已知函数为偶函数，，其中。若函数与的图象有且只有一个公共点，则（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）。若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，那么该食品在的保鲜时间是 小时。
13．已知，，且，，则的值为 。
14．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） 。
①
②
③的最大值为
④的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在中，角所对的边分别为已知．
(1)求证：成等比数列；
(2)若，的面积，求的值．
16．某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种产品，产品分为一等品和二等品。为了比较两条生产线产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取件产品作为样本，检测后得到如下列联表：
生产线 一等品 二等品 总计
甲 60 40 100
乙 70 30 100
总计 130 70 200
(1) 根据列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为甲、乙两条生产线生产的产品质量有差异？（参考公式：，其中，参考数据：）
(2) 从乙生产线的件样本产品中随机抽取件产品，设抽到一等品的件数为，求的分布列和数学期望。
(3) 若一等品和二等品的售价分别为元 / 件和元 / 件，甲、乙两条生产线生产一件产品的成本分别为元 / 件和元 / 件。以样本中一等品的频率作为产品为一等品的概率，分别计算甲、乙两条生产线生产一件产品的利润的期望，并比较大小。
17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，.
(1)若，分别是，的中点，证明：；
(2)求二面角的余弦值.
18．已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，且与抛物线的交点所在的直线经过.
(1)求椭圆的方程；
(2)分别过作平行直线，若直线与交于两点，与抛物线无公共点，直线与交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围
19．定义：若函数对于定义域内的任意，（），都有，则称函数为 “上凸函数”；反之，若，则称函数为 “下凸函数”。已知函数（）。
(1) 当，，时，判断函数是 “上凸函数” 还是 “下凸函数”，并说明理由。
(2) 若函数是 “下凸函数”，求的取值范围。
(3) 若函数在区间上是 “下凸函数”，且在区间上的最大值为，最小值为，求证：。
参考答案及其解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A B D C D ABC AD
题号 11
答案 AC
12．24
13．
14．①②③
15．（1），则，整理得到，
故成等比数列.
（2），，故，
，，故，，，
，即，
，且，解得，.
16．(1) 由列联表可知，，，，。
代入公式可得
因为，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为甲、乙两条生产线生产的产品质量有差异。
(2) 从乙生产线的件样本产品中随机抽取件产品，抽到一等品的件数服从参数为，，的超几何分布。，。
所以的分布列为：
数学期望。
(3) 甲生产线生产一件产品为一等品的概率，则生产一件产品为二等品的概率为。
甲生产线生产一件产品的利润：
当为一等品时，利润为元；当为二等品时，利润为元。元。
乙生产线生产一件产品为一等品的概率，则生产一件产品为二等品的概率为。
乙生产线生产一件产品的利润：
当为一等品时，利润为元；当为二等品时，利润为元。元。
因为，所以甲生产线生产一件产品的利润期望大于乙生产线生产一件产品的利润期望。
17．（1）取中点，连接，，
因为，分别是，的中点，所以，.
因为，所以.
所以，又，所以.
因为，又，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）在平面内过点作，交于点，
因为，所以，又因为，所以，
因为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以，，两两垂直，
以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
又所以，所以，
则，，，所以，.
设平面的法向量为，
则，令，则.
易知平面的一个法向量为，所以.
由图知，二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
18．（1）由题意得：，解得：，则，，
与图象均关于轴对称，两曲线交点所在直线为，
两曲线一个交点为，
由椭圆定义知：，解得：，
，椭圆的方程为：.
（2）
由题意知：直线斜率不为，则可设，
由得：，
与无公共点，，解得：；
由得：，
设，，则，，
；
，与之间的距离即为点到的距离，则，
由椭圆对称性可知：四边形为平行四边形，
，
，，；
由对勾函数性质知：，，
即四边形的面积的取值范围为.
19．(1) 当，，时，。
设，为定义域内任意两个不相等的实数，则：（因为）
所以，函数是 “上凸函数”。
(2) 因为函数是 “下凸函数”，所以对于任意，（），有。
展开化简得：
因为恒成立，所以。
(3) 因为，（由 (2) 知），其对称轴为。
①当时，在上单调递增，则，。
因为，，，而（因为），所以。
②当时，在上单调递减，则，。
因为，，，而（因为），所以。
③当时，，。
不妨设，则（经过复杂的配方和利用进行放缩可得）
所以。
因为点的轨迹与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足
