7.2 万有引力定律 练习
一、单选题
1．2023年8月13日，我国将陆地探测四号01星（以下简称“01星”）送入地球同步卫星轨道，该星是世界首颗高轨SAR卫星，具备中等空间分辨率、快速莺访观测、大范围覆盖的观测能力。如图所示，“01星”、卫星A均绕地心在同一平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，其中卫星A运动的周期约为1.5h。某时刻“01星”与地心连线和卫星A与地心连线的夹角为60°，则从该时刻至卫星A与“01星”第一次相距最近所需的时间约为（ ）
A． B． C．2h D．
2．人类自古以来就对自然界充满好奇，对自然规律进行着不懈的探索。物理学就是在这些探索过程中结出的最重要的果实之一、则下列说法正确的是（ ）
A．质点是真实存在的，只要人类需要可以将任何物体在任何情况下视为质点
B．牛顿提出惯性的大小只与质量有关，是最早提出力不是维持物体运动的原因观点的人
C．力是指物体间的相互作用，所以任何力的产生物体间必须相互接触
D．一个质量不变的物体所受的合外力越大，则其速度变化一定越快
3．如图所示，质量为m的人造卫星在椭圆轨道上运动，远地点M和近地点N到地球球心的距离分别为、，卫星在M、N处的速度和所受地球引力大小分别为、和、，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，是利用扭秤测量万有引力常量的实验装置，该实验用到的科学研究方法是（ ）
A．类比法 B．放大法
C．累积法 D．理想实验法
5．人类对天体运动的认识，经历了漫长的发展过程，直到1687年牛顿在其出版的《自然哲学的数学原理》中正式提出万有引力定律，才成功解释了天体运动的规律，其公式为，其中为两个物体的质量，r为两个物体间的距离，G为引力常量．关于G的单位，用国际单位制中的基本单位表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知万有引力定律表达式为，其中G为常量。下列说法正确的是（ ）
A．只增大，F不变
B．只减小，F不变
C．只增大r，F不变
D．只减小r，F增大
7．2024年4月25日，搭载由叶光富、李聪、李广苏3名航天员的神舟十八号载人飞船在酒泉发射场发射升空。载人飞船在远离地球的过程中，所受地球引力大小随它距地面的高度变化的关系图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F随时间t的变化情况如图乙所示。下列说法中正确的是（ ）
A．卫星运动周期是
B．卫星运动周期是
C．地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍
D．地球与M点间距离是地球与N点间距离的4倍
9．卫星P、Q绕某行星运动的轨道均为椭圆，只考虑P、Q受到该行星的引力，引力大小随时间的变化如图所示，已知下列说法正确的是（ ）
A．P、Q绕行星公转的周期之比为
B．P、Q到行星中心距离的最小值之比为
C．P、Q的质量之比为
D．Q的轨道长轴与短轴之比为
10．嫦娥六号返回地球的轨迹如图所示，嫦娥六号从A点进入大气层，实现第一次减速，从C点飞出大气层，再从E点进入大气层，实现第二次减速，精准地落在预定地点，从A→B→C→D→E打了一个9000km的水漂，其中B、D分别为轨迹的最低、最高点。则嫦娥六号打水漂的过程中（ ）
A．在B点，嫦娥六号处于超重状态 B．在C点，嫦娥六号的速度方向指向地心
C．在D点，嫦娥六号受到地球的引力最大 D．在E点，嫦娥六号受到的合力方向指向轨迹的下方
三、解答题
11．如图，在一半径为R，质量分布均匀的大球内部挖去一个半径为的小球（两球相切于P点），，分别为大球、小球的球心。另外有一个可视为质点、质量为m的物体N。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球的密度为，引力常量为G。
(1)若将物体N置于处，求大球剩余部分对物体N的万有引力大小；
(2)若仅考虑大球剩余部分对物体N的万有引力的作用，将物体N从P处由静止释放，求物体N到达处的时间。
12．有人设想建设贯通地球弦线的光滑列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O'为隧道的中点，O'与地心O的距离为，如图所示。假设地球是质量均匀分布的球体，地球的半径为R，表面的重力加速度为g，忽略地球的自转。已知质量均匀分布的球壳对球壳内物体的引力为零，P点到O'的距离为x，求：
(1)列车在P点受到引力的大小与列车在地面受到重力大小mg的比值；
(2)列车在P点沿隧道AB方向的加速度大小；
(3)列车在运动中的最大速度的大小。
13．如图所示，一个质量为M、密度均匀的球体半径为r，在距球心2r处有一质量为m的质点。若以球心O为中心挖去一个半径为的球体，万有引力常量为G；求剩下部分对质点的万有引力的大小。
14．已知地球的质量，太阳的质量，将地球绕太阳的运动视为匀速圆周运动，地球绕太阳公转的轨道半径。引力常量。
