2024-2025学年北京市门头沟区大峪中学高三（下）质检
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，且，，则( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，满足“，”的是( )
A. B.
C. D.
5.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知直线：，双曲线，则“直线与双曲线无交点的”是“”( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形，且，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8.关于函数，有下列命题：
若，则；
的图象可由向左平移得到；
若且，则一定有；
函数的图象关于直线对称．
其中正确命题的个数有( )
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，则对任意实数，的最小值为( )
A. B. C. D.
10.德国心理学家艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”“遗忘曲线”中记忆率随时间小时变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为参考数据：，( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在二项式的展开式中，常数项为______．
12.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，则点的纵坐标为______，点为坐标原点，的面积为______．
13.九章算术是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面九章算术中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第天织布______尺；若要织布尺，该女子所需的天数至少为______．
14.已知函数若存在最大值，则的取值范围是______．
15.已知曲线：为常数，给出下列四个结论：
曲线关于坐标原点对称；
当时，曲线恒过两个定点；
记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，存在，使得；
设，为曲线上的两个动点，则存在，，使得有最大值；
其中所有正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在三棱柱中，底面，，．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求二面角的余弦值．
17.本小题分
在中，，若同时满足下列四个条件中的三个：
；；；．
Ⅰ选出使有唯一解的所有序号组合，并说明理由；
Ⅱ在Ⅰ所有组合中任选一组，求的值．
18.本小题分
米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击发子弹，总环数排名前的选手进入决赛三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：
环数 环 环 环 环 环
甲的射击频数
乙的射击频数
丙的射击频数
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立．
Ⅰ若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
Ⅱ若甲、乙各射击次，估计这次射击中出现个“环”和个“环”的概率；
Ⅲ甲、乙、丙各射击次，用分别表示甲、乙、丙的次射击中大于环的次数，其中写出一个的值，使结论不要求证明
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ若，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ当时，求函数的零点个数，并说明理由．
20.本小题分
已知椭圆的离心率为，长轴长为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若直线不垂直于坐标轴，直线与椭圆交于，两点，直线与轴交于点点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点．
(ⅰ)求证：，两点的横坐标之积为定值；
(ⅱ)若点的坐标为，求面积的取值范围．
21.本小题分
对正整数，，设数列：，，，，，，是行列的数阵，表示中第行第列的数，，，，；，，，，且同时满足下列三个条件：
每行恰有三个；
每列至少有一个；
任意两行不相同．
记集合或，，，，中元素的个数为．
Ⅰ若：，，，，，，，求的值；
Ⅱ若对任意，，中都恰有行满足第列和第列的数均为．
能否满足？说明理由；
证明：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.Ⅰ证明：因为三棱柱中，底面
所以底面，
所以，
因为，
所以，
因为面，面，，
所以面，
因为面，
所以．
Ⅱ解：由Ⅰ可知：底面，所以，，，两两垂直，以为坐标原点，
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，
，
设面法向量为
由，得
令，则，，则．
又因为平面的法向量为，
所以．
由题可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
17.解：Ⅰ选择或，理由如下：
因为，，，且，，且，，
又，，，，
，，，
，，
由得，，，，
故矛盾，同时成立，
所以选或．
Ⅱ若选，，，
，，，，
，．
若选择，，即，，
，，，，．
18.解：Ⅰ甲进入决赛，理由如下：
丙射击成绩的总环数为，
甲射击成绩的总环数为，
因为，
所以甲进入决赛；
Ⅱ根据题中数据，“甲命中环”的概率可估计为；“甲命中环”的概率可估计为；“乙命中环”的概率可估计为；“乙命中环”的概率可估计为，
所以这次射击中出现个“环”和个“环”的概率可估计为：；
Ⅲ和写出一个即可．
19.解：Ⅰ当时，，
，则切线的斜率，
所以切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程为．
Ⅱ的定义域为，，
令，解得，，
当时，与在区间上的情况如下：
极大值 极小值
在上递增，在上递减，在上递增．
此时，，
所以在上只有一个零点，
当时，，由，得，舍，
所以在上有一个零点；
当时，与在区间上的情况如下：
极小值
此时，
若时，，所以在上无零点，
若时，，所以在上有一个零点，
若时，，
，
，
所以有两个零点．
综上所述，当或时，在上有一个零点；
当时，在上有两个零点；，
当时，在上无零点．
20.解：Ⅰ因为，
所以，
又，所以，
所以，
椭圆的方程．
Ⅱ由题意可知，直线存在斜率，且不为，
设直线的方程为：，，
联立消去得．
设，，则，，，
的方程为：，
令，则，
．
因此，两点的横坐标之积为定值．
方法二：设直线的方程为：，，
联立消去得．
设，，则，，，
的方程为：，
令，则，
．
因此，两点的横坐标之积为定值．
方法三：设，，，，
则，，
的方程为：，
令，则，
的方程为：，
令，则，
，
因此，两点的横坐标之积为定值．
设直线的方程为：，，，
设，，
联立消去得．，，
，由得，
，，
令，，，
函数在上是增函数，
所以，
所以，，，
因此面积的取值范围为．
21.解：Ⅰ记，
则，
，
，所以；
Ⅱ不满足，理由如下：
假设满足．
因为的每行恰有三个，故B中满足的的个数共有个．
另一方面，从中任选两列共有种可能，且对任意两列都恰有行使得这两列的数均为，
故B中满足的的个数共有个．
所以．
当时，得，此方程无解．
所以不满足．
(ⅱ)证明：由可得，即，
下面考虑满足，但的的个数：
对中满足和的行，每行恰有两组使且，
所以满足，但的的个数为，
设数列中有项为，项为．
满足，但的的个数为．
所以满足，但的的个数为．
所以
所以．
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