2024-2025学年陕西省西安市长安一中高二（下）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是关于的方程的一个根，，，则( )
A. B. C. D.
3.今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有解密，名侦探柯南，抓娃娃，逆行人生，死侍与金刚狼，甲和乙两位同学准备从这部影片中各选部观看若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选抓娃娃，则两位同学不同的观影方案种数为( )
A. B. C. D.
4.设公差的等差数列中，，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则函数在区间上为增函数的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.被称为世界上最神秘的数字，，，，，，，所得结果是这些数字反复出现，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 精确到的近似值为
C. 被除的余数为
D. 的展开式中含项的系数为
10.如图，菱形的边长为，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是( )
A. 点到平面的距离为
B. 与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
11.已知是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，的斜率为，、两点在轴上方，则下列结论中一定成立的是( )
A.
B. 四边形面积最小值为
C.
D. 若，则直线的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则______．
13.在单调递增数列中，已知，，且，，成等比数列，，，成等差数列，那么 ______．
14.甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的个球，其中甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球若从甲箱中不放回地依次随机取出个球，则两次都取到红球的概率为______；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．
求的值；
求展开式中有理项的系数之和用数字作答
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，，，数列是各项均为正数的等比数列，，．
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ令，求数列的前项和；
Ⅲ令，数列的前项和，求证：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的长轴长为，离心率为．
求椭圆的方程；
若椭圆上点处的切线方程是，
过直线：上一点引的两条切线，切点分别是、，求证：直线恒过定点；
是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，则过点的曲线的切线有几条？并写出其中一条切线方程；
讨论的单调性；
若有唯一零点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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6.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意，展开式的通项公式，
显然第三项系数为，第四项系数为，
因此，解得，
所以的值为．
由知，当，，时，对应的项是有理项，
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为
当时，展开式中对应的有理项为
所以展开式中有理项的系数之和为．
16.解：Ⅰ设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由于，，
所以，解得；
故．
数列是各项均为正数的等比数列，，．
所以，解得，负值舍去
故．
解：Ⅱ由Ⅰ得：，
所以，，
，，
得：，
解得：．
证明：Ⅲ由于，所以，
故．
17.证明：取中点，连接，，
为中点，为中点，
且，
又且，
且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
证明：，
≌，过作于点，，
，，
平面，
平面，平面平面；
解：如图建系，
则，
，
设平面的一个法向量，
，
设与平面所成角为，
．
18.解：由题意可知：，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为；
证明：设，，
，
由题设可知：，
又因为，经过点，
所以，
所以，均在直线上，
即：，
由，解得，
所以直线过定点；
设实数存在，因为，
所以，
当直线斜率不存在时，此时：，
由，解得，
所以，
所以，
当直线斜率存在时，
，
联立，
可得，
所以，
所以，
综上可知，存在满足条件．
19.解：当时，，函数定义域为，
可得，
设切点为，
因为切线过点，
所以切线斜率存在，
设切线方程为，
此时，
整理得，
易知方程的判别式，
所以该方程有个不等实根且不为，
则有个不等的实根，
即共有条切线，其中一条切线的切点横坐标为，
此时，
则切线方程为；
易知，
当时，，
所以在上单调递增；
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，无递减区间；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，，
此时函数仅有个零点；
当时，由知，的极大值为，
当时，，
若有唯一零点，
此时，
解得，
即；
当时，由知，的极大值为，
若有唯一零点，
此时，
解得，
即．
综上，实数的取值范围为．
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