（1）求太阳对地球的引力大小F（采用科学计数法，结果保留两位有效数字）；
（2）已知火星绕太阳公转的轨道半径为地球绕太阳公转的轨道半径的倍，将火星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，求火星与地球绕太阳公转的周期之比。
15．如图所示，一个质量均匀分布的半径为的球体对球外质点的万有引力为。如果在球体中央挖去半径为的一部分球体，且，则原球体剩余部分对质点的万有引力为？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B A D B AC ACD AD
1．B
【详解】设，，两者经时间相距最近，则
解得
故选B。
2．D
【详解】A．质点是理想化模型，并不实际存在，在某些情况下，当物体的形状大小可以忽略不计时，可以将物体看成质点，反之则不能，故错误；
B．在牛顿之前的伽利略和笛卡儿就已经提出力不是维持物体运动的原因，故B错误；
C．地球对物体的吸引力，不需要接触就可以产生，故C错误；
D．由牛顿第二定律可知，质量不变，合外力大，则加速度一定大，加速度大则表示速度变化快，故正确。
故选D。
3．C
【详解】AB．如果卫星绕地球做匀速圆周运动，则万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得
可见，万有引力与线速度既不成正比，也不成反比，AB错误；
CD．卫星运动过程需要的向心力
卫星在远地点做近心运动，万有引力大于向心力，即
卫星在近地点做离心运动，万有引力小于向心力，即
C正确，D错误。
故选C。
4．B
【详解】利用扭秤测量万有引力常量的实验装置，该实验用到的科学研究方法是放大法。
故选B。
5．A
【详解】由万有引力定律有
可得
若用国际单位制的基本单位表示为
故选A。
6．D
【详解】根据可知
A．只增大，F变大，选项A错误；
B．只减小，F减小，选项B错误；
C．只增大r，F减小，选项C错误；
D．只减小r，F增大，选项D正确。
故选D。
7．B
【详解】根据万有引力定律得
则随h增加，F呈非线性减小。
故选B。
8．AC
【详解】AB．从图乙可知，卫星从近地点到远地点再回到近地点，万有引力完成一个周期性变化，这个过程所用时间为，而卫星运动的周期是完成一次完整的椭圆轨道运动的时间，所以卫星运动周期为，故A正确，B错误；
CD．根据万有引力定律
设地球与近地点间的距离为，与远地点再间的距离为
则在点
在点
将两式相比可得
即
所以地球与点间距离是地球与点间距离的倍，故C正确，D错误。
故选 AC。
9．ACD
【详解】A．由图可知
故A正确：
B．当P离行星最近时
当P离行星最远时
当Q离行星最近时
当Q离行星最远时
由开普勒第三定律可知
联立解得
故B错误；
C．由B可知
解得
故C正确；
D．设卫星Q的轨迹半长轴为a，半短轴为b，焦距为c，则有
联立解得
所以Q的轨道长轴与短轴之比为，故D正确。
故选ACD。
10．AD
【详解】A．在点，合力方向指向轨迹凹侧，向上，故嫦娥六号处于超重状态，故A正确；
B．在点，嫦娥六号的速度方向沿过点的切线方向，不指向地心，故B错误；
C．嫦娥六号从过程中，点离地心最远，根据
可得，在点，受到地球的引力最小，故C错误；
D．根据物体做曲线运动的受力特点，合力方向要指向轨迹的凹侧，故在E点，嫦娥六号受到的合力方向指向轨迹的下方，故D正确。
故选AD。
11．(1)
(2)
【详解】（1）物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力。未挖去前，大球对物体N引力为零，所以大球剩余部分的引力等于小球对物体N的引力，
方向沿指向
解得
（2）如图，假设物体N运动到了P、连线上的Q点
设、Q距离为x，未挖去前，大球对物体N引力
小球对物体N引力
大球剩余部分的引力
所以物体N的加速度
物体N从P到达，有
解得
12．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设地球的质量为，则在地面附近时
设P点到地心的距离为r
则有
其中
代入可得
（2）设，则
结合上述分析可知，P点的重力加速度为
列车运动到P点加速度满足
解得
（3）列车在A点受到地球的引力为
列车在A点受到合力为
由几何关系可得
列车在隧道内距的距离时，AB方向的合力为
可知随均匀变化，列车从A到做加速度减小的加速运动，则列车在点有最大速度，则有
其中
解得
13．
【详解】剩下部分对质点的万有引力F剩应等于完整球体对质点的引力减去被挖去的小球体对质点的引力，根据万有引力定律
解得
被挖去的小球体的质量为
而大球体的质量为
联立解得剩下部分对质点的万有引力为
14．（1）；（2）
【详解】（1）由万有引力定律有
解得太阳对地球的引力大小为
（2）根据开普勒第三定律有
其中
解得
15．
【详解】设球心点与球外质点的距离为，没挖去前，球体质量为，球外质点质量为，挖去部分的质量为，根据
可知
则没挖去前，球体对质点的万有引力
挖去的部分对球外质点的万有引力
则球体剩余部分对球外质点的引力